Velocità tangenziale

La velocità tangenziale è la velocità di un punto che si muove di moto circolare lungo una circonferenza, e più in generale in moto lungo una traiettoria curvilinea, con direzione tangente alla traiettoria in ogni punto e verso individuato dal senso del moto.

 

In questa lezione trattiamo nel dettaglio la definizione di velocità tangenziale. Nel corso della spiegazione la contestualizzeremo al caso del moto circolare uniforme e a quello del moto circolare uniformemente accelerato, anche se tale grandezza può essere definita e calcolata per un qualsiasi moto circolare.

 

Nel frattempo specificheremo tutte le formule della velocità tangenziale, comprese le formule inverse.

 
 
 

Definizione e formule della velocità tangenziale

 

Nel moto circolare compare una grandezza che viene chiamata velocità tangenziale. Per cominciare, la velocità tangenziale è una velocità nel senso tradizionale del termine, cioè una grandezza definita come il rapporto tra lo spostamento e il tempo impiegato per effettuarlo. La differenza rispetto ai moti rettilinei (come ad esempio il moto rettilineo uniforme ed il moto rettilineo uniformemente accelerato) sta nel fatto che qui lo spazio viene percorso lungo una traiettoria circolare.

 

Indichiamo con \theta=\theta(t) la posizione lungo una circonferenza di raggio r, individuata da un angolo misurato a partire da un sistema di riferimento scelto. Se il corpo in moto circolare descrive un angolo qualsiasi \Delta \theta in un certo tempo \Delta t, possiamo scrivere la seguente definizione di velocità tangenziale:

 

 v_T = \frac{r\Delta \theta }{\Delta t}

 

dove con r indichiamo il raggio della circonferenza e il prodotto a numeratore r\Delta\theta equivale all'arco di circonferenza descritto dal punto e corrispondente all'angolo \Delta \theta. Infatti, dalla definizione di angolo in radianti come rapporto tra l'arco di circonferenza sotteso all'angolo e il raggio:

 

 \Delta \theta = \frac{\mbox{arco}}{\mbox{raggio}} = \frac{l}{r}

 

Da cui possiamo ricavare la lunghezza dell'arco

 

 l = r\Delta \theta

 

In questo modo possiamo calcolare la velocità tangenziale conoscendo un angolo qualsiasi e il tempo impiegato per descrivere tale angolo. 

 

Velocità tangenziale media e velocità tangenziale istantanea

 

In generale, se la velocità non è costante nel tempo, con la formula appena scritta si calcola la velocità tangenziale media mantenuta tra la posizione in corrispondenza di un angolo iniziale \theta_i (posizione iniziale) e quella in corrispondenza di un angolo finale \theta_f (posizione finale)

 

 v_T = \frac{r\Delta \theta }{\Delta t}

 

Calcoliamo ad esempio la velocità tangenziale di un punto che si muove su una circonferenza di raggio 3 metri e che descrive un angolo di 30° in 2 secondi.

 

Attenzione perché prima di applicare la formula è necessario convertire i gradi in radianti. Nel nostro caso l'angolo ha ampiezza pari a π/6

 

 v_T = \frac{\frac{\pi}{6}\cdot 3\mbox{ m}}{2\mbox{ s}} \simeq 0,8\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

 

Se vogliamo conoscere la velocità tangenziale istantanea, cioè il valore della velocità tangenziale in un particolare istante di tempo, dobbiamo ridurre l'intervallo di tempo fino ad annullarlo. Il ragionamento è del tutto analogo a quello che abbiamo visto nella lezione sulla velocità istantanea

 

 v_T = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{r\Delta \theta}{\Delta t}}

 

In questo modo anche l'angolo descritto diventerà infinitesimo e avremo la velocità calcolata tra due posizioni talmente vicine tra di loro da essere praticamente coincidenti.

 

Si noti che la definizione più generale di velocità tangenziale è quella relativa alla velocità tangenziale istantanea, la quale peraltro può essere estesa al caso di moti lungo una qualsiasi traiettoria curvilinea (di cui non ci occupiamo in questa sede).

 

Velocità tangenziale come grandezza vettoriale

 

Come ben sappiamo la velocità è una grandezza vettoriale e pertanto va rappresentata mediante un vettore. Ne consegue che la velocità tangenziale è una grandezza vettoriale: nelle precedenti formule ne abbiamo definito il modulo, ma cosa possiamo dire riguardo alla direzione e al verso?

 

Se un punto si muove lungo una circonferenza la sua velocità è sempre un vettore tangente alla circonferenza in ogni punto. Di conseguenza, per le proprietà geometriche della circonferenza, il vettore velocità tangenziale forma sempre un angolo retto con il raggio.

 

Per questo motivo la direzione del vettore non è costante e cambia continuamente da punto a punto, ed il verso è individuato dal senso di rotazione del punto (orario o antiorario).

 

Con queste considerazioni possiamo dedurre un'importante proprietà della velocità tangenziale: a prescindere dal tipo di moto circolare, la velocità tangenziale non è mai costante come grandezza vettoriale. Ciò è dovuto al fatto che il suo modulo può essere costante, come avviene nel moto circolare uniforme, ma la sua direzione cambia punto a punto.

 

Velocità tangenziale nel MCU e nel MCUA

 

Ciò che abbiamo scritto fino a qui è valido per qualunque moto circolare. Ora vogliamo concentrarci su due moti circolari particolari che sono protagonisti nello studio della cinematica: il moto circolare uniforme ed il moto circolare uniformemente accelerato.

 

Riguardo alle caratteristiche che la velocità tangenziale presenta in un moto circolare uniforme, dobbiamo subito precisare che il termine uniforme significa che il modulo della velocità tangenziale resta costante durante il moto. È fondamentale specificare che è solo il modulo a rimanere costante e non il vettore velocità perché, come abbiamo visto prima, la sua direzione è in continuo mutamento.

 

Ciò implica che il vettore non sia costante: ciò che rimane costante nel moto è il suo valore numerico.

 

Per quanto riguarda la velocità tangenziale nel caso di un moto circolare uniforme possiamo riprendere la definizione

 

 v_T = \frac{r\Delta \theta }{\Delta t}

 

e immaginare di percorrere un giro completo di una circonferenza. In tal caso l'angolo descritto è uguale all'angolo giro, ossia 2π radianti. Il tempo impiegato a percorrere un giro completo si chiama periodo e si indica con T. Essendo la velocità tangenziale costante in modulo nel MCU, possiamo calcolarla nel modo seguente

 

 v_T = \frac{2 \pi r}{T}

 

da cui le formule inverse per raggio e periodo

 

T = \frac{2 \pi r}{v_T} \: \: \: ; \: \: \: r = \frac{v_TT}{2 \pi}

 

Da qui si deduce che la velocità tangenziale è direttamente proporzionale al raggio della circonferenza ed inversamente proporzionale al periodo. Ciò significa che, se consideriamo un corpo rigido in rotazione come ad esempio un disco, i punti che ruotano ad una distanza maggiore dall'asse di rotazione hanno una velocità maggiore rispetto ai punti in prossimità dell'asse. In effetti tutti i punti del disco devono compiere un giro nello stesso tempo, ma quelli più lontani dal centro devono percorrere una circonferenza più lunga e dunque avranno necessariamente una velocità maggiore.

 

Ricordandoci che il rapporto \frac{2\pi}{T} è uguale alla velocità angolare \omega, che è costante nel moto circolare uniforme, possiamo scrivere:

 

 v_T = \omega r

 

da cui le formule inverse per velocità angolare e raggio

 

\omega = \frac{v_T}{r} \: \: \: ; \: \: \: r = \frac{v_T}{\omega}

 

 

Riguardo alla velocità angolare nel moto circolare uniformemente accelerato, dove il termine uniformemente si riferisce al fatto che il modulo dell'accelerazione è costante nel tempo, la velocità tangenziale non mantiene costante il proprio modulo ed esso aumenta o diminuisce nel tempo per via di un'accelerazione.

 

La definizione data in precedenza, vale a dire

 

 v_T = \frac{r\Delta \theta }{\Delta t}

 

è dunque da intendersi come valore medio della velocità mantenuta tra la posizione in corrispondenza di un angolo iniziale \theta_i e quella in corrispondenza di un angolo finale \theta_f.

 

Formule della velocità tangenziale

 

Riepiloghiamo tutte le formule viste fin qui in modo da avere un quadro completo sulla velocità tangenziale.

 

 

Modulo della velocità tangenziale media

 v_T = \frac{r\Delta \theta }{\Delta t} =\frac{r(\theta_f-\theta_i)}{t_f-t_i}

Modulo della velocità tangenziale istantanea

 v_T = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{r\Delta \theta}{\Delta t}}

Direzione della velocità tangenziale

Tangente punto per punto alla circonferenza e perpendicolare al raggio

Verso

Dipende dal senso orario o antiorario del moto

Modulo (MCU)

v_T=\mbox{costante}

Modulo (MCU, in funzione del periodo)

 v_T = \frac{2 \pi r}{T}

Modulo (MCU, in funzione della velocità angolare)

 v_T = \omega r

 

 


 

Nella lezione successiva vedremo cos'è la velocità centripeta nel moto circolare e come si calcola; in caso di necessità non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di problemi ed esercizi svolti sulla velocità tangenziale. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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