Forme di indecisione per successioni

Abbiamo studiato l'algebra dei limiti di successioni e l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi per le successioni. Essi ci forniscono i primi strumenti per affrontare lo studio dei limiti di successioni, ma ci sono casi per i quali è necessario approfondire la questione. Consideriamo ad esempio

In una prima analisi, affermiamo che il limite è della forma , ma quale valore dobbiamo attribuire a tale "simbologia"? Proviamo a risolvere il limite con una razionalizzazione "al contrario"

beginalign* lim_(n → ∞)√(n^2+1)-n = lim_(n → ∞)((√(n^2+1)-n)(√(n^2+1)+n))/(√(n^2+1)+n) = ; = lim_(n → ∞)(1)/(√(n^2+1)+n) = [(1)/(+∞)] = 0 endalign*

Potremmo (erroneamente) pensare di associare al simbolo il valore 0, ma purtroppo non è così. Il seguente esempio annienterà le nostre prime impressioni.

Siamo di fronte al caso: , l'esperienza pregressa ci induce a pensare che esso valga zero. Se però mettiamo in evidenza avremo:

beginalign*lim_(n → ∞)n^2-n = lim_(n → ∞)n^2(1-(1)/(n)) ; = [+∞·1] = +∞ endalign*

Nonostante i due limiti si presentino nella forma , abbiamo due diversi risultati. Non potendo dare a priori un valore al simbolo diremo che questa è una forma di indecisione o forma indeterminata. Di seguito riportiamo i simboli che stanno ad indicare i casi che necessitano uno studio più approfondito:

Ci chiediamo quale siano i modi per risolvere queste forme di indecisione, e a questo proposito la risposta è pronta e servita: i metodi di risoluzione sono del tutto analoghi a quelli visti nel caso delle funzioni, dunque vi invitiamo a dare un'occhiata alla lezione sui metodi di risoluzione delle forme di indecisione. La lezione del link è riferita ai limiti di funzioni reali, che comunque presenta strategie valide anche nel caso delle successioni.

Naturalmente, bisogna avere abilità algebriche per risolvere i limiti, e tale capacità si acquisisce solo con l'esercizio costante. Non scoraggiarti alle prime avversità, inizia in modo graduale, partendo dai limiti più semplici e via via risolvendone sempre di più elaborati. Con pazienza pachidermica ed insistenza riuscirai a risolvere limiti che prima ti sembravano impossibili.

A questo punto potresti pensare che la lezione si concluda qui. E invece no perché c'è un aspetto importantissimo di cui dobbiamo parlare...

Il teorema ponte

L'occhio attento avrà notato che tra i metodi di risoluzione delle forme di indecisione nel caso delle funzioni c'è un mezzo molto potente: la regola di De l'Hopital.

Che problemi ci sono nell'utilizzo del metodo del Marchese? Se ne rileggi attentamente le ipotesi, ti renderai conto che abbiamo a che fare con funzioni reali, in cui x è una "variabile continua", che "vive" in un sottoinsieme di numeri reali, nelle successioni invece la variabile n è discreta e vive in un sottoinsieme illimitato di . Inoltre interviene la derivata di una funzione reale, concetto che non è definito per le successioni. Sotto opportune ipotesi è però possibile aggirare questi ostacoli, sussiste infatti il teorema ponte o teorema di collegamento.

Vediamone l'enunciato: siano

1) una funzione reale

Diremo che:

se e solo se per ogni successione reale tale che

si ha che:

La dimostrazione di tale teorema verrà omessa in questa sede, ma se ti serve ne abbiamo parlato qui: teorema ponte - click!.

Sostanzialmente questo teorema crea un collegamento (da qui il nome) tra i limiti di funzioni ed i limiti di successioni ed ha notevoli implicazioni, tra queste troviamo quella che ci serve...

Supponiamo di avere una successione dove , supponiamo inoltre di voler calcolare il limite:

grazie al suddetto teorema abbiamo l'uguaglianza tra i seguenti limiti:

invece di studiare il limite della successione, potremo passare al limite di funzione:

per cui è possibile utilizzare la regola di De l'Hopital, sempre se le ipotesi del Marchese sono rispettate.

Nota importante: molti professori universitari bandiscono l'utilizzo di De l'Hopital per le successioni (e sinceramente... anch'io). Utilizzatelo con estrema cautela, ok?. :)

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Ifrit

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