Grafico velocità-tempo per il moto uniformemente accelerato

Nella precedente lezione abbiamo analizzato il grafico spazio-tempo nel moto uniformemente accelerato; ora, esattamente come nel caso della velocità, passiamo ad un secondo tipo di rappresentazione del moto che consiste nel grafico velocità-tempo per il moto uniformemente accelerato.

 
 
 

Il grafico velocità-tempo nel moto uniformemente accelerato

 

Vediamo come tracciare il grafico velocità tempo per il moto uniformemente accelerato, cioè il grafico che ci permette di visualizzare come varia la velocità in funzione del tempo.

 

Ovviamente la premessa cui dobbiamo fare riferimento è che, in questo contesto, l'accelerazione media e l'accelerazione istantanea coincidono poiché l'accelerazione durante il moto è costante per definizione. Inoltre non dimentichiamoci che stiamo considerando un moto uniformemente accelerato e rettilineo.

 

Nella lezione sul moto rettilineo uniformemente accelerato abbiamo ricavato un'equazione per la velocità con istante iniziale nullo (t_0=0)

 

 v = v_{0} + at

 

Se riportiamo l'equazione su un grafico, in cui collochiamo sull'asse delle ordinate la velocità istantanea e sull'asse delle ascisse il tempo, essa individua una retta. Infatti paragonando la precedente equazione con la struttura generica di una retta in forma esplicita:

 

 y = q + mx

 

ci rendiamo conto che al coefficiente angolare m corrisponde l'accelerazione a e all'ordinata all'origine q corrisponde la velocità iniziale v_0.

 

Esempi sul grafico velocità-tempo per il moto uniformemente accelerato

 

1) Consideriamo a titolo di esempio il grafico velocità-tempo per l'equazione

 

 v = 1 + \frac{1}{2}t

 

 

Esempio di grafico velocità-tempo nel moto uniformemente accelerato

 

 

Il grafico è una retta che:

 

- interseca l'asse delle ordinate a un'altezza pari alla velocità iniziale, v_0=1\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}};

 

- ha una pendenza pari al valore dell'accelerazione, in questo caso positiva: a=\frac{1}{2}\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}.

 

Col passare del tempo la velocità aumenta sempre in modo lineare: si dice infatti che nel moto rettilineo uniformemente accelerato la velocità è una funzione lineare del tempo.

 

 

2) Un altro esempio: riportiamo sul grafico velocità-tempo la seguente equazione

 

 v = -5 + t

 

 

Altro esempio di grafico VT nel MUA

 

 

In questo caso l'accelerazione è positiva perché tale è la pendenza della retta: a=1\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}.

 

La velocità iniziale è negativa e vale v_0=-5\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}. Ciò significa che la retta interseca l'asse delle ordinate al tempo t_0=0 in un punto A di ordinata negativa, pari al valore della velocità iniziale.

 

Nel tratto tra (0,-5)\mbox{ e }(5,0) il punto ha decelerato (la velocità è diminuita in valore assoluto) muovendosi all'indietro (la velocità è negativa) fino a fermarsi. In (5,0) il punto si ferma per un istante (velocità nulla) e da lì in poi si muove in avanti accelerando.

 

Analisi di un grafico velocità tempo per il moto uniformemente accelerato

 

A questo punto possiamo ragionare un caso un po' più complesso. Consideriamo il seguente grafico

 

 

Analisi di un grafico velocità-tempo nel moto uniformemente accelerato

 

 

Se ci fate caso, non abbiamo una retta bensì una poligonale formata da diversi segmenti. Poiché nel moto rettilineo uniformemente accelerato l'accelerazione è costante e il grafico è individuato da un segmento, qui complessivamente non abbiamo un moto uniformemente accelerato bensì un moto che è a tratti uniformemente accelerato.

 

Inoltre, se non vi siete persi le puntate precedenti, potete notare che abbiamo riproposto un grafico identico al grafico spazio-tempo del moto rettilineo uniforme. Qui c'è una grossa differenza: se prima avevamo la posizione sull'asse delle ordinate, ora abbiamo la velocità. Attenzione dunque perché i due grafici sono visivamente identici ma la grandezza descritta sull'asse delle ordinate è diversa e ne stravolge l'interpretazione.

 

Nel tratto AB il punto si muove in avanti perché la velocità è positiva ed incrementa la propria velocità per 2 secondi. Possiamo calcolare l'accelerazione in questo tratto mediante la definizione di accelerazione media.

 

 a_{AB} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{B} - v_{A}}{t_{B} - t_{A}} = \frac{(7 -3)\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{(2 - 0)\mbox{ s}} = \frac{4\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{2\mbox{ s}} = 2\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}

 

Anche nel tratto BC il punto va avanti ma, essendo la retta meno inclinata, il valore di accelerazione sarà minore:

 

 a_{BC} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{C} - v_{B}}{t_{C} - t_{B}} = \frac{(12 - 7)\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{(7 - 2)\mbox{ s}} = \frac{5\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{5\mbox{ s}} = 1\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}

 

Tra C e D il grafico è orizzontale. Ciò significa che, col passare del tempo, la velocità rimane invariata e dunque l'accelerazione è nulla. In questo tratto il punto procede con velocità costante e si muove di moto rettilineo uniforme, che è un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione nulla.

 

Nel tratto DE la velocità si riduce: il punto continua a muoversi in avanti decelerando, ossia diminuisce il modulo della velocità. Poiché la velocità è positiva ci aspettiamo di avere un'accelerazione negativa, in accordo con la pendenza del segmento:

 

 a_{DE} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{E} - v_{D}}{t_{E} - t_{D}} = \frac{(4 - 12)\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{(13 - 11)\mbox{ s}} = \frac{-8\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{2\mbox{ s}} = - 4\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}

 

Da E a F il punto ha accelerazione negativa e continua muoversi in avanti in decelerazione fino a quando, nell'intersezione con l'asse delle ascisse, si ferma per un istante. Il modulo della velocità diminuisce e la velocità è discorde rispetto all'accelerazione, per cui il punto sta decelerando. Successivamente la velocità e l'accelerazione sono concordi ed entrambe negative, sicché il punto si muove all'indietro incrementando il modulo della velocità.

 

Nel tratto FG il punto prosegue all'indietro con accelerazione nulla e con velocità costante.

 

Tra G e H il punto decelera (velocità di segno opposto a quello dell'accelerazione, diminuisce il modulo della velocità) fino a fermarsi, pur continuando a muoversi all'indietro.

 

 

Conclusione: accelerazione media dal grafico velocità-tempo

 

Anche se complessivamente il moto non è uniformemente accelerato nulla ci vietà di calcolare l'accelerazione media sull'intero percorso, unendo con una retta il punto iniziale A con il punto finale H.

 

La velocità è passata da 3 m/s a 0 m/s in un tempo di 25 s, quindi:

 

 a_{AH} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{H} - v_{A}}{t_{H} - t_{A}} = \frac{(0 - 3)\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{(25 - 0)\mbox{ s}} = \frac{- 3\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{25\mbox{ s}} = - 0,12\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}

 

Come vedete, l'interpretazione di una grafico velocità-tempo è molto diversa da quella che si deve dare ad un grafico spazio-tempo. ;)

 

 


 

Nella prossima lezione tratteremo nel dettaglio un esempio molto concreto di moto rettilineo uniformemente accelerato, quello della caduta libera di un corpo. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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