Moto rettilineo uniformemente accelerato

Un moto rettilineo uniformemente accelerato (abbreviato MRUA) è un tipo di moto in cui un corpo si muove lungo una retta con accelerazione costante, e che viene caratterizzato da una formula detta legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato.

 

In questa lezione inizieremo a trattare il modello del moto uniformemente accelerato (MUA) e più precisamente parleremo del moto rettilineo uniformemente accelerato (MRUA), proponendo tutte le formule e diversi esempi di applicazione.

 

Naturalmente commenteremo il tutto e non mancheremo nel darvi qualche consiglio sull'uso delle formule e delle formule inverse. Per concludere in bellezza mostreremo anche come ricavare la legge oraria del MRUA.

 
 
 

Definizione di moto uniformemente accelerato

 

Partiamo dalla definizione di moto uniformemente accelerato: è il moto di un corpo che si muove mantenendo la propria accelerazione costante. Se il moto avviene lungo una linea retta, si parla in questo caso più precisamente di moto rettilineo uniformemente accelerato.

 

Con la parola uniformemente si intende che, al passare del tempo, l'accelerazione non cambia.

 

Formule del moto rettilineo uniformemente accelerato

 

Come al solito cominciamo con una tabella di riepilogo con tutte le principali formule per il moto uniformemente accelerato, in modo da poterle recuperare velocemente se state svolgendo degli esercizi. Poi passiamo a commentarle. ;)

 

 

Caratterizzazione

Accelerazione costante

Velocità

v=v_{i}+a(t-t_i)

Legge oraria

s=\frac{1}{2} a (t-t_i)^2 + v_{i}(t-t_i) + s_{i}

Velocità con istante iniziale t_0=0

v=v_0+at

Legge oraria con istante iniziale t_0=0

s=\frac{1}{2}at^2 + v_0t + s_0

Equazione senza il tempo

 v^{2} = v_{0}^{2} + 2a \(s - s_{0} \)

 

 

Le formule del moto uniformemente accelerato che si usano per risolvere i problemi sono principalmente due:

 

\begin{cases}v=v_{i}+a\Delta t\\ s=\frac{1}{2} a (\Delta t)^2 + v_{i}\Delta t + s_{i}\end{cases}

 

o, esplicitamente

 

\begin{cases}v=v_{i}+a(t-t_i)\\ s=\frac{1}{2} a (t-t_i)^2 + v_{i}(t-t_i) + s_{i}\end{cases}

 

Nel caso più semplice, che poi è quello su cui ci dilungheremo nonché quello che più frequentemente si ripropone nelle applicazioni e negli esercizi, si considera come istante iniziale t_i=t_0=0. In tal caso l'intervallo di tempo \Delta t coincide con l'istante di tempo finale t e le formule diventano:

 

\begin{cases}v=v_{0}+at\\ s=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+s_{0}\end{cases}\ \ \ (!!!)

 

dove:

 

- con v si intende la velocità istantanea al tempo t, che si può intendere come velocità finale;

 

- con v_0 la velocità iniziale (al tempo t_0=0);

 

- con a l'accelerazione;

 

- con t l'istante di tempo finale;

 

- con s la posizione al tempo t, che si può intendere come posizione finale;

 

- con s_0 la posizione iniziale del corpo (al tempo t_0=0).

 

Le precedenti equazioni possono essere utilizzate per ricavare le formule inverse a seconda dei dati di cui si dispone e dei valori che si vogliono determinare.

 

 

Accelerazione uniforme e moto uniformemente accelerato

 

Come accennato nella definizione, nel moto uniformemente accelerato l'accelerazione è costante (o uniforme). Di conseguenza l'accelerazione media e l'accelerazione istantanea coincidono in qualsiasi istante di tempo e assumono il medesimo valore a, che per brevità viene chiamato accelerazione.

 

 

Osservazioni sulle formule del moto uniformemente accelerato

 

La prima equazione non è altro che la formula inversa della definizione di accelerazione media, di cui abbiamo parlato in una delle precedenti lezioni.

 

La seconda formula invece è la legge oraria del uniformemente accelerato ossia l'equazione che, come nel caso del moto rettilineo uniforme, esprime la posizione del corpo in funzione del tempo.

 

Notiamo inoltre che se nella legge oraria poniamo l'accelerazione uguale a zero, ossia consideriamo il moto di un corpo che non accelera e che quindi mantiene la propria velocità costante nel tempo, otteniamo la legge oraria del moto rettilineo uniforme. Ne deduciamo che il moto rettilineo uniforme non è altro che un caso particolare del moto uniformemente accelerato in cui l'accelerazione è nulla.

 

Ovviamente le equazioni dei casi particolari devono sempre essere racchiuse all'interno delle equazioni dei casi più generali. Si tratta di un principio sempre valido in fisica, a prescindere dall'argomento trattato.

 

Esempi sul moto rettilineo uniformemente accelerato

 

1) Vediamo un esempio sul moto rettilineo uniformemente accelerato: un aereo fermo sulla pista accende i motori e accelera fino a raggiungere la velocità di 80 m/s prima di decollare. La fase di accelerazione dura 25 secondi. Quanto spazio percorre l'aereo sulla pista?

 

Svolgimento: nulla ci vieta di considerare come istante iniziale di tempo t_0=0. Scriviamo le due equazioni

 

\begin{cases}v=v_{0}+at\\ s=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+s_{0}\end{cases}

 

Osserviamo che, essendo inizialmente fermo, l'aereo ha velocità iniziale nulla (v_0=0). Possiamo anche scegliere un sistema di riferimento in cui la posizione iniziale è uguale a zero (s_0=0), pertanto le due equazioni diventano:

 

\begin{cases}v = at\\ s=\frac{1}{2}at^{2}\end{cases}

 

L'esercizio richiede di calcolare lo spazio percorso, ma la seconda formula serve a calcolare la posizione finale s. Osserviamo però che:

 

- la posizione finale coincide con lo spostamento perché abbiamo scelto un SdR con s_0=0;

 

\Delta s=s_f-s_0=s_f

 

- analogamente al caso di un moto rettilineo uniforme, in un moto rettilineo uniformemente accelerato spostamento e spazio percorso coincidono, quindi non ci sono problemi. :)

 

Per calcolare lo spazio percorso abbiamo bisogno della posizione finale s e quindi dobbiamo usare la seconda equazione, ma non conosciamo l'accelerazione: ricaviamola dalla prima equazione

 

 a = \frac{v}{t} = \frac{80\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{25\mbox{ s}} = 3,2\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

 

Ora possiamo trovare la posizione finale:

 

 s = \frac{1}{2} \cdot \left(3,2\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot \left(25\mbox{ s}\right)^{2} = 1000\mbox{ m}

 

e quindi, dato che abbiamo scelto come posizione iniziale s_0=0, lo spazio percorso coincide con la posizione finale ed è pari a 1000 metri.

 

 

2) Vediamo un secondo esempio. Un camion viaggia in autostrada alla velocità di 26 m/s quando, in prossimità del casello, comincia a rallentare e si ferma in 30 s. Calcolarne l'accelerazione.

 

Svolgimento: anche in questo caso possiamo considerare come istante di tempo iniziale t_0=0. Abbiamo la velocità iniziale v_0=26\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} e l'istante di tempo finale t=30\mbox{ s}.

 

Se alla fine il camion si ferma, significa che la sua velocità finale v è zero. Usiamo la prima equazione:

 

\\ v=v_{0}+at \\ \\  0 = v_{0} + at  \\ \\  at = -v_{0}\\ \\ a=-\frac{v_0}{t}\\ \\ a = - \frac{26\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{30\mbox{ s}}\simeq -0,87\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

 

Il segno meno è corretto, perché il camion sta decelerando, ossia sta riducendo il modulo della propria velocità. Poiché la velocità passa da positiva a nulla, l'accelerazione deve essere necessariamente negativa.

 

 

Osservazione: abbiamo due equazioni, usiamole!

 

È possibile che una sola tra le due equazioni del moto uniformemente accelerato non sia sufficiente per esaudire le richieste di un problema. In tal caso si dovranno usare entrambe le formule ponendole a sistema. Consigliamo inoltre a chi non ha difficoltà nel maneggiare le equazioni di tenere a mente solo le due formule proposte e di usarle per ricavare le varie formule inverse.

 

 

3) Facciamo un ulteriore esempio: un'auto parte da ferma e accelera fino a raggiungere la velocità di 22 m/s. Nella fase di accelerazione percorre 88 m. Calcolare l'accelerazione dell'auto e il tempo impiegato per raggiungere la velocità finale.

 

Svolgimento: scriviamo il sistema con le due equazioni del moto accelerato, considerando come tempo iniziale t_0=0

 

 \begin{cases} v = v_{0} + at \\ s = \frac{1}{2}at^{2} + v_{0}t + s_{0} \end{cases}

 

Il problema ci dice che l'auto parte da ferma, per cui la sua velocità iniziale è zero: v_0=0. Inoltre non si parla di posizione iniziale, quindi possiamo considerare s_0=0.

 

Conseguentemente il nostro sistema si riduce a:

 

 \begin{cases} v = at \\ s = \frac{1}{2}at^{2} \end{cases}

 

Come vedete abbiamo due incognite: l'accelerazione e il tempo. Ciò ci impedisce di fare uso di una sola delle due equazioni e ci costringe a risolvere il sistema. Ricaviamo il tempo dalla prima e sostituiamolo nella seconda:

 

 \begin{cases} t = \dfrac{v}{a} \\ \\ s = \dfrac{1}{2}a\left(\dfrac{v}{a}\right)^{2} \end{cases}\ \ \longrightarrow\ \ \begin{cases} t = \dfrac{v}{a} \\ \\ s = \dfrac{v^2}{2a} \end{cases}

 

Dalla seconda equazione possiamo ricavare l'accelerazione

 

\begin{cases}t=\dfrac{v}{a} \\ \\ a=\dfrac{v^{2}}{2s}=\dfrac{484\ \frac{\mbox{m}^2}{\mbox{s}^{2}}}{176\mbox{ m}}=2,75\ \dfrac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2} \end{cases}

 

Una volta calcolata l'accelerazione possiamo sostituirla nella prima equazione per determinare il tempo

 

 \begin{cases} t = \dfrac{22\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{2,75\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}} = 8\mbox{ s} \\ \\ a = 2,75\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2} \end{cases}

 

Formula del moto uniformemente accelerato senza il tempo

 

Per chi è meno pratico con le tecniche di manipolazione delle equazioni, ecco un'altra formula utile nel contesto del moto uniformemente accelerato, la cosiddetta equazione senza il tempo:

 

 v^{2} = v_{0}^{2} + 2a \(s - s_{0} \)

 

che useremo ovviamente quando il tempo non è noto e non è nemmeno ciò che ci viene richiesto.

 

Come ricavare la legge oraria del moto uniformemente accelerato

 

Vediamo come dedurre la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato. A differenza del caso del moto rettilineo uniforme, nonostante accelerazione media ed accelerazione istantanea coincidano, non possiamo prescindere dall'uso delle equazioni differenziali.

 

Per questo motivo la lettura è facoltativa per chiunque non abbia ancora affrontato l'argomento. Tranquilli, siete in buona compagnia! ;)

 

 

Formule del moto rettilineo uniforme dalla velocità istantanea

 

L'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo. Accelerazione media e istantanea coincidono nel MRUA, quindi possiamo considerare l'accelerazione media

 

a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_i}{t-t_i}

 

Invertiamo l'equazione in favore di v

 

v-v_i=a(t-t_i)

 

da cui

 

v=a(t-t_i)+v_i

 

Per semplicità possiamo considerare come istante iniziale t_0=0, per cui l'equazione diventa

 

v=at+v_0

 

e abbiamo ricavato la prima formula del moto uniformemente accelerato, che abbiamo scritto all'inizio di questa lezione. Tra l'altro è facile vedere che la velocità è funzione lineare del tempo, pertanto se disegniamo un grafico velocità-tempo otteniamo una retta.

 

D'altra parte sappiamo che la velocità istantanea può essere vista come la derivata dello spazio rispetto al tempo:

 

 v = \frac{ds}{dt} \longrightarrow \frac{ds}{dt} = v_{0} + at

 

Ora interpretiamo quest'ultima equazione come un'equazione differenziale a variabili separabili

 

ds=(v_0+at)dt

 

e integriamo, considerando anche qui il tempo iniziale nullo (con un piccolo abuso di notazione sugli estremi di integrazione):

 

\\ \int_{s_{0}}^{s}{ds} = \int_{0}^{t}{(v_{0} + at )dt}\\ \\ \\ \int_{s_{0}}^{s}{ds} = v_{0} \int_{0}^{t}{dt} +a \int_{0}^{t}{t dt}\\ \\ \\  s - s_{0} = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2} \longrightarrow s = \frac{1}{2}at^{2} +v_{0}t + s_{0}

 

e abbiamo ricavato la legge oraria del moto uniformemente accelerato.

 

 


 

Nelle lezioni successive approfondiremo l'argomento occupandoci:

 

- del grafico spazio-tempo per il moto rettilineo uniformemente accelerato;

 

- del grafico velocità-tempo per il moto rettilineo uniformemente accelerato.

 

Più avanti avremo invece modo di trattare il caso del moto circolare uniformemente accelerato.

 

Nel frattempo, se foste alla ricerca di altri esempi e di esercizi svolti sul MRUA, non esitate e fate buon uso della barra di ricerca interna. Qui su YM abbiamo tantissimi esercizi risolti di Fisica! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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