Forza conservativa

Il concetto di forza conservativa, in Fisica, viene introdotto mediante una definizione che permette di classificare le forze e studiarle dal punto di vista dell'energia. Una forza si dice conservativa se il lavoro da essa compiuto su un corpo lungo un cammino chiuso è nullo.

 

Come vedremo a partire dalla lezione successiva, le forze conservative hanno una caratterizzazione specifica nel contesto di un particolare tipo di energia: l'energia potenziale. Per il momento però ci limiteremo a spiegare cos'è una forza conservativa e come si definisce.

 

Come al solito vi consigliamo di non bruciare le tappe: è impossibile capire subito quale sarà l'utilità delle nozioni che introduciamo di volta in volta. Servono tempo e pazienza. ;)

 

Definizione di forza conservativa

 

Per introdurre la definizione di forza conservativa partiamo da un esempio. Proviamo a fare un semplice esperimento: abbiamo una pallina da tennis che lanciamo verso l'alto con una certa velocità.

 

Dalle leggi del moto uniformemente accelerato e da quanto abbiamo visto nel caso della caduta libera, sappiamo che la pallina rallenterà sotto l'effetto dell'accelerazione di gravità e che raggiungerà una certa altezza prima di cominciare a cadere. Nell'istante di tempo in cui la pallina si troverà nel punto più alto, avrà velocità nulla.

 

Quanto lavoro ha compiuto la forza di gravità? Osserviamo che il vettore forza è diretto verso il basso mentre il vettore spostamento è diretto verso l'alto e, visto che i due vettori sono discordi, il lavoro è negativo (si parla in questo caso di lavoro resistente).

 

Raggiunta la massima altezza, la pallina invertirà il proprio moto e comincerà a cadere ripercorrendo lo stesso spazio al contrario. Quanto vale il lavoro della forza peso in questo caso? È ragionevole supporre che il lavoro avrà lo stesso valore calcolato in precedenza, quando la pallina stava salendo, perché il valore della forza peso è lo stesso così come è identico lo spostamento. Ciò che cambia è l'orientamento dei due vettori, che qui sono concordi perché entrambi diretti verso il basso, dunque per il tratto in discesa il lavoro è positivo (lavoro motore).

 

Ci accorgiamo allora che il lavoro totale compiuto dalla forza peso sulla pallina durante tutto il percorso di salita e discesa è nullo, visto che dobbiamo sommare due quantità uguali in valore assoluto ma di segno opposto.

 

La pallina del nostro esempio è partita da una posizione iniziale A (in mano alla persona che l'ha lanciata), ha raggiunto la posizione B (la massima altezza) per poi ritornare in mano al lanciatore nella posizione A. In altri termini essa ha un percorso chiuso in cui le posizioni iniziale e finale coincidono.

 

Per quanto possa sembrare strano, non tutte le forze si comportano nel modo appena visto nei confronti del lavoro. Per questo motivo ha senso introdurre la definizione di forza conservativa, affermando che: una forza si dice conservativa se il lavoro da essa compiuto su un corpo che percorre un cammino chiuso è nullo.

 

Forze conservative e forze non conservative

 

Per il momento è prematuro fornire una scaletta con la classificazione delle forze conservative e delle forze non conservative (dette anche forze dissipative), anche perché i tipi di forza che abbiamo già studiato non sono molti. Ad ogni modo non scoraggiamoci, perché la caratterizzazione delle forze conservative e non conservative discende direttamente dalla definizione, e di volta in volta saremo in grado di capire facilmente se abbiamo a che fare con una forza conservativa oppure no.

 

In soldoni deve accadere ciò che abbiamo visto nel precedente esempio. Un corpo si muove da una certa posizione sotto l'effetto di una forza e segue un percorso che lo riporta nuovamente alla posizione iniziale: se il lavoro della forza sull'intero percorso è nullo, allora vuol dire che la forza è conservativa.

 

Come esempi di forze conservative che possiamo già elencare abbiamo la forza peso e la forza elastica. Per entrambe vale infatti il principio che abbiamo appena scritto. La forza d'attrito al contrario non è conservativa perché è sempre parallela e discorde rispetto allo spostamento, per cui lungo un qualsiasi percorso chiuso il lavoro complessivo è negativo e certamente non nullo.

 

Forza conservativa e cammino percorso

 

La definizione dovrebbe essere sufficientemente chiara e la buona notizia è che può essere usata per ricavare un'ulteriore caratterizzazione delle forze conservative, del tutto equivalente alla precedente: il lavoro di una forza conservativa da A a B non dipende dal percorso scelto per andare da A a B.

 

La spiegazione che ci accingiamo a scrivere richiede la conoscenza degli integrali di linea di seconda specie (oggetto di studio nei corsi di Analisi 2). Nel caso non li aveste ancora studiati potete saltare direttamente alle conclusioni successive ai calcoli.

 

Consideriamo una forza conservativa e un corpo che segue un percorso chiuso, come in figura.

 

 

Forza conservativa

 

 

Poiché stiamo considerando una forza conservativa (ipotesi) sappiamo per definizione che il lavoro sull'intero percorso deve essere nullo

 

 L_{AB} + L_{BA} = 0

 

Ricordandoci della definizione di lavoro nel caso più generale possibile (vista nella lezione sull'espressione generale del lavoro), possiamo scrivere:

 

\overbrace{\int_{A}^{B}{\vec{F} \cdot d\vec{s}}}^{\mbox{percorso }1} + \overbrace{\int_{B}^{A}{\vec{F} \cdot d\vec{s}}}^{\mbox{percorso }2} = 0

 

Spostiamo il secondo integrale a destra dell'uguale:

 

\overbrace{\int_{A}^{B}{\vec{F} \cdot d\vec{s}}}^{\mbox{percorso }1} = - \overbrace{\int_{B}^{A}{\vec{F} \cdot d\vec{s}}}^{\mbox{percorso 2}}

 

Se cambiamo il verso di percorrenza sul membro di destra, allora dobbiamo scambiare di posto gli estremi di integrazione e quindi cambiare il segno dell'integrale (in accordo con le proprietà degli integrali)

 

\overbrace{\int_{A}^{B}{\vec{F} \cdot d\vec{s}}}^{\mbox{percorso }1}=\overbrace{\int_{A}^{B}{\vec{F} \cdot d\vec{s}}}^{\mbox{percorso }2}

 

Fine: abbiamo dimostrato (\Rightarrow) che il lavoro di una forza conservativa da A a B è sempre lo stesso indipendentemente dal percorso scelto per andare da A a B. Questa è un'ulteriore definizione di forza conservativa del tutto equivalente a quella scritta in precedenza: in effetti l'abbiamo ricavata partendo proprio dall'ipotesi di lavoro nullo su un percorso chiuso, ossia dalla conservatività della forza.

 

La dimostrazione dell'implicazione inversa (\Leftarrow), necessaria per provare l'equivalenza, viene lasciata per esercizio ai lettori universitari. ;)

 

A titolo di esempio nel caso della forza di attrito, che non è conservativa, non vale nemmeno la seconda formulazione proposta: se cambiamo il percorso da A a B il lavoro compiuto dalla forza di attrito non rimane lo stesso, ma cambia a seconda del percorso scelto.

 

Volendo riassumere le formule per le forze conservative, possiamo scrivere le due definizioni equivalenti che le caratterizzano:

 

\oint_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{s}=0 Lavoro nullo su un qualsiasi percorso chiuso \gamma
\overbrace{\int_{A}^{B}{\vec{F} \cdot d\vec_{s}}}^{\mbox{percorso }1}=\overbrace{\int_{A}^{B}{\vec{F} \cdot d\vec_{s}}}^{\mbox{percorso }2} Indipendenza del lavoro dal cammino percorso

 

Per chi fosse alla prese con Analisi 2 è facile notare il legame tra la nozione di forza conservativa e quella di campo vettoriale conservativo. In effetti una forza F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 è un campo vettoriale, o no? :)

 

 

Importanza delle forze conservative

 

La nozione di forza conservativa ha parecchi risvolti pratici nello studio dei sistemi fisici. Prima di comprenderne appieno l'importanza ci serve un'ulteriore grandezza che non abbiamo ancora definito: nelle prossime lezioni approfondiremo il legame tra i concetti di forza conservativa ed energia potenziale.

 

Nel frattempo, se foste in cerca di altri esempi e di esercizi svolti, potete usare la barra di ricerca interna: YM pullula di esercizi risolti e commentati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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