Segno di una successione

Il segno di una successione è una proprietà che caratterizza complessivamente il segno di tutti i termini che costituiscono la successione, o eventualmente di una parte di essi. Una successione può essere positiva, negativa, nulla, a segni alterni, a segni variabili o con segno definitivamente costante.

 

In questa lezione daremo una definizione completa e dettagliata del segno di una successione, classificando tutti i possibili casi che possono manifestarsi. Fatto ciò ci occuperemo dei metodi pratici che permettono di studiare il segno di una successione numerica e proporremo diversi esempi svolti.

 
 
 

Definizione di segno di una successione

 

Per prima cosa riportiamo la definizione di segno di una successione. Come vedremo tra un istante il discorso è del tutto analogo a quello già affrontato nel caso del segno di una funzione

 

Consideriamo una successione numerica \{a_n\}_n. Ricordando che il quantificatore universale per ogni si indica con il simbolo \forall, diremo che tale successione è:

 

- positiva se a_n>0\ \forall n

 

- non negativa se a_n\geq 0\ \forall n

 

- negativa se a_n<0\ \forall n

 

- non positiva se a_n\leq 0\ \forall n

 

- nulla se a_n=0\ \forall n

 

Qualsiasi successione che non soddisfi alcuna delle quattro definizioni precedenti viene detta successione a segno variabile (o successione a segni variabili); tra queste ricoprono un ruolo di rilievo le successioni a segni alterni.

 

In perfetto accordo con il nome, per definizione una successione è a segni alterni se

 

a_n\cdot a_{n+1}<0

 

ossia se ogni suo termine è discorde rispetto al successivo. Si noti che una successione a segni alterni non può ovviamente avere alcun termine nullo.

 

Successioni con segno definitivamente costante

 

La precedente classificazione è la più generale possibile. Cionondimeno nelle applicazioni teoriche e negli esercizi capita di imbattersi in successioni che presentano segno costante da un certo punto in poi. Poiché tale proprietà avrà una certa rilevanza nel prosieguo della teoria, vale la pena di introdurre un'ulteriore sotto-classificazione delle successioni a segno variabile.

 

Diciamo che una successione a segno variabile \{a_n\}_n è:

 

- definitivamente positiva se \exists \overline{n}\mbox{ t.c. }a_n>0\ \forall n>\overline{n}

 

- definitivamente non negativa se \exists \overline{n}\mbox{ t.c. }a_n\geq 0\ \forall n>\overline{n}

 

- definitivamente negativa se \exists \overline{n}\mbox{ t.c. }a_n<0\ \forall n>\overline{n}

 

- definitivamente non positiva se \exists \overline{n}\mbox{ t.c. }a_n\leq 0\ \forall n>\overline{n}

 

- nulla se \exists \overline{n}\mbox{ t.c. }a_n=0\ \forall n>\overline{n}

 

- definitivamente a segni alterni se \exists \overline{n}\mbox{ t.c. }a_n\cdot a_{n+1}<0\ \forall n>\overline{n}.

 

In ciascun caso l'avverbio definitivamente lascia bene intendere il significato della definizione: la proprietà deve valere da un certo indice in poi, ossia deve esistere una coda infinita di termini che soddisfano la proprietà. Vi facciamo notare sin da subito che nella maggior parte dei casi non sarà importante quale sia lo specifico indice da cui la proprietà inizia a valere, quanto più che tale indice esista.

 

Come studiare il segno di una successione

 

Esistono svariate tecniche per determinare il segno di una successione, del tutto analoghe rispetto ai metodi per studiare il segno di una funzione. Esponiamo dapprima le possibili strategie in termini astratti per poi applicarle in alcuni esercizi risolti.

 

 

1) Studio del segno tramite le disequazioni.

 

Uno dei metodi più elementari consiste nella risoluzione della disequazione relativa all'incognita n:

 

a_n\geq 0

 

Tale metodo si applica per le successioni definite mediante un termine generale, vale a dire della forma \{a_n\}_n, in cui il termine generale è individuato come funzione f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} e tali per cui f(n)=a_n.

 

Le soluzioni di tale disequazione non consisteranno, come siamo solitamente abituati, ad intervalli di numeri reali. Ciononostante potremo procedere risolvendo la disequazione nell'incognita reale x

 

f(x)\geq 0

 

così da individuare gli intervalli di numeri reali che rendono il primo membro positivo o nullo. Fatto ciò, estrapoleremo da tali intervalli i valori interi per cui il termine generale a_n è positivo o nullo, e per negazione i valori interi per cui esso è negativo.

 

Dalla lettura dei risultati saremo in grado di dedurre le necessarie informazioni relative al segno della successione \{a_n\}_n.

 

 

Osservazione (caso particolare delle successioni a segno alterno)

 

Solitamente le successioni con termini a segni alterni sono ben riconoscibili dalla semplice osservazione del termine generale. Se avessimo poche certezze e molti sospetti potremo avvalerci della verifica mediante la definizione e risolvere la disequazione

 

a_n\cdot a_{n-1}<0

 

se la successione rispetta tale condizione per ogni n allora concluderemo che essa è a segni alterni; se tale condizione sussiste solamente definitivamente (da un certo \overline{n} in poi), concluderemo che essa è definitivamente a segni alterni. In tutti gli altri casi il nostro sospetto si rivelerebbe infondato. ;)

 

 

2) Studio del segno tramite la proprietà delle funzioni.

 

In tutta onesta potremmo serenamente omettere questo metodo poiché non è altro che un caso particolare della tecnica 1). Tuttavia si tratta di una strategia che potenzialmente permette di risparmiare parecchi calcoli, dunque preferiamo darle una discreta visibilità. ;)

 

Tale tecnica può essere applicata solo in alcune occasioni e prevede, ove possibile, di sfruttare le informazioni sulle funzioni elementari a noi note.

 

Consideriamo una successione \{a_n\}_n e supponiamo di dover studiare il segno della successione

 

\{b_n\}=\{f(a_n)\}_n

 

dove f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} è una funzione reale a valori reali. Affinché la successione \{b_n\}_n sia ben definita, il dominio di f deve contenere tutti i termini che costituiscono la successione:

 

a_n\in Dom(f)\ \forall n

 

Se il segno della funzione f è costante, e se tale è il segno della successione \{a_n\}_n, allora possiamo dedurre le informazioni sul segno di \{f(a_n)\}_n semplicemente ragionando per composizione (non a caso si parla di successione composta).

 

Ad esempio:

 

- se f è positiva su tutto il proprio dominio, segue che \{f(a_n)\}_n è positiva;

 

- se f è negativa su tutto il proprio dominio, segue che \{f(a_n)\}_n è negativa;

 

Ci sono poi casi più elaborati in cui la funzione f può avere un segno costante per x<0 e per x>0, e in tali casi il suo segno determinerà il segno di \{f(a_n)\}_n a seconda che \{a_n\}_n sia positiva o negativa.

 

Le possibili combinazioni sono tantissime e non ha molto senso elencarle in questa sede; il nostro intento consiste piuttosto nel trasmettervi la logica del ragionamento.

 

 

3) Studio del segno tramite principio di induzione.

 

Abbiamo già avuto modo di disquisire del principio di induzione, il quale può rivelarsi preziosissimo in presenza di indici interi. Per alcuni tipi di successioni, e in particolare nel caso delle successioni definite per ricorrenza, conviene appellarsi al ragionamento induttivo per dimostrare che una data successione abbia un segno specifico.

 

Anche se ci siamo già dilungati sull'argomento nella lezione dedicata, riteniamo utile ripercorrere velocemente i passaggi da seguire.

 

Supponiamo di voler dimostrare che una successione \{a_n\}_n è positiva, ossia che a_n>0\ \forall n. Dovremo:

 

- verificare il passo base: a_0>0.

 

- Supporre che a_k>0 per un generico indice k (ipotesi induttiva).

 

- Dimostrare, utilizzando l'ipotesi induttiva, che dall'ipotesi induttiva segue che a_{k+1}>0 (passo induttivo).

 

Esempi sul segno di una successione

 

Passiamo alla pratica e vediamo alcuni esempi svolti per ciascuno dei metodi sopraelencati.

 

A) Consideriamo la successione definita su \mathbb{N}

 

\{a_n\}_n=\{n^2-3n+2\}_n

 

Svolgimento: usiamo il metodo per lo studio del segno tramite disequazione, dunque risolviamo

 

n^2-3n+2\geq 0

 

Risolviamo la corrispondente disequazione di secondo grado con incognita reale x

 

x^2-3x+2\geq 0

 

e scomponiamo il primo membro mediante la regola della somma per differenza

 

(x-1)(x-2)\geq 0

 

da cui ricaviamo le soluzioni

 

x\leq 1\vee x\geq 2

 

e in particolare il primo membro si annulla per x=1,\ x=2. Restringendo le soluzioni all'insieme dei numeri naturali scopriamo che la successione ha come unici termini nulli

 

a_1=0=a_2

 

mentre tutti gli altri termini sono positivi

 

a_0>0,\ a_n>0\forall n\geq 3

 

di conseguenza si tratta di una successione a segni variabili, nonché di una successione a segni definitivamente alterni.

 

 

B) Consideriamo la successione, definita per n\in\mathbb{N}^*

 

\{a_n\}_n=\left\{\frac{(-1)^n}{n}\right\}_n

 

Svolgimento: il metodo delle disequazioni qui non funzionerebbe, ma poco importa: si vede subito che il denominatore ha segno positivo per ogni n\in\mathbb{N}^*, mentre il numeratore assume segni alterni

 

(-1)^0=1\ \ ;\ \ (-1)^1=-1\ \ ;\ \ (-1)^2=1\ \ ;| \ (-1)^3=-1\ \ ...

 

in accordo con le proprietà delle potenze. In conclusione la successione ha termini di segno alterno.

 

 

C) Studiamo il segno della successione definita per n\in\mathbb{N}^*

 

\{b_n\}_n=\left\{\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right\}_n

 

Svolgimento: è immediato osservare che la successione \{\frac{1}{n}\}_n è positiva su \mathbb{N}^*, e che ogni suo termine appartiene all'intervallo (0,1]

 

\\ \frac{1}{n}>0\ \ \forall n\in\mathbb{N}^*\\ \\ \\ \frac{1}{n}\leq 1\ \ \forall n\in\mathbb{N}^*\mbox{ infatti }n\geq 1\forall n\in\mathbb{N}^*

 

D'altro canto la funzione seno f(x)=\sin(x) è positiva sull'intervallo (0,\pi). Poiché (0,1]\subset (0,\pi) concludiamo che tutti i termini della successione appartengono all'intervallo (0,\pi) ne deduciamo che la successione \left\{\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right\}_n è positiva per ogni n\in\mathbb{N}^*.

 

 

D) Studiare il segno della successione definita per ricorrenza

 

\begin{cases}a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n}\ \ \ \mbox{per }n\geq 5\\ \\ a_4=3\end{cases}

 

Svolgimento: proviamo ad elencare i primi termini della successione ricorsiva

 

\\ a_4=3\\ \\ a_5=a_4+\frac{1}{4}=3+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}\\ \\ \\ a_6=a_5+\frac{1}{5}=\frac{13}{4}+\frac{1}{5}=\frac{69}{20}

 

Poiché partiamo da un termine positivo (a_4) e sommiamo di volta in volta un termine positivo \left(\frac{1}{n}\right), sospettiamo che la successione sia positiva. Dimostriamolo con il metodo per induzione:

 

- passo base: ovvio, perché a_4=3>0.

 

- passo induttivo: supponiamo a_n>0 e dimostriamo che l'ipotesi induttiva implica che sia a_{n+1}>0

 

a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n}

 

da cui conludiamo che a_n è positivo in quanto somma di termini positivi.

 

In definitiva la successione ricorsiva proposta è positiva.

 

 


 

Continua a leggere le nostre lezioni, e nel frattempo ricordate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: segno di una successione - successioni a segni alterni - successione a termini positivi - come determinare il segno di una successione di numeri reali.