Grafico spazio-tempo per il moto uniformemente accelerato

Nelle precedenti lezioni abbiamo già avuto modo di trattare il grafico spazio-tempo nello specifico caso del moto rettilineo uniforme. Ora che abbiamo trattato anche il MRUA possiamo utilizzare il modello del grafico ST e studiare il grafico spazio-tempo per il moto rettilineo uniformemente accelerato.

Il grafico spazio-tempo per il moto uniformemente accelerato

Se vogliamo costruire il grafico spazio-tempo nel caso del moto uniformemente accelerato, cioè il grafico che ci permette di visualizzare come cambia la posizione di un corpo in funzione del tempo, dobbiamo considerare la legge oraria del moto uniformemente accelerato (MRUA).

Onde evitare inutili complicazioni ci concentriamo sul caso con istante di tempo iniziale  

Se poniamo lo spazio sull'asse delle ordinate e il tempo sull'asse delle ascisse notiamo che quella che abbiamo scritto non è altro che l'equazione di una parabola.

Per rendercene conto, confrontiamo la legge oraria con la struttura dell'equazione di una parabola che abbiamo studiato in geometria analitica:

Si vede facilmente che alle dell'equazione generica della parabola corrisponde la posizione (collocata appunto sull'asse delle ordinate), mentre alla corrisponde il tempo (posto sull'asse delle ascisse).

Il coefficiente del termine di secondo grado  è pari alla metà del valore dell'accelerazione , che è costante nel moto rettilineo uniformemente accelerato; quello di primo grado  è dato dalla velocità istantanea iniziale . Infine il temine noto  è uguale alla posizione iniziale .

Esempio sul grafico ST per il MRUA

A titolo di esempio proviamo a rappresentare il grafico della seguente legge oraria nel piano cartesiano (usando le unità di misura del Sistema Internazionale):

Dall'equazione ricaviamo che l'accelerazione è a=0,5 m/s², la velocità iniziale è v₀=1 m/s e lo spazio iniziale è s₀=3 m.

Il grafico che otteniamo è dunque una parabola che disegneremo solamente per tempi positivi, ossia solo nel semipiano delle ascisse positive, immaginando di fissare il tempo iniziale pari a zero nell'istante in cui ha inizio il nostro esperimento, e di cominciare a misurare il tempo da tale istante.

Attenzione ad un aspetto su cui moltissimi studenti fanno confusione: il grafico spazio-tempo non rappresenta la traiettoria del punto. Piuttosto, esso rappresenta l'andamento del valore di posizione al variare del tempo.

Come vedete, la posizione di 3 metri è posta sull'asse delle ordinate e rappresenta il punto di partenza del nostro grafico. Infatti nell'equazione della parabola il temine noto equivale all'ordinata in cui la parabola interseca l'asse delle ordinate. Essendo la posizione iniziale il corrispettivo di , a livello grafico assumerà lo stesso significato.

Consideriamo i punti A e B rappresentati nel grafico, tra cui intercorre un tempo pari a 2 secondi. In tale intervallo di tempo lo spazio percorso è pari a 4,25 metri. La velocità media tenuta in questo tratto è data dalla pendenza della retta che congiunge i due punti, vale a dire dal coefficiente angolare della retta passante per A e B.

In formule scriveremo:

Consideriamo ora i punti C e D. Anche tra questi due punti intercorre un tempo di 2 secondi, ma lo spazio percorso è maggiore: 7 metri. Ciò è assolutamente coerente con il modello del MRUS, infatti il moto è accelerato e dunque più passa il tempo, più aumenta la velocità; se aumenta la velocità, aumenta anche lo spazio percorso a parità di tempo.

Il fatto che il passaggio da C a D risulti più veloce da A a B è evidente anche dalla pendenza della retta passante per C e D, che è maggiore di quella passante per A e B: sappiamo infatti che ad una pendenza maggiore corrisponde una velocità maggiore.

In definitiva notiamo che nel moto uniformemente accelerato a tempi uguali corrispondono spazi diversi, contrariamente a quanto accade per il moto rettilineo uniforme, in cui a tempi uguali corrispondono spazi uguali.

Grafico spazio-tempo per il MRUA e accelerazione positiva o negativa

Al variare dei segni assunti dai parametri della legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato possiamo ottenere grafici con caratteristiche diverse.

Se ad esempio l'accelerazione è positiva, possiamo ricadere in una delle seguenti situazioni a seconda del segno della velocità iniziale.

Nel primo caso (velocità iniziale positiva) la tangente al grafico nel punto A ha una pendenza positiva e il vertice della parabola ha ascissa negativa. È il caso di una macchina in movimento che, ad un certo istante , subisce un'accelerazione costante e incrementa via via la propria velocità.

Nel secondo caso (velocità iniziale negativa) la tangente in A ha pendenza negativa mentre il vertice ha ascissa positiva. In tale eventualità tra A e V il punto si sta muovendo all'indietro e sta rallentando fino a fermarsi in V, per poi ripartire in avanti accelerando. In questo caso possiamo immaginare una macchina che si muove in retromarcia e, a un certo istante , riceve una decelerazione costante (la decelerazione è un'accelerazione con segno opposto a quello della velocità), per la quale diminuisce il modulo della propria velocità fino a fermarsi, per poi aumentarla muovendosi in avanti.

Se invece l'accelerazione è negativa abbiamo altri due casi a seconda del segno della velocità inziale.

Nel primo caso (velocità iniziale positiva) la tangente in A ha pendenza positiva e il vertice ha ascissa positiva. Tra A e V il punto si muove in avanti accelerando e, a partire da V, torna indietro accelerando fino alla posizione zero in B e oltre. È il caso di una macchina che si muove in avanti e che, a un certo istante , subisce una decelerazione costante; la sua velocità diminuisce finché non si ferma, dopodiché essa si muove all'indietro con una velocità sempre maggiore in modulo.

Nel secondo caso (velocità iniziale negativa) la tangente in A ha pendenza negativa e il vertice della parabola ha ascissa negativa; il punto torna indietro accelerando fino alla posizione zero in B e e continua a procedere all'indietro. Qui possiamo pensare a una macchina che si muove in retromarcia e subisce un'accelerazione costante e concorde, in forza della quale aumenta la velocità in retromarcia.

Casi particolari del grafico spazio-tempo per il moto uniformemente accelerato

Vediamo altri due casi particolari.

Se la posizione iniziale è nulla la parabola passa per l'origine degli assi cartesiani.

Se la velocità iniziale è nulla , ossia se il punto parte da fermo, allora la tangente nel punto A è perfettamente orizzontale.

Abbiamo finito. In modo del tutto analogo rispetto alla velocità, c'è un altro modello di grafico che dobbiamo prendere in considerazione: esso sarà il protagonista della lezione successiva, in cui presenteremo il grafico velocità-tempo per il moto uniformemente accelerato.

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Ales)

.....

Tags: come rappresentare un grafico spazio-tempo nel caso del moto rettilineo uniformemente accelerato.