Accelerazione istantanea

L'accelerazione istantanea in Fisica è una grandezza vettoriale definita come la derivata della velocità rispetto al tempo, e che esprime la variazione di velocità di un corpo istante per istante.

 

Dopo aver introdotto la nozione di accelerazione di un corpo (inteso come punto materiale) e aver visto come si definisce un valore di accelerazione media, passiamo ad occuparci del concetto di accelerazione istantanea.

 

Attenzione: la nozione di accelerazione istantanea presenta una grande insidia, perché essa non può prescindere da uno strumento matematico - le derivate - che non tutti gli studenti hanno già affrontato nel proprio percorso didattico. Le derivate vengono infatti studiate per la prima volta nell'ultimo anno delle scuole superiori.

 

Per questo motivo abbiamo cercato di presentare una spiegazione utile a tutti: sia a chi deve studiare l'accelerazione istantanea per un compito od un'interrogazione (prima della quinta superiore), sia per chi può affrontare l'argomento perché dispone di tutti gli strumenti matematici necessari (dalla quinta superiore in avanti). Nel primo caso, se doveste imbattervi in qualche termine che non vi è noto, non scoraggiatevi e limitatevi a digerire il concetto fisico. Per tutti gli altri, verso la fine della lezione proporremo la definizione di accelerazione istantanea e le formule che la caratterizzano, non prima però di aver proposto un preambolo sul significato grafico della stessa. ;)

 
 
 

Che cos'è l'accelerazione istantanea, e come si ricava?

 

Tagliamo subito la testa al toro e anticipiamo cos'è l'accelerazione istantanea: essa è una grandezza che ci dice con quale rapidità cambia la velocità in un preciso istante di tempo.

 

Con la velocità ci eravamo chiesti come potevamo trovare il valore di velocità di un punto in un certo istante di tempo, ovvero la velocità istantanea. Possiamo porci la stessa domanda con l'accelerazione: infatti nella lezione precedente abbiamo definito l'accelerazione media, la quale ci fornisce il valore dell'accelerazione tenuta mediamente lungo un percorso in un certo intervallo di tempo. Ora invece vogliamo conoscere il valore di accelerazione in un istante di tempo preciso: in due parole, l'accelerazione istantanea.

 

Se vogliamo arrivare alla risposta e trovare l'accelerazione istantanea, dobbiamo semplicemente seguire la stessa logica usata per la velocità istantanea. Consideriamo un grafico velocità-tempo, ponendo la velocità sull'asse delle ordinate e il tempo sull'asse delle ascisse.

 

In questo modo, il moto di un corpo che si muove aumentando o diminuendo la propria velocità sarà descritto da una linea curva, come nel grafico seguente.

 

 

Accelerazione istantanea e accelerazione media

 

 

Consideriamo due punti sul grafico, A e B, presi a due istanti di tempo diversi: la pendenza della retta congiungente A e B (vale a dire il coefficiente angolare della retta) ci fornisce il valore dell'accelerazione media tenuta nel tempo \Delta t.

 

m_{AB}=a_{m,AB}=\frac{\Delta v}{\Delta t}

 

Analogamente al caso della velocità istantanea, spostiamo il punto B sul grafico in una posizione più vicina ad A, riducendo sull'asse delle x l'ampiezza dell'intervallo di tempo \Delta t.

 

In questo modo la pendenza della secante che congiunge A con B' cambia fornisce un diverso valore di accelerazione media.

 

m_{AB'}=a_{m,AB'}=\frac{\Delta v}{\Delta t}

 

 

Significato accelerazione istantanea

 

 

Riduciamo ulteriormente l'intervallo di tempo: spostiamo il punto B' in una posizione ancor più vicina ad A, in un punto che indichiamo con B''. Otterremo quindi un nuovo valore di accelerazione media diverso dai precedenti.

 

Avviciniamo ancora il punto B'' ad A fino a farli coincidere. In questo modo, l'intervallo di tempo \Delta t che divideva i due punti si riduce praticamente a zero ("tende a zero" nel linguaggio dei limiti, per chi li ha già studiati).

 

Di conseguenza la retta congiungente A e B, che prima era secante, diventa tangente al grafico nel punto A.

 

 

Grafico accelerazione istantanea

 

 

Da un punto di vista grafico l'accelerazione istantanea in un punto è la pendenza della tangente al grafico velocità-tempo in quel punto.

 

Analogamente a quanto visto per la velocità istantanea, l'accelerazione istantanea assume valori maggiori quanto maggiore è la pendenza della retta tangente al grafico, quindi risulta più inclinata rispetto all'asse delle ascisse, ed è nulla quando la tangente è perfettamente orizzontale.

 

Inoltre se la tangente ha una direzione in salita da sinistra verso destra, allora l'accelerazione in quel punto è positiva, mentre se la tangente ha una direzione in discesa da sinistra verso destra, allora l'accelerazione è negativa.

 

 

Accelerazione istantanea e derivata prima

 

Una piccola considerazione matematica per chi ha già studiato le derivate, esattamente come nel caso della velocità istantanea. Tutti gli altri possono passare al paragrafo successivo. :)

 

Il ragionamento grafico che abbiamo seguito è quello che in Matematica ci permette di definire la derivata come limite del rapporto incrementale.

 

 y' = \lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}

 

Dalla Matematica apprendiamo anche che la derivata, calcolata in un preciso valore di x, ci fornisce proprio il coefficiente angolare (ovvero la pendenza) della retta tangente al grafico in quel punto. Non è difficile vedere che è esattamente quello che abbiamo fatto con la definizione di accelerazione istantanea.

 

Definizione di accelerazione istantanea

 

Dopo aver presentato il significato dell'accelerazione istantanea da un punto di vista grafico siamo pronti per vedere la definizione di accelerazione istantanea, la quale lega la nozione di accelerazione istantanea e derivata.

 

L'accelerazione istantanea è la derivata della velocità rispetto al tempo.

 

Di conseguenza, la formula dell'accelerazione istantanea è:

 

 a = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta v}{\Delta t}} = \frac{dv}{dt}

 

dove con dv,\ dt intendiamo le variazioni infinitesime (ovvero prossime allo zero) della velocità e del tempo.

 

Da qui si capisce il senso della definizione proposta inizialmente. L'accelerazione istantanea è una grandezza che esprime la rapidità con cui cambia la velocità del punto in movimento in un particolare istante di tempo.

 

 

Relazione tra accelerazione istantanea e posizione

 

Un altro paragrafo che gli studenti < V superiore possono saltare allegramente. ;) Ricordando che la velocità istantanea è data a sua volta dalla derivata della posizione rispetto al tempo, possiamo scrivere un'ulteriore formula dell'accelerazione istantanea con posizione e tempo

 

 a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{ds}{dt} \right) = \frac{d^2 s}{dt^2}

 

e dunque l'accelerazione istantanea è la derivata seconda della posizione rispetto al tempo.

 

Come si calcola l'accelerazione istantanea?

 

Come mai in questa lezione non abbiamo presentato nemmeno un esempio di calcolo dell'accelerazione istantanea? Forse gli esempi ci stanno antipatici?... :(

 

Ovviamente no. Anche se le formule dell'accelerazione istantanea possono risultare incomprensibili ed inapplicabili per chi non ha ancora raggiunto la quinta superiore (anno in cui si studiano le derivate), la definizione di accelerazione istantanea scritta in precedenza permette di ricavare le formule da usare negli esercizi e nelle applicazioni.

 

Lo studio della Fisica avviene infatti mediante modelli con complessità crescente. All'inizio chi non dispone degli strumenti matematici necessari deve focalizzarsi sui concetti (accelerazione come variazione di velocità) e seguire la linea didattica che permette di passare dai modelli più semplici a quelli più realistici, e dunque più complicati.

 

 


 

Nella lezione successiva inizieremo infatti a trattare il modello più semplice di moto che coinvolge l'accelerazione e tratteremo il moto uniformemente accelerato. Nel frattempo i più curiosi possono ricorrere alla barra di ricerca interna e cercare esempi ed esercizi sull'accelerazione istantanea. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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