Velocità angolare

La velocità angolare è una grandezza che misura la velocità con cui un punto materiale si muove su una circonferenza, e viene definita come il rapporto tra l'angolo descritto e l'intervallo di tempo impiegato a descriverlo.

 

Questa lezione, insieme alle successive, punta a fornire un riepilogo sulle principali grandezze che vengono introdotte nello studio del moto circolare, ossia quel tipo di moto che a differenza del moto rettilineo avviene lungo una circonferenza.

 

Qui di seguito presentiamo la definizione di velocità angolare. Per quanto tale grandezza possa essere definita per qualsiasi tipo di moto circolare, noi ci concentreremo nei casi particolari del moto circolare uniforme e del moto circolare uniformemente accelerato. Nel corso della spiegazione proporremo tutte le formule della velocità angolare che permettono di risolvere gli esercizi, comprese le formule inverse.

 
 
 

Definizione e formule della velocità angolare

 

Quando si parla di moto circolare, sia esso uniforme o accelerato, compare sempre una grandezza chiamata velocità angolare. In modo analogo a quanto abbiamo visto nella definizione di velocità media e di velocità istantanea, per definire questa nuova grandezza partiremo dalla definizione di velocità angolare media, in modo da comprenderne il significato fisico. Fatto ciò passeremo al caso generale ed introdurremo la velocità angolare istantanea.

 

Velocità angolare media

 

Se vi ricordate la definizione di velocità lineare media come il rapporto tra lo spostamento e il tempo impiegato per effettuarlo, allora non vi sarà difficile inquadrare la velocità angolare media come il rapporto tra l'angolo descritto da un punto in moto su una circonferenza e il tempo impiegato a descrivere tale angolo.

 

Se indichiamo con \theta=\theta(t) la posizione di un punto su una circonferenza, individuata da un angolo \theta misurato in un sistema di riferimento fissato, ecco che la definizione si traduce matematicamente nella formula della velocità angolare media

 

 \omega_{m} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{\theta_f-\theta_i}{t_f-t_i}

 

Con la lettera \omega_m indichiamo la velocità angolare media, con \Delta\theta l'angolo descritto da un punto lungo una circonferenza e con \Delta t l'intervallo di tempo impiegato dal punto per descrivere l'angolo \Delta\theta.

 

L'unità di misura della velocità angolare media è il radiante al secondo (rad/s), dove vi ricordiamo che i radianti sono un'unità di misura degli angoli diversa rispetto ai soliti gradi e che è possibile convertire un'unità nell'altra mediante un'opportuna proporzione (in caso di dubbi: convertire i gradi in radianti).

 

 

Esempio sulla velocità angolare media

 

Consideriamo un punto che, muovendosi lungo una circonferenza, ha descritto un angolo di 60° in un tempo di 2 secondi. Possiamo determinare la velocità angolare media calcolando il rapporto tra l'angolo e il tempo, secondo la definizione vista in precedenza.

 

Ricordiamoci però che l'angolo deve essere convertito in radianti tramite la seguente proporzione:

 

 \alpha^{\circ} : 180^{\circ} = \alpha^{rad} : \pi

 

Svolgendo i conti si ottiene:

 

 60^{\circ} : 180^{\circ} = \alpha^{rad} : \pi\ \ \to\ \ \alpha^{rad} = \frac{60^{\circ} \pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{3}

 

Ora che disponiamo dell'angolo in radianti possiamo calcolare \omega:

 

 \omega_{m} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2\mbox{ s}} = \frac{\pi}{6}\ \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}} \simeq 0,52\ \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}}

 

Ciò significa che il punto in media ha descritto un angolo di circa mezzo radiante ogni secondo.

 

Velocità angolare istantanea

 

Nell'esempio precedente non possiamo sapere se il punto abbia mantenuto la propria velocità in modo costante. Potrebbe essere stato più lento in partenza per poi accelerare per 2 secondi o, al contrario, potrebbe essere partito più velocemente per poi rallentare. Il dato che abbiamo ricavato ci dice solo che in media il punto si è mosso con una velocità angolare di 0,52 radianti al secondo.

 

Se vogliamo conoscere il valore della velocità angolare in un istante di tempo preciso dobbiamo fare riferimento alla velocità angolare istantanea. Per farlo possiamo partire dalla definizione di velocità angolare media e far tendere l'intervallo di tempo a zero, in modo da stringere l'intervallo di tempo fino a fargli assumere valori prossimi allo zero. Così facendo non otteniamo più un velocità media, bensì la velocità istantanea che il punto ha in un istante di tempo preciso.

 

In formule scriveremo

 

 \omega = \lim_{\Delta t \to 0}{ \frac{\Delta \theta}{\Delta t}}

 

dove la dicitura che si trova davanti al rapporto ci dice che dobbiamo spingere l'intervallo di tempo a zero. Tale notazione indica un limite e si legge nel modo seguente: "limite per \Delta t che tende a zero di [quel che segue]".

 

La velocità istantanea si può anche scrivere in questo modo:

 

 \omega = \frac{d \theta}{d t}

 

dove con la lettera d si intende una variazione infinitesima (cioè piccolissima) della grandezza che segue. Per chi ha già studiato le derivate, la velocità angolare è la derivata della posizione angolare calcolata rispetto al tempo; dunque se conosciamo la legge che esprime la variazione dell'angolo descritto nel tempo, possiamo derivare tale legge rispetto al tempo per trovare \omega.

 

Velocità angolare nel MCU e nel MCUA

 

La velocità angolare in cinematica compare in alcune formule particolari del moto circolare uniforme e del moto circolare uniformemente accelerato. Vediamole nel dettaglio.

 

Se un punto si muove lungo una circonferenza con una velocità tangenziale costante in modulo, si parla di moto circolare uniforme. Poiché anche la velocità angolare è costante nel moto circolare uniforme, si può considerare un giro completo e ricavare la seguente formula:

 

 \omega = \frac{2 \pi}{T}

 

dove con T indichiamo il periodo, ovvero il tempo che il punto impiega a compiere un giro completo della circonferenza. Questa definizione non è nuova e discende direttamente dalla formula della velocità angolare media come rapporto tra l'angolo e il tempo.

 

Pensiamo ad un punto che percorre la circonferenza facendo un giro completo: l'angolo che ha descritto è di 360° (che corrispondono a 2π radianti) e il tempo impiegato corrisponde al periodo T. Ecco che si arriva allora alla formula che abbiamo scritto poco sopra.

 

Se ad esempio vi si chiedesse di calcolare la velocità angolare di un punto che compie un giro completo in 10 secondi, basterà calcolare:

 

 \omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{10 \mbox{ s}} \simeq 0,63 \ \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}}

 

Esiste inoltre una relazione tra la velocità angolare e la velocità tangenziale nel MCU, utile per svolgere gli esercizi:

 

 v = \omega r\ \ \ ;\ \ \ \omega = \frac{v}{r}

 

La velocità angolare compare anche nella formula che ci permette di calcolare l'accelerazione centripeta:

 

 a_{c} = \omega^{2} r\ \ \ ;\ \ \ \omega = \sqrt{\frac{a_{c}}{r}}

 

 

Passando a considerare la velocità angolare nel moto circolare uniformemente accelerato, essa non è più costante e varia nel tempo. Abbiamo due formule in cui compare la velocità angolare, le quali normalmente vanno usate a sistema:

 

 \begin{cases} \theta = \frac{1}{2} \alpha t^{2} + \omega_{0}t + \theta_{0} \\ \omega = \omega_{0} + \alpha t \end{cases}

 

dove con \omega indichiamo la velocità angolare finale e con \omega_0 quella iniziale. Ricordiamo che \alpha è l'accelerazione angolare (costante nel tempo), t il tempo, \theta l'angolo finale e \theta_0 quello iniziale.

 

Calcoliamo ad esempio la velocità angolare di un punto che parte da fermo con angolo iniziale nullo e che è soggetto a un'accelerazione angolare di 2,5 rad/s2 per un tempo di 3 secondi. Tra le due equazioni del sistema ci serve solo la seconda, dove poniamo \omega_0 uguale a zero poiché che il punto parte da fermo.

 

 \omega = \omega_{0} + \alpha t = 0 + 2,5 \ \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}^2} \cdot 3 \mbox{ s} = 7,5 \ \frac{\mbox{rad}}{\mbox{s}}

 

Formule della velocità angolare

 

Per chiudere in bellezza vi proponiamo un riepilogo con tutte le formule che abbiamo elencato nel corso della spiegazione.

 

 

Velocità angolare media

 \omega_{m} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{\theta_f-\theta_i}{t_f-t_i}

Velocità angolare istantanea

 \omega = \lim_{\Delta t \to 0}{ \frac{\Delta \theta}{\Delta t}}

Velocità angolare nel MCU (costante)

 \omega = \frac{2 \pi}{T}

Velocità angolare nel MCU (costante), in funzione della velocità tangenziale

 \omega =\frac{v}{r}

Velocità angolare nel MCU (costante), in funzione dell'accelerazione centripeta

\omega = \sqrt{\frac{a_{c}}{r}}

Velocità angolare nel MCUA (non costante), sistema

 \begin{cases} \theta = \frac{1}{2} \alpha t^{2} + \omega_{0}t + \theta_{0} \\ \omega = \omega_{0} + \alpha t \end{cases}

 

 


 

È tutto! Vi aspettiamo nella prossima lezione, in cui forniremo un riepilogo sulla velocità tangenziale. Nel frattempo in caso di necessità potete usare la barra di ricerca interna e reperire tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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