Moto parabolico (moto del proiettile)

Un moto parabolico, detto anche moto del proiettile, è il moto di un corpo che partendo con una certa velocità iniziale ed un certo angolo percorre una traiettoria parabolica sotto l'azione della sola accelerazione di gravità.

 

In questa lezione affrontiamo per la prima volta un tipo di moto che richiede lo studio delle componenti lungo gli assi: stiamo parlando del moto parabolico, noto anche come moto di un proiettile.

 
 
 

Introduzione al moto parabolico

 

Per introdurre il moto parabolico possiamo considerare un semplice esempio. Quando tiriamo un calcio ad un pallone, questo si staccherà dal suolo e, una volta in volo, raggiungerà una certa altezza prima di ricadere a terra. Durante la sua fase di volo il pallone descrive nell'aria una particolare traiettoria.

 

Se consideriamo che l'unica accelerazione presente durante il moto è l'accelerazione di gravità g, diretta verso il basso, e trascuriamo ogni possibile effetto dovuto alla presenza dell'aria, allora noteremo che la traiettoria descritta dal pallone è un arco di parabola.

 

La definizione di moto parabolico è dunque espressa dal nome stesso: si tratta del moto di un corpo lungo una traiettoria parabolica e soggetto unicamente all'accelerazione di gravità.

 

Per ragioni storiche il moto parabolico viene anche detto moto del proiettile perché i corpi che si muovono di moto parabolico vengono chiamati proiettili.

 

Il fatto di trascurare l'effetto dell'aria implica un'approssimazione che nella trattazione matematica del modello ci distanzia dalla realtà. Questo non è un problema: in Fisica è normale semplificare i modelli ed epurare i fenomeni da tutto ciò che può distogliere l'attenzione dagli aspetti specifici che ci interessano. Una volta compreso il moto parabolico nella sua vera natura potremo eventualmente aggiungere gli effetti dovuti alla resistenza dell'aria e correggere la descrizione del fenomeno in modo da renderlo più aderente alla realtà, per quanto diventi più complesso.

 

Formule del moto parabolico

 

Cerchiamo di ricavare le equazioni che ci permettono di descrivere matematicamente questo tipo di moto, in parole povere le formule del moto parabolico.

 

Scegliamo un sistema di riferimento cartesiano in cui la direzione dell'asse y è verticale e positiva verso l'alto, mentre quella dell'asse x è orizzontale e positiva verso destra.

 

 

Moto parabolico

 

 

Se imprimiamo al pallone una certa velocità istantanea iniziale v_0, inclinata di un angolo \alpha rispetto all'orizzontale, possiamo scomporre la velocità nelle sue due componenti lungo gli assi cartesiani.

 

La Trigonometria ed in particolare i teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli ci permettono di scrivere le seguenti equazioni

 

\begin{cases}v_{0x} = v_{0}\cos(\alpha)\\ v_{0y} = v_{0}\sin(\alpha)\end{cases}

 

dove con v_{0x} indichiamo la componente della velocità iniziale lungo l'asse delle x e con v_{0y} quella lungo l'asse y.

 

Essendo le due componenti perpendicolari tra loro, valgono le seguenti relazioni:

 

 v = \sqrt{v_{0x}^{2} + v_{0y}^{2}} (teorema di Pitagora)

 

\tan(\alpha) = \frac{v_{0y}}{v_{0x}} (definizione di tangente di un angolo)

 

Leggi orarie del moto parabolico lungo gli assi

 

Ora, per studiare il moto del proiettile, dobbiamo distinguere due moti differenti: quello lungo l'asse x e quello lungo l'asse y.

 

Lungo la direzione di x non c'è alcuna accelerazione, pertanto siamo in presenza di un moto rettilineo uniforme. Ciò significa che per tutta la durata del moto la componente orizzontale della velocità v_{x} rimane costante:

 

v_x=v_{0x}

 

Possiamo allora scrivere la legge oraria del moto parabolico per il moto lungo l'asse delle ascisse, dove andiamo a sostituire lo spazio generico s con la lettera x:

 

 x = x_{0} + v_{0x}t

 

Studiamo il moto lungo l'asse y. Qui siamo in presenza di un'accelerazione costante diretta verso il basso: l'accelerazione di gravità g, di cui conosciamo sempre il valore \left(g\simeq 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right).

 

Abbiamo quindi un moto uniformemente accelerato e possiamo scrivere la legge oraria del moto del proiettile lungo la verticale, dove indicheremo la posizione con y:

 

 y = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0y}t + y_{0}

 

Abbiamo ovviamente considerato l'accelerazione di gravità con il segno meno perché è diretta verso il basso, in accordo con la nostra scelta del sistema di riferimento e proprio come avevamo fatto nel moto dei corpi in caduta libera.

 

 

Il moto parabolico è la composizione dei due moti: il moto in caduta libera lungo la verticale e il moto a velocità costante lungo l'orizzontale. Qualunque esercizio su questo argomento va risolto ponendo a sistema le due leggi orarie, che costituiscono l'insieme di formule del moto parabolico

 

 \begin{cases} x = x_{0} + v_{0x}t \\ y = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0y}t + y_{0} \end{cases}

 

Volendo scrivere le componenti orizzontale e verticale della velocità iniziale in termini del modulo della velocità iniziale:

 

 \begin{cases} x = x_{0} + v_0\cos(\alpha)t \\ y = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}\sin(\alpha)t + y_{0} \end{cases}

 

Esempio sul moto parabolico

 

Vediamo un esempio sul moto del proiettile: dal tetto di un edificio alto 52 metri viene lanciato un sasso con una velocità di 25 m/s e con un angolo di inclinazione rispetto all'orizzontale di 30°. A quale distanza dall'edificio cadrà il sasso?

 

 

Moto del proiettile

 

 

Partiamo dalla scelta del sistema di riferimento. Se in verticale consideriamo la posizione zero come la base dell'edificio allora il sasso parte inizialmente da un'altezza di 52 metri, pertanto abbiamo

 

y_0= 52\mbox{ m}\ \ \ ;\ \ \ x_0=0

 

Quando il sasso avrà toccato il suolo la sua altezza sarà pari a zero, quindi

 

y=0\ \ \ ;\ \ \ x=?

 

Scriviamo le formule del moto del proiettile:

 

 \begin{cases} x = x_{0} + v_{0x}t \\ y = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0y}t + y_{0} \end{cases}

 

Il problema ci chiede di calcolare la x di atterraggio ma purtroppo non conosciamo il tempo; possiamo però ricavarlo dalla seconda equazione.

 

y = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0y}t + y_{0}

 

Per la formula che lega la velocità iniziale alla sua componente lungo l'asse y possiamo riscrivere l'equazione nella forma

 

y = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}\sin(\alpha)t + y_{0}

 

e quindi come

 

\frac{1}{2}gt^{2} - v_{0}\sin(\alpha)t - y_{0} = 0

 

Trattiamo l'equazione appena scritta come un'equazione di secondo grado nell'incognita t

 

 t = \frac{v_{0}\sin(\alpha) \pm \sqrt{v_{0}^{2}\sin^{2}(\alpha) + 2gy_{0}}}{g}

 

per cui

 

\\ t \simeq \frac{25\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot \frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(25\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right)^2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\cdot 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\cdot 52\mbox{ m}}}{9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}}\\ \\ \\ t\simeq \frac{12,5 \frac{m}{s} \pm \sqrt{156,25 \frac{m^{2}}{s^{2}} + 1020,24 \frac{m^{2}}{s^{2}}}}{9,81\frac{m}{s^{2}}}\\ \\ \\ t\simeq \frac{\left(12,5 \pm 34,5 \right) \frac{m}{s}}{9,81\frac{m}{s^{2}}}

 

Otteniamo così due soluzioni:

 

 t_{1} \simeq - 2,22\mbox{ s} \ \ \ ;\ \ \ t_{2} \simeq  4,77\mbox{ s}

 

Il primo risultato non è accettabile perché equivale a un tempo negativo, dunque privo di significato. Ci limitiamo a prendere in considerazione il tempo t_2 e ne sostituiamo il valore nella prima equazione del sistema:

 

x = x_{0} + v_{0}\cos(\alpha) t

 

Problemi con i valori delle funzioni trigonometriche? Nessun problema, basta un click! ;)

 

\\ x\simeq 0+25\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot \cos(30^o)\cdot 4,77\mbox{ s}\\ \\ \\ x\simeq 25\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4,77\mbox{ s}\\ \\ \\ x\simeq 103,3\mbox{ m}

 

L'esercizio è terminato. :)

 

Traiettoria del moto parabolico

 

Concludiamo la lezione con una dimostrazione facoltativa molto istruttiva sia dal punto di vista matematico che da quello fisico. Come possiamo dire che la traiettoria del moto del proiettile è proprio un arco di parabola?

 

La Matematica viene in nostro aiuto, ricaviamo il tempo dalla prima equazione e sostituiamo quanto ottenuto nella seconda:

 

\\ \begin{cases} t = \dfrac{x-x_{0}}{v_{0x}} \\ \\ y = -\dfrac{1}{2}gt^{2} + v_{0y}t + y_{0} \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} t = \dfrac{x-x_{0}}{v_{0x}} \\ \\ y = -\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x-x_{0}}{v_{0x}}\right)^{2} + v_{0y} \left(\dfrac{x-x_{0}}{v_{0x}}\right)+ y_{0} \end{cases}

 

Svolgendo i conti e sviluppando il quadrato del binomio a numeratore

 

\\ \begin{cases} t = \dfrac{x-x_{0}}{v_{0x}} \\ \\ y = -\dfrac{g}{2v_{0x}^{2}}\left(x^{2} - 2xx_{0} + x_{0}^{2} \right) + \dfrac{v_{0y}}{v_{0x}}x - \dfrac{v_{0y}}{v_{0x}}x_{0} + y_{0} \end{cases}

 

e, sempre nella seconda equazione, raccogliendo i termini in favore di x

 

\begin{cases} t = \dfrac{x-x_{0}}{v_{0x}}\\ \\ y = -\dfrac{g}{2v_{0x}^{2}}x^{2} + \left(\dfrac{gx_{0}}{v_{0x}^{2}} + \dfrac{v_{0y}}{v_{0x}} \right)x - \dfrac{gx_{0}^{2}}{2v_{0x}^{2}} - \dfrac{v_{0y}}{v_{0x}}x_{0} + y_{0} \end{cases}

 

A questo punto sostituiamo le espressioni di v_{0x},\ v_{0y} in funzione di v_0 e di \alpha, e otteniamo:

 

 \begin{cases} t = \dfrac{x-x_{0}}{v_{0x}}\\ \\ y = -\dfrac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}(\alpha)}x^{2} + \left(\dfrac{gx_{0}}{v_{0}^{2}\cos^{2}(\alpha)} + \tan(\alpha) \right)x - \dfrac{gx_{0}^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}(\alpha)} - \tan(\alpha) x_{0} + y_{0} \end{cases}

 

Questa è l'equazione della traiettoria seguita dal proiettile in funzione della velocità iniziale v_0 e dell'angolo \alpha e, come vedete, presenta la stessa struttura dell'equazione di una parabola, che è della forma:

 

 y = ax^{2} + bx +c

 

Quindi, al di là del nome storico di moto del proiettile, dovrebbe essere chiara e più evidente la denominazione di moto parabolico. :)

 

 


 

La lezione finisce qui, ma non scappate! Se vi servono esercizi sul moto parabolico potete usare la barra di ricerca interna e trovare tutto quello che vi serve, ci sono tantissimi esercizi svolti; inoltre non perdetevi la prossima puntata, in cui approfondiremo il moto del proiettile mostrando il calcolo della gittata e della massima altezza. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Ales)

 

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