Grafico spazio-tempo e velocità-tempo del moto armonico

Nella precedente lezione abbiamo introdotto il moto armonico e abbiamo elencato tutte le formule che lo caratterizzano, mostrando come ricavarle e come descrivono il moto del punto materiale.

 

Ci siamo fermati alla legge oraria: ora è il momento di proseguire e di parlare di velocità e accelerazione del punto materiale, ponendo particolare enfasi sui grafici del moto armonico per la posizione e la velocità.

 

I grafici di posizione e velocità per il moto armonico

 

Grafico spazio-tempo del moto armonico

 

Il primo diagramma che prenderemo in considerazione è il grafico spazio tempo per il moto armonico.

 

Proviamo a descrivere il moto armonico del punto Q mediante un opportuno grafico nel piano cartesiano, ponendo sull'asse delle ordinate la posizione del punto e sull'asse delle ascisse il tempo. Consideriamo inoltre un sistema di riferimento in cui l'origine degli assi cartesiani sia coincidente con il centro della circonferenza: in questo modo, quando Q si trova in A, la sua posizione rispetto all'origine è pari al raggio della circonferenza.

 

Ricordate che, nella lezione precedente, abbiamo scritto la legge oraria completa con la costante di fase?

 

 x(t) = A \cos(\omega t + \phi)

 

Tracciamo il grafico considerando per semplicità la costante di fase \phi nulla.

 

 

Grafico di posizione nel moto armonico

 

 

Noterete che il grafico ottenuto è una cosinusoide, ovvero il grafico della funzione coseno, così come ci aspettavamo guardando l'equazione della posizione.

 

Al tempo t=0 il punto Q si trova ad una distanza A dal centro della circonferenza: successivamente la sua distanza dal centro si riduce fino ad annullarsi (quando Q si trova in O) per poi assumere valori negativi quando Q procede verso B.

 

Il percorso da B ad A è, come abbiamo già visto, perfettamente speculare.

 

Q si troverà agli estremi del suo moto, ovvero agli estremi del diametro, quando \alpha è pari a 0° (Q si trova in A), quando \alpha è pari a 180° (Q si trova in B) oppure ancora quando \alpha vale 360° (Q è tornato in A). In sintesi, in corrispondenza degli angoli per cui il coseno è uguale a 1.

 

Il grafico termina in corrispondenza di un tempo pari al periodo T. In effetti, quando il punto P ha compiuto un giro completo in un tempo pari al periodo, il punto Q torna nuovamente nella posizione iniziale A, compiendo così un'oscillazione completa.

 

Di conseguenza Q si troverà in B quando sarà trascorso un tempo pari alla metà del periodo, perché P avrà percorso soltanto mezza circonferenza.

 

 

Osservazione (grafico spazio-tempo del moto armonico con costante di fase)

 

Nel caso in cui la costante di fase non fosse pari a zero otterremmo comunque una cosinusoide, ma traslata a destra o a sinistra di una quantità pari alla costante stessa. In caso di dubbi potete consultare la lezione sul grafico intuitivo delle funzioni.

 

Grafico velocità-tempo del moto armonico

 

Se vogliamo ricavare l'equazione della velocità a partire da quella della posizione non dobbiamo fare altro che derivare la posizione rispetto al tempo. Ovviamente chiunque non abbia ancora studiato le derivate può e deve dare per buona la formula:

 

 v = \frac{dx}{dt} = - A \omega \sin(\omega t + \phi)

 

Il segno meno che compare nell'equazione della velocità ci fornisce informazioni sul verso del vettore velocità.

 

Se consideriamo positivi i vettori rivolti verso la direzione positiva dell'asse x (verso destra) diremo che, quando Q si muove da A a B, la sua velocità è negativa. In effetti P descriverà angoli compresi tra 0° e 180° e, per tali angoli, il seno assume valori positivi che diventano negativi in quanto moltiplicati per un segno meno.

 

Quando Q si muove da B ad A il seno assume valori negativi (P descrive angoli compresi tra 180° e 360°) e di conseguenza la velocità diventa positiva, e sarà rappresentata come un vettore diretto orizzontalmente verso destra.

 

Proviamo a tracciare il grafico della velocità di Q in funzione del tempo.

 

 

Grafico di velocità nel moto armonico

 

 

In questo caso siamo in presenza di una sinusoide, ossia del grafico della funzione seno; in effetti in precedenza avevamo scritto la velocità di Q come il prodotto della velocità di P per il seno della fase.

 

La situazione rispetto alla posizione è rovesciata: per gli angoli di ampiezza 0°, 180° e 360° (quando Q si trova in A o in B), la velocità è nulla. Al contrario la velocità è massima e pari alla velocità di P quando il seno vale 1, ossia quando la fase è uguale a 270°, cioè quando Q si trova nel centro della circonferenza.

 

Velocità massima:  v_{max} = \omega A

 

 

Accelerazione nel moto armonico

 

Ricaviamo ora l'accelerazione del moto armonico derivando rispetto al tempo l'espressione della velocità:

 

 a = \frac{dv}{dt} = - A \omega^{2} \cos(\omega t + \phi)

 

Anche l'accelerazione ha un segno meno, pertanto sarà negativa (e quindi rappresentabile con un vettore rivolto verso sinistra) quando il coseno è positivo, ossia quando il suo argomento è compreso tra 0° e 90° oppure tra 270° e 360°.

 

Essa sarà invece positiva (e quindi diretta verso destra) quando il coseno è negativo, cioè quando il suo argomento è compreso tra 90° e 270°.

 

Il modulo dell'accelerazione è massimo quando Q si trova agli estremi del diametro (0° e 180°, angoli in corrispondenza dei quali il coseno vale 1) e nulla quando si trova nel centro (90°, 270°).

 

Accelerazione massima:  a_{max} = \omega^{2} A

 

 


 

Come al solito vi salutiamo rinnovando il nostro invito a fare buon uso della barra di ricerca: avete a disposizione tantissimi esercizi svolti! :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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