Forza risultante e reazione vincolare

La forza risultante (o risultante delle forze) agente su un corpo è la somma vettoriale di tutte e sole le forze che agiscono sul corpo; la reazione vincolare agente su un corpo è una particolare forza esercitata sul corpo da un vincolo cui è soggetto (come ad esempio un piano d'appoggio).

 

Nelle precedenti lezioni abbiamo detto più volte che su un corpo possono agire più forze, e nel contesto dei principi della Dinamica abbiamo parlato più volte di forza risultante (o similmente di risultante delle forze). Ora ci accingiamo a vedere nella pratica come calcolare la forza risultante e, nel farlo, forniremo tutte le formule necessario, considerando dapprima il caso di forze parallele e successivamente il caso più generale di forze con direzioni diverse.

 

Oltre a proporre diversi esempi ne approfitteremo per introdurre il concetto di reazione vincolare e vedremo come le reazioni vincolari intervengono nel calcolo della risultante di un insieme di forze.

 
 
 

Cos'è la forza risultante e come si calcola

 

Innanzitutto vediamo cos'è la risultante delle forze nel concreto, partendo da un esempio. Per semplicità consideriamo il caso di due forze parallele ed esercitate con la stessa direzione e lo stesso verso.

 

Immaginiamo due persone in viaggio che si ritrovano improvvisamente con l'auto in panne. Sfortunatamente sono costretti a fermarsi e a spingere l'auto nel tentativo di rimetterla in moto. Se le due persone spingono assieme, ognuno eserciterà una certa forza sull'auto: supponiamo che il primo spinga con una forza di 70 newton mentre il secondo con una forza di 80 newton. Pur avendo un modulo (valore numerico) diverso, le forze esercitate da entrambi avranno la stessa direzione e lo stesso verso.

 

Poiché le forze sono grandezze vettoriali ed obbediscono alle regole del calcolo vettoriale, in questo caso dovremo sommare le due forze trovando così la forza risultante, ovvero quell'unica forza che le riassume tutte, pari a 150 N.

 

 

Risultante delle forze

Forza risultante di due forze parallele e concordi.

 

 

Di conseguenza dire che l'auto è spinta da due forze parellele e concordi, la prima di 70 N e la seconda di 80 N, oppure dire che l'auto è spinta da una risultante delle forze di modulo 150 N, non fa alcuna differenza.

 

Se volessimo sapere con quale accelerazione l'auto si muove in avanti, ricorreremo alla seconda legge di Newton con l'opportuna formula inversa (supponiamo che la massa dell'auto sia di 1200 kg), facendo uso proprio della forza risultante.

 

In riferimento ai moduli:

 

 a = \frac{F_{ris}}{m} = \frac{150\mbox{ N}}{1200\mbox{ kg}} = 0,125\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

 

Reazione vincolare

 

Ora possiamo fare un passo in avanti ed estendere le casistiche sul calcolo della forza risultante, introducendo la nozione di reazione vincolare.

 

Osservate il vostro schermo: esso è in quiete perché la sua velocità rispetto a voi e all'ambiente circostante è nulla. Eppure una forza che si esercita sullo schermo sicuramente c'è ed è la forza di gravità (di cui parleremo più approfonditamente nella prossima lezione), che è sempre presente.

 

Il primo principio della Dinamica ci insegna che, se un corpo è in quiete, allora la risultante delle forze che agiscono su di esso deve essere uguale a zero. Questo significa che, oltre alla forza di gravità che attrae lo schermo verso il basso, ci deve essere un'altra forza che lo spinge verso l'alto con un'intensità uguale e contraria, in grado di contrastare la gravità e far sì che la forza risultante sia nulla.

 

In effetti il tavolo su cui è appoggiato lo schermo, sentendosi schiacciato verso il basso, reagisce con un forza di pari valore ma diretta verso l'alto, chiamata reazione vincolare. Il tavolo rappresenta un vincolo per lo schermo perché ne impedisce il movimento (senza il tavolo lo schermo cadrebbe).

 

 

Reazione vincolare

Reazione vincolare esercitata da un piano di appoggio.

 

 

Nel caso considerato le forze che agiscono sullo schermo hanno la stessa direzione ma verso opposto pertanto, secondo le regole della somma dei vettori, non andranno sommate come nell'esempio dell'auto bensì sottratte.

 

Non esiste una formula specifica per ricavare il valore della reazione vincolare, la quale va pertanto trovata ragionando sulle altre forze in gioco. La forza vincolare può assumere diversi valori e controbilanciare qualunque peso che sia al di sotto di un certo valore che ne provocherebbe la rottura del vincolo che la esercita. Il valore massimo raggiungibile è dato in buona sostanza dalla resistenza del materiale.

 

Risultante di forze non parallele

 

Vediamo un terzo esempio sulla forza risultante, in questo caso un po' più complesso perché contempla il caso generale di due forze che non condividono la stessa direzione (non parallele).

 

Due buoi stanno trainando un aratro in un campo coltivato, ognuno con una direzione diversa. Vista dall'alto, la situazione appare schematicamente così:

 

 

Forza risultante con due forze

Rappresentazione delle forze in gioco.

 

 

In questo esempio le due forze non si possono semplicemente sommare o sottrarre per determinare la forza risultante, perché esse hanno direzioni diverse. È allora assolutamente necessario scomporre ciascuna forza lungo gli assi di un sistema di riferimento opportunamente scelto.

 

Così, se scomponiamo entrambe le forze, otteniamo due componenti concordi sull'asse x e due discordi sull'asse y, come in figura:

 

 

Forza risultante sugli assi

Diagramma delle forze per il calcolo delle componenti della forza risultante.

 

 

A questo punto, per calcolare la risultante delle forze sommiamo le componenti lungo l'asse x e sottraiamo quelle lungo y, scegliendo come positiva la componente diretta verso l'alto.

 

Per determinare le proiezioni delle forze lungo gli assi ci serve un po' di trigonometria.

 

\\ F_{1x} = F_{1} \cos(\alpha)\ \ \ ;\ \ \ F_{1y} = F_{1} \sin(\alpha)\\ \\ F_{2x} = F_{2} \cos(\beta)\ \ \ ;\ \ \ F_{2y} = F_{2} \sin(\beta)

 

A questo punto consideriamo le due componenti della risultante e applichiamo il teorema di Pitagora per determinare il modulo della risultante delle due forze. Da notare che il risultato ottenuto è in perfetto accordo con la regola del parallelogramma per la somma vettoriale

 

 F_{ris} = \sqrt{{F_{x}}^{2} + {F_{y}}^{2}}

 

 

Angolo risultante delle forze

Rappresentazione della forza risultante.

 

Osservazione: forza risultante e direzione del moto

 

Ricordiamoci che la forza risultante e l'accelerazione del corpo su cui è applicata sono due vettori concordi e con la medesima direzione, dunque una volta trovata la direzione della forza risultante, abbiamo anche trovato la direzione lungo la quale effettivamente il corpo si sposta.

 

In particolare l'angolo che il vettore forza risultante (e quindi anche il vettore accelerazione) forma con l'asse delle x può essere calcolato mediante la definizione di tangente

 

\tan(\theta)=\frac{F_{y}}{F_{x}}

 

da cui, ricorrendo all'arcotangente

 

\theta=\arctan\left(\frac{F_{y}}{F_{x}}\right)

 

 


 

Nella lezione successiva parleremo della forza peso e, un po' più avanti, passeremo a trattare un'importante condizione che coinvolge la forza risultante: l'equilibrio delle forze. :) Nel frattempo se avete dubbi, domande o se volete consultare degli esercizi svolti sulla risultante delle forze, potete usare la barra di ricerca interna e trovare tutto quello che vi serve. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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