Successioni numeriche

Una successione numerica, indicata con il simbolo {an}n o con altre lettere, è una legge che associa ad ogni numero naturale n un numero reale an. In modo equivalente una successione è un sottoinsieme di numeri reali individuati come immagini dei numeri naturali mediante una funzione.

 

In questa lezione introdurremo un'ente matematico misterioso agli studenti alle prime armi. Le successioni numeriche sono oggetto di studio approfondito solamente nei corsi universitari di Analisi Matematica, e vengono talvolta studiate in modo superficiale al quarto anno delle scuole superiori.

 

Qui di seguito introdurremo questo nuovo argomento occupandoci delle notazioni e delle possibili definizioni di successione numerica, per poi mostrare qualche esempio. Vi raccomandiamo di non sottovalutare alcuna osservazione, perché le successioni saranno le assolute protagoniste dell'intera sezione di lezioni. ;)

 
 
 

Definizione di successione

 

In termini grossolani potremmo affermare che una successione numerica è una sequenza infinita di numeri reali. Ad esempio, la sequenza

 

1,\ 4,\ -5,\ \frac{1}{17},\ ...

 

di cui abbiamo elencato i primi 4 termini e che prosegue con un elenco di altri specifici numeri reali, in numero infinito, è una successione. Come ulteriore esempio potremmo considerare la sequenza

 

0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ ...

 

è una successione i cui termini corrispondono ai numeri naturali, scelti consecutivamente e scritti in modo ordinato.

 

In Matematica ogni definizione deve essere rigorosa, generale e non deve lasciare spazio a fraintendimenti, dunque vediamo di essere più precisi. Se vi ricordate la definizione di funzione, immaginate di considerare una generica funzione con dominio dato dall'insieme dei numeri naturali e codominio dato dall'insieme dei numeri reali:

 

f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}

 

Una funzione del genere individua una legge che associa ad ogni numero naturale uno specifico numero reale. L'immagine di tale funzione sarà un sottoinsieme proprio del codominio.

 

f(\mathbb{N})\subset\mathbb{R}

 

Dato che l'insieme di definizione è piuttosto semplice da leggere (siamo ben abituati ai numeri interi), possiamo immaginare di esprimere la legge della funzione f per esteso

 

\begin{matrix}f:0\to f(0)\\ \\ f:1\to f(1)\\ \\ f:2\to f(2)\\ \\ \vdots\\ \\ f:n\to f(n)\\ \\ \vdots\end{matrix}

 

Lo studio delle funzioni reali ci insegna che in alcuni casi è possibile esprimere la legge di una funzione mediante un'espressione analitica, esprimendola in termini di una variabile indipendente x, ossia nella forma y=f(x). Nel nostro caso scriveremmo

 

y=f(n)

 

In altri casi ciò non è possibile perché non esiste un'espressione algebrica atta a descrivere la legge della funzione: in tale eventualità la legge potrebbe essere espressa a parole o, addirittura, potrebbe essere un elenco infinito e dunque impossibile da scrivere.

 

 

Una prima definizione di successione numerica

 

Con tutte queste premesse possiamo scrivere una prima definizione di successione numerica: diciamo che una qualsiasi funzione

 

f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}

 

definita sull'insieme dei numeri naturali \mathbb{N} e a valori in \mathbb{R}, è una successione.

 

 

Una seconda definizione di successione numerica, equivalente alla precedente

 

Come abbiamo scritto in precedenza, l'insieme dei numeri naturali è piuttosto semplice da gestire. Una successione associa ad ogni numero naturale un numero reale, secondo un preciso ordine. Consideriamo una generica successione f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} e scriviamone esplicitamente le associazioni

 

\begin{matrix}f:0\to f(0)\\ \\ f:1\to f(1)\\ \\ f:2\to f(2)\\ \\ \vdots\\ \\ f:n\to f(n)\\ \\ \vdots\end{matrix}

 

Potremmo - perché no? - assegnare un nome a ciascuna immagine:

 

\begin{matrix}f:0\to f(0)=a_0\\ \\ f:1\to f(1)=a_1\\ \\ f:2\to f(2)=a_2\\ \\ \vdots\\ \\ f:n\to f(n)=a_n\\ \\ \vdots\end{matrix}

 

Se consideriamo l'immagine della successione possiamo scriverla come insieme per elencazione

 

\{a_0,a_1,a_2,...,a_n,...\}\subset\mathbb{R}

 

dove alcuni elementi potrebbero coincidere tra loro. In un insieme l'ordine con cui vengono scritti gli elementi non è rilevante e ciascun elemento deve essere riportato una sola volta; nel caso delle successioni, l'ordine lo è. Facciamo un passo in avanti: osserviamo che, indicando le immagini della successione in modo ordinato, possiamo individuare univocamente una qualsiasi successione elencandone ordinatamente le immagini. Per evitare qualsiasi possibile confusione useremo la notazione

 

(a_0,a_1,a_2,...,a_n,...)

 

dove i vari elementi della sequenza possono eventualmente coincidere tra loro. Chiameremo l'ente appena definito il sostegno della successione, che è semplicemente l'elenco ordinato di tutte le immagini della successione al crescere di n.

 

Se poi siamo fortunati, anche se non capita sempre, potremmo avere a che fare con una successione definita mediante un'espressione analitica

 

y=f(n)

 

In questo caso per evitarci una rappresentazione estensiva e ordinata potremmo introdurre un'ulteriore simbologia comoda e utile. Poiché l'espressione analitica di una funzione permette di individuare tuti gli elementi dell'immagine a partire dalle preimmagini, potremmo considerare la generica immagine

 

f(n)=a_n

 

e indicare il sostegno della successione con uno dei seguenti simboli

 

\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ \{a_n\}_n\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ (a_n)_n

 

dove la generica lettera n prende il nome di indice della successione. Come potete notare ognuna delle precedenti scritture non si limita ad individuare tutti gli elementi dell'immagine della successione in un colpo solo: li determina secondo l'ordine previsto dalla specifica successione. In altri termini, le precedenti scritture denotano il sostegno della successione e non il suo insieme immagine.

 

Formalizziamo ciò che abbiamo scritto fin qui: una successione numerica è una qualsiasi sequenza infinita e ordinata di numeri reali in cui gli elementi possono al più coincidere tra loro.

 

 

Equivalenza delle due definizioni

 

Sulla base delle precedenti osservazioni, una successione intesa come funzione f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} individua univocamente il sostegno della successione (a_0,a_1,a_2,...,a_n,...), e viceversa una qualsiasi sequenza ordinata (a_0,a_1,a_2,...,a_n,...) individua univocamente una legge f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}

 

f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\ \ \Leftrightarrow\ \ (a_0,a_1,a_2,...,a_n,...)

 

Morale della favola: l'espressione successione numerica può riferirsi indistintamente alla successione intesa come funzione o al sostegno della successione.

 

Esempi di successioni numeriche

 

1) La successione identicamente nulla è un esempio di successione costante:

 

\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}=\{0\}_{n\in\mathbb{N}}

 

Anche se non sembra, tale successione numerica è definita mediante espressione analitica: f(n)=0\ \forall n\in\mathbb{N}. Tale proprietà si deduce dall'assenza dell'indice n nell'espressione analitica. La sua immagine è chiaramente \{0\} (un solo elemento), mentre il suo sostegno è

 

(0,0,0,...0,...)

 

 

2) Consideriamo i sostegni

 

a=(1,2,1,1,...,1,...)\ \ \ ;\ \ \ b=(2,1,1,1,...,1,...)

 

Poiché le successioni sono sequenze infinite e ordinate, ne deduciamo che a\mbox{ e }b sono due successioni distinte. Nella prima successione infatti il 2 appare al secondo posto, mentre nella seconda successione si trova al primo posto.

 

 

3) Consideriamo la successione numerica definita mediante espressione analitica

 

(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=\left(18n\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

I primi tre termini della successione sono:

 

a_1=18\cdot 1=18\ \ \ ;\ \ \ a_2=18\cdot 2=36\ \ \ ;\ \ \ a_3=18\cdot 3=54

 

che si ottengono sostituendo ad ogni occorrenza di n i numeri 1, 2, 3.

 

 

4) Un altro esempio di successione definita mediante espressione analitica:

 

\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}=\left\{\frac{1}{n^2+1}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

 

I primi tre termini della successione sono:

 

a_1= \frac{1}{1^2+1}=\frac{1}{2}\ \ \ ;\ \ \ a_2= \frac{1}{2^2+1}=\frac{1}{5}\ \ \ ;\ \ \ a_3 = \frac{1}{3^2+1}=\frac{1}{10}

 

 

5) Dato che esistono funzioni definite a tratti, nulla vieta di considerare successioni definite a tratti. Consideriamo (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, dove

 

a_n=\begin{cases}0&\mbox{ se }0\leq n\leq 4\\1&\mbox{ se }5\leq n\leq 7\\2&\mbox{ se }n>7\end{cases}

 

Valutiamo i termini a_1,a_6,a_{12}:

 

a_1=0 perché il valore dell'indice n=1 rispetta la condizione del primo caso nella definizione della successione.

 

a_6=1 perché il valore dell'indice n=6 rispetta la condizione dettata dal secondo caso.

 

Infine a_{12}=2 perché il valore dell'indice n=12 rispetta la terza condizione nella definizione della successione.

Esempi sul sostegno di una successione

 

Torniamo per un attimo sul concetto di sostegno di una successione. Abbiamo visto che, data una successione f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}, si definisce sostegno della successione la sequenza ordinata (secondo i valori crescenti dell'indice) dei valori reali che essa assume.

 

(a_1, a_2, a_3,...,a_n,...)

 

e - lo ribadiamo - il sostegno non va confuso con l'immagine della successione

 

(a_1, a_2, a_3,...,a_n,...)\neq Im(f)

 

Osserviamo che un numero reale \alpha\in\mathbb{R} appartiene al sostegno della successione f se e solo se esiste (almeno) un numero naturale n\in\mathbb{N} tale che

 

a_n=\alpha

 

All'atto pratico per stabilire se un numero reale appartiene o meno al sostegno della successione dobbiamo risolvere una semplice equazione in \mathbb{N}.

 

 

1) Verifichiamo che \alpha=e^2 appartiene al sostengno della successione 

 

(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=\left(e^{-n+n^2}\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

In sostanza dobbiamo risolvere l'equazione:

 

a_n= \alpha\ \ \ \to\ \ \ e^{-n+n^2}= e^{2}

 

vale a dire un'equazione esponenziale. Uguagliando gli esponenti passiamo a un'equazione di secondo grado in n

 

-n+n^2=2\ \ \ \to\ \ \ n^2-n-2=0

 

Applicando la formula risolutiva otteniamo due soluzioni: 

 

n_1=-1 che non è accettabile perché richiediamo che le soluzioni siano numeri naturali;

 

n_2= 2 che è una soluzione accettabile. Effettuiamo la verifica:

 

a_2= e^{-2+2^2}= e^2\ \ \ \mbox{ok!}

 

Concludiamo che e^2 appartiene al sostegno della successione.

 

 

2) Verifichiamo che \alpha=1 appartiene al sostegno della successione 

 

(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=\left(\log_3(n^2+n+1)\right)_{n\in\mathbb{N}}

 

L'equazione da impostare è:

 

a_n= \alpha \iff \log_3(n^2+n+1)= 1

 

Grazie al metodo di risoluzione delle equazioni logaritmiche avremo le soluzioni:

 

n_1=-2 non accettabile perché non è un numero naturale;

 

n_2=1 accettabile.

 

Possiamo concludere che 1 appartiene al sostegno della successione.

 

Approfondimento: definizione generale di successione

 

La lezione è praticamente terminata. Per concludere vi facciamo notare che esiste una generalizzazione della definizione di successione numerica, nella quale tra l'altro vi imbatterete senza nemmeno farci caso.

 

Tutto ciò che abbiamo scritto fin qui prevedeva che il dominio fosse l'insieme dei numeri naturali. In realtà possiamo formulare le medesime definizioni considerando un qualsiasi sottoinsieme infinito di numeri naturali, ad esempio

 

\{1,2,3,...\}=\mathbb{N}^*:=\mathbb{N}-\{0\}

 

(ebbene sì: l'insieme dei numeri naturali può essere definito con o senza lo zero. È una pura e semplice convenzione: qui su YM abbiamo deciso di includere lo zero). Come ulteriore esempio di dominio potremmo considerare

 

\{117,118,119,...\}

 

o ancora

 

\{1,5,117,118,119,...\}

 

dove i puntini di sospensione lasciano intendere che vanno considerati tutti i successivi numeri naturali.

 

In termini generali è possibile riformulare la definizione di successione con qualsiasi altro insieme, purché abbia la potenza del numerabile. Potremmo indicizzare una successione con i numeri interi (insieme dei numeri relativi) o eventualmente con i numeri razionali, o ancora con loro sottoinsiemi illimitati

 

\mathbb{Z}\ \ \ ;\ \ \ \mathbb{Q}

 

In definitiva, poiché per definizione tutti gli insiemi numerabili possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali, si preferisce scrivere una definizione di successione il più semplice possibile.

 

 


 

Se avete dubbi o domande, non gigioneggiate! :D Potete trovare le risposte che vi servono con la barra di ricerca interna, tra le migliaia e migliaia di problemi e di esercizi risolti presenti su YM. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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