Accelerazione tangenziale

L'accelerazione tangenziale è l'accelerazione cui è soggetto un punto in moto lungo una traiettoria circolare, o più in generale curvilinea, che si muove con velocità variabile in modulo.

 

In questa lezione di riepilogo riproponiamo la definizione di accelerazione tangenziale e ci soffermiamo ad analizzare tutte le proprietà che la caratterizzano, comprese ovviamente le principali formule che permettono di calcolarla.

 

Per questioni didattiche ci concentreremo in particolare sul caso del moto circolare uniforme e del moto circolare uniformemente accelerato, anche se l'accelerazione tangenziale caratterizza il moto lungo una qualsiasi traiettoria curvilinea.

 
 
 

Definizione e formule dell'accelerazione tangenziale

 

Per introdurre la definizione di accelerazione tangenziale consideriamo un moto curvilineo, immaginando un punto che si muove con una velocità e un'accelerazione non costanti.

 

Consideriamo un arco AB della traiettoria e un punto P appartenente a tale arco.

 

 

Accelerazione tangenziale

 

 

Nel caso più generale possibile il punto può essere soggetto ad un'accelerazione che lo fa muovere più o meno velocemente lungo la traiettoria, e che allo stesso tempo gli permette di tracciare una curva anziché una retta.

 

Possiamo interpretare l'accelerazione totale del moto curvilineo come la somma di due diverse componenti: l'accelerazione centripeta \vec{a}_c e l'accelerazione tangenziale \vec{a}_T.

 

Della prima conosciamo vita, morte e miracoli: sappiamo che è responsabile della curvatura della traiettoria, e che essa punta verso il centro della circonferenza che meglio si adatta all'arco AB

 

Di contro l'accelerazione tangenziale permette al punto in moto di modificare il valore della propria velocità tangenziale (la velocità del punto). Tale accelerazione è detta tangenziale perché è rappresentata da un vettore tangente alla traiettoria in ogni punto, e dunque perpendicolare alla componente dell'accelerazione centripeta.

 

Possiamo esprimere il modulo dell'accelerazione complessiva del punto con la seguente formula:

 

 a = \sqrt{a_{C}^{2} + a_{T}^{2}}

 

applicando cioè il teorema di Pitagora, dato che vogliamo trovare la risultante di due componenti perpendicolari tra di loro. Di conseguenza possiamo anche scrivere la formula inversa per l'accelerazione tangenziale:

 

 a_{T} = \sqrt{a^{2} - a_{C}^{2}}

 

e l'unità di misura è quella di qualunque altra accelerazione, ossia metri al secondo quadrato (m/s2).

 

Caratterizzazione dell'accelerazione tangenziale

 

In un moto curvilineo qualsiasi entrambe le componenti dell'accelerazione totale sono diverse da zero: sia l'accelerazione centripeta che l'accelerazione tangenziale sono non nulle.

 

Nel caso particolare di un moto rettilineo la componente centripeta è naturalmente nulla. L'accelerazione tangenziale coincide con quella che abbiamo sempre chiamato accelerazione, ha direzione costante ed è:

 

- nulla nel caso del moto rettilineo uniforme;

 

- costante in modulo nel moto rettilineo uniformemente accelerato;

 

- variabile in modulo in un moto accelerato non uniformemente.

 

Nel moto circolare l'accelerazione centripeta è sempre presente. L'accelerazione tangenziale ha direzione variabile e tangente in ogni punto alla circonferenza lungo cui avviene il moto, verso concorde a quello del moto, ed è:

 

- nulla nel moto circolare uniforme, in cui il modulo della velocità non cambia mai;

 

- costante in modulo nel caso di un moto circolare uniformemente accelerato.

 

- variabile in modulo nei moti circolari accelerati non uniformemente.

 

Formule dell'accelerazione tangenziale

 

Tralasciando i moti rettilinei, già studiati nel dettaglio nelle prime lezioni di Cinematica, le formule dell'accelerazione tangenziale più rilevanti riguardano il modulo nel moto circolare uniforme e nel moto circolare uniformemente accelerato.

 

Nel MCU sappiamo che l'accelerazione tangenziale è nulla perché la velocità tangenziale è costante in modulo

 

a_T=0\ \ \ \mbox{MCU}

 

Nel MCUA abbiamo una formula che mette in relazione l'accelerazione tangenziale e l'accelerazione angolare, che indichiamo con la lettera \alpha.

 

 a_{T} = \alpha r\ \ \ \mbox{MCUA}

 

dove r denota il raggio della circonferenza lungo cui avviene il moto. L'accelerazione tangenziale è dunque direttamente proporzionale al raggio e all'accelerazione angolare che, ricordiamo, è a sua volta costante e ci dice come varia nel tempo la velocità angolare \omega.

 

Infine, in un moto circolare accelerato non uniformemente, l'accelerazione tangenziale non è più costante e non esiste una formula "pronta all'uso". Lo stesso dicasi nel caso dei moti con una traiettoria curvilinea ma non circolare. In questi casi vale semplicemente la formula generale

 

a_T=\sqrt{a^2-a_c^2}

 

 

Esempio

 

Supponiamo di avere un punto che si muove lungo una circonferenza di raggio 2 m con accelerazione costante. Sappiamo che all'istante iniziale la velocità angolare è pari a 3 rad/s e che dopo 4 secondi vale 15 rad/s. Vogliamo calcolare l'accelerazione tangenziale.

 

Svolgimento: per prima cosa calcoliamo l'accelerazione angolare mediante la definizione e sfruttando i dati forniti dal problema.

 

\\ \alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \\ \\ \\ =\frac{\omega_{f} - \omega_{i}}{\Delta t} =\\ \\ \\ = \frac{15 \: \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}} - 3 \: \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}}}{4 \mbox{ s}} = 3 \: \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}^2}

 

A questo punto possiamo calcolare l'accelerazione tangenziale con la formula scritta in precedenza.

 

\\ a_{T} = \alpha r =\\ \\ = 3 \: \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}^2} \cdot 2 \mbox{ m} = 6 \: \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}

 

 


 

La parte di lezioni relativa alla Cinematica è conclusa! Vi invitiamo come di consueto ad usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. Per il resto vi aspettiamo nella sezione dedicata alla Dinamica. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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