Esempio di studio di funzione

Come vi abbiamo promesso, prima di rimandarvi alla sezione di esercizi vogliamo proporvi un esempio guidato sullo studio di funzione. Prenderemo in esame una funzione piuttosto impegnativa, in modo da mettere in evidenza le difficoltà che possono manifestarsi nello studio di una funzione.

 

Suddivideremo l'esempio nei vari passaggi previsti dalla procedura e, all'inizio di ogni passo, riporteremo il link alla relativa lezione della guida per lo studio di funzione. Se ritenete che l'esempio sia troppo difficile, non scoraggiatevi. È volutamente impegnativo: diciamo che, su una scala da 1 a 10, alle scuole superiori un esercizio del genere si colloca su 9,5 e al primo anno di Ingegneria corrisponde a 8.

 

Nessun problema comunque, perché nella pagina dedicata agli esercizi sullo studio di funzione potete reperire esercizi risolti di ogni livello di difficoltà, dai quelli più banali ai più complicati. ;)

 
 
 

Esempio guidato sullo studio di funzione

 

Proponiamoci di studiare la funzione

 

f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{|x-1|}

 

Insieme di definizione

 

Per determinare l'insieme di definizione della funzione dobbiamo individuare gli eventuali termini critici che compaiono nell'espressione analitica. L'unico problema riguarda la presenza delle radici, che sono ad indice pari e dunque impongono che il radicando sia maggiore-uguale a zero.

 

Due radici, due condizioni. Tali condizioni vanno messe a sistema perché dobbiamo determinare il sottoinsieme Dom(f)\subseteq\mathbb{R} su cui valgono entrambe

 

\begin{cases}x\geq 0\\ |x-1|\geq 0\end{cases}

 

La seconda condizione è una disequazione con valore assoluto, ma attenzione: non serve alcun calcolo! Il valore assoluto infatti è per definizione una quantità maggiore o uguale a zero, per cui possiamo scrivere

 

\begin{cases}x\geq 0\\ \forall x\end{cases}

 

e il sistema si riduce alla sola condizione x\geq 0. Usando la notazione degli intervalli possiamo dunque scrivere l'insieme di definizione della funzione

 

Dom(f)=[0,+\infty)

 

Parità / disparità della funzione

 

Non ha senso controllare la parità/disparità della funzione, perché il dominio non è simmetrico rispetto a x=0.

 

Intersezioni con gli assi e segno

 

Come abbiamo spiegato nella lezione sullo studio del segno, possiamo abbreviare la procedura di studio della funzione calcolando le eventuali intersezioni con gli assi in concomitanza con lo studio del segno.

 

Consideriamo la disequazione

 

f(x)\geq 0

 

e ricordiamoci che dobbiamo lavorare sul dominio della funzione Dom(f)=[0,+\infty). La disequazione che ne consegue

 

\sqrt{x}-\sqrt{|x-1|}\geq 0\ \ \ \to\ \ \ \sqrt{x}\geq \sqrt{|x-1|}

 

è una disequazione irrazionale di semplice risoluzione: poiché le radici ad indice pari sono funzioni non negative, possiamo elevare direttamente al quadrato entrambi i membri senza discuterne il segno (come si suol fare quando si impostano i sistemi per la risoluzione delle disequazioni irrazionali).

 

x\geq |x-1|

 

Per risolvere la disequazione con valore assoluto dobbiamo considerare l'unione delle soluzioni di due sistemi di disequazioni, che ci permettono di studiare il segno dell'argomento del modulo

 

\begin{cases}x-1<0\\ x\geq -(x-1)\end{cases}\ \ \ \cup\ \ \ \begin{cases}x-1\geq 0\\ x\geq x-1\end{cases}

 

da cui ricaviamo

 

\begin{cases}x<1\\ x\geq \frac{1}{2}\end{cases}\ \ \ \cup\ \ \ \begin{cases}x\geq 1\\ 0\geq -1\ \to\ \forall x\end{cases}

 

Unendo le soluzioni dei due sistemi di disequazioni otteniamo

 

\frac{1}{2}\leq x<1\ \vee\ x\geq 1

 

e concludiamo che la disequazione f(x)\geq 0 ammette come soluzioni x\geq \frac{1}{2}. Tenendo conto del dominio si capisce che:

 

- la funzione è positiva per x>\frac{1}{2}

 

- la funzione è nulla in x=\frac{1}{2}

 

- la funzione è negativa per 0\leq x<\frac{1}{2}

 

Riguardo alle intersezioni con gli assi:

 

- abbiamo una sola intersezione con l'asse x in x=\frac{1}{2}, data dal punto \left(\frac{1}{2},0\right)

 

- l'intersezione con l'asse y si ottiene valutando la funzione in x=0, ed è data da

 

f(0)=\sqrt{0}-\sqrt{|0-1|}=-1\ \ \ \to\mbox{ punto }(0,-1)

 

Limiti agli estremi del dominio

 

Passiamo a calcolare i limiti agli estremi del dominio.

 

Ricordiamoci che l'insieme di definizione è un intervallo illimitato superiormente e chiuso a sinistra: Dom(f)=[0,+\infty).

 

Poiché la funzione è definita nell'estremo sinistro non è necessario calcolare alcun limite e possiamo limitarci ad una valutazione diretta, che peraltro abbiamo già effettuato nel calcolo dell'intersezione con l'asse y

 

f(0)=-1\ \ \ \to\mbox{ punto }(0,-1)

 

L'unico limite che dobbiamo calcolare è quello per x\to +\infty

 

\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x}-\sqrt{|x-1|})=

 

Poiché dobbiamo ragionare in un intorno di +infinito, possiamo eliminare il modulo

 

=\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})=

 

Il limite genera una forma indeterminata [\infty-\infty] e per calcolarlo possiamo applicare una razionalizzazione inversa

 

=\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}=

 

che ci consente di sfruttare la regola per la differenza di due quadrati

 

=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-(x-1)}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}=

 

A denominatore possiamo limitarci a considerare gli infiniti di ordine principale e passare al limite equivalente

 

\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2\sqrt{x}}=0

 

dove il risultato viene dedotto facilmente con le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi. Abbiamo scoperto che la funzione presenta un asintoto orizzontale per x\to+\infty di equazione y=0; inoltre, essendo il rapporto dell'ultimo limite positivo per x\to+\infty, esso si avvicenda positivamente al valore y=0. In altre parole il grafico della funzione dovrà avvicendarsi all'asintoto orizzontale da sopra.

 

Studio della derivata prima

 

È giunto il momento di studiare la derivata prima e di scoprire quanto il modulo può rompere le uova nel paniere dello studio di funzione. Quando abbiamo a che fare con uno o più valori assoluti ci sono diversi possibili approcci, tant'è che abbiamo ideato un'apposita scheda di esercizi sullo studio di funzioni con valori assoluti; noi qui adottiamo la strategia più elementare, che prevede di riscrivere f(x) come funzione definita per rami e specificando il segno dell'argomento del modulo su ciascun ramo

 

f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{|x-1|}=\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{-(x-1)}\ \ \ \mbox{se }x-1<0\\ \sqrt{x}-\sqrt{x-1}\ \ \ \mbox{se }x-1\geq 0\end{cases}

 

Ricordiamoci sempre del dominio!

 

f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{1-x}\ \ \ \mbox{se }0\leq x<1\\ \sqrt{x}-\sqrt{x-1}\ \ \ \mbox{se }x\geq 1\end{cases}

 

Ragioniamo sui due rami: entrambe le funzioni sono derivabili nei punti interni agli intervalli di definizione e per capirlo basta fare riferimento ai soliti teoremi sulle classi di funzioni derivabili. L'estremo x=0 non ci interessa granché, perché la funzione è ivi valutabile; il dubbio riguarda il punto di raccordo x=1 in cui dobbiamo studiare la derivabilità di f(x) mediante la definizione.

 

Ci servono i due limiti del rapporto incrementale da destra e da sinistra.

 

\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=

 

Poiché il limite viene calcolato da destra dobbiamo scegliere il ramo destro per la valutazione f(1+h), in accordo con la definizione per rami. Teniamo anche presente che f(1)=1

 

=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{(1+h)-1}-1}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{h}-1}{h}

 

Il limite genera una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Dato che non ci sembra il caso di scomodare la tecnica di calcolo dei limiti con Taylor, che tra l'altro non è oggetto di studio alle scuole superiori, facciamo appello alla nostra creatività e ricorriamo ad un piccolo trucco algebrico

 

=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{1+h}-(\sqrt{h}+1)}{h}=

 

Usiamo la solita tecnica di derazionalizzazione

 

=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{1+h}-(\sqrt{h}+1)}{h}\cdot\frac{\sqrt{1+h}+(\sqrt{h}+1)}{\sqrt{1+h}+(\sqrt{h}+1)}=

 

e con qualche semplice calcolo ricaviamo

 

=\lim_{h\to 0^+}\frac{(1+h)-(\sqrt{h}+1)^2}{h[\sqrt{1+h}+(\sqrt{h}+1)]}=

 

Altri calcoletti

 

\\ =\lim_{h\to 0^+}\frac{1+h-(h+2\sqrt{h}+1)}{h[\sqrt{1+h}+(\sqrt{h}+1)]}=\lim_{h\to 0^+}\frac{-2\sqrt{h}}{h[\sqrt{1+h}+(\sqrt{h}+1)]}=\\ \\ \\=\lim_{h\to 0^+}\frac{-2}{\sqrt{h}[\sqrt{1+h}+(\sqrt{h}+1)]}

 

In buona sostanza il precedente limite equivale al seguente

 

\lim_{h\to 0^+}\frac{-2}{2\sqrt{h}}=-\infty

 

e da qui capiamo subito che la funzione f(x) non è derivabile in x=1.

 

Per il limite del rapporto incrementale da sinistra

 

\lim_{h\to 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}

 

scegliendo il ramo sinistro per f(1+h), e con un calcolo del tutto analogo al precedente, giungiamo al limite equivalente

 

\lim_{h\to 0^-}\frac{1}{\sqrt{-h}}=+\infty

 

In definitiva la funzione cela in corrispondenza di x=1 un punto di non derivabilità del tipo cuspide.

 

Il dominio della derivata prima \mathit{Dom}(f'), inteso come sottoinsieme di Dom(f) dei punti in cui la funzione è derivabile, è

 

\mathit{Dom}(f')=(0,1)\cup(1,+\infty)

 

e con questa informazione possiamo studiare serenamente il segno della derivata prima. Calcoliamola derivando i due rami con le usuali regole di derivazione

 

f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{1-x}\ \ \ \mbox{se }0\leq x<1\\ \sqrt{x}-\sqrt{x-1}\ \ \ \mbox{se }x\geq 1\end{cases}

 

Per agevolarci il compito esprimiamo le radici come potenze con esponente fratto, in modo da applicare la formula per la derivata di una potenza

 

f(x)=\begin{cases}x^{\frac{1}{2}}-(1-x)^{\frac{1}{2}}\ \ \ \mbox{se }0\leq x<1\\ x^{\frac{1}{2}}-(x-1)^{\frac{1}{2}}\ \ \ \mbox{se }x\geq 1\end{cases}

 

Non dimentichiamoci di applicare il teorema per la derivata della funzione composta

 

f'(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}-\frac{1}{2}(1-x)^{\frac{1}{2}-1}\cdot (-1)\ \ \ \mbox{se }0<x<1\\ \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}-\frac{1}{2}(x-1)^{\frac{1}{2}-1}\ \ \ \mbox{se }x>1\end{cases}

 

da cui

 

f'(x)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\ \ \ \mbox{se }0<x<1\\ \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\ \ \ \mbox{se }x>1\end{cases}

 

Risolviamo la disequazione f'(x)\geq 0 sui rispettivi intervalli di competenza, e ribadiamo come sempre che il problema delle condizioni di esistenza non si pone

 

0<x<1\ \ \ \to\ \ \ \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\geq 0

 

Otteniamo

 

\frac{2\sqrt{1-x}+2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}\geq 0

 

Sul dominio della derivata prima il denominatore è positivo e possiamo cancellarlo. Ci rimane

 

2\sqrt{1-x}+2\sqrt{x}\geq 0\ \ \ \to\ \ \ \sqrt{x}\geq-\sqrt{1-x}\ \ \ \mbox{per }0<x<1

 

dove la disequazione è immediata perché per 0<x<1 il membro di sinistra è positivo mentre quello di destra è certamente negativo.

 

Riguardo al segno del secondo ramo

 

x>1\ \ \ \to\ \ \ \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\geq 0

 

con considerazioni analoghe alle precedenti arriviamo a

 

\sqrt{x-1}\geq x\ \ \ \to\ \ \ x-1\geq x\ \ \ \to\ \ \ -1\geq 0

 

quindi la disequazione non ammette soluzioni. Ciò significa che f'(x)\geq 0 non è verificata per alcun x>1, ossia risulta f'(x)<0 per x>1.

 

Si noti che il teorema per massimi e minimi non ci consente di individuare alcun punto di massimo né di minimo, perché non ci sono punti in cui la derivata prima si annulla in \mathit{Dom}(f'). D'altra parte ci restano da controllare i punti di non derivabilità e per farlo effettuiamo una serie di semplici considerazioni:

 

1) abbiamo l'estremo sinistro del dominio x=0, in cui la funzione vale f(0)=-1.

 

2) Abbiamo il punto di cuspide x=1, in cui la funzione vale f(1)=1.

 

3) Abbiamo una variazione di monotonia in x=1. La derivata prima è positiva per 0<x<1 ed è negativa per x>1, di conseguenza la funzione cresce su 0<x<1 e decresce su x>1.

 

4) f(x) è una funzione continua su tutto il proprio dominio e per x>1 decresce dal valore y=1 avvicendandosi all'asintoto orizzontale y=0 per x\to +\infty.

 

In conclusione:

 

x=0 è un punto di minimo, ed è di minimo assoluto; il corrispondente minimo assoluto è f(0)=-1

 

x=1 è un punto di massimo, ed è di massimo assoluto; il corrispondente massimo assoluto è f(1)=1.

 

Studio della derivata seconda

 

Per concludere dobbiamo studiare la derivata seconda. Osservando l'espressione per rami della derivata prima ci rendiamo subito conto che essa è derivabile su tutto \mathit{Dom}(f') e per vederlo basta ricorrere ai soliti teoremi sulle classi di funzioni integrabili. Di conseguenza

 

\mathit{Dom}(f'')=\mathit{Dom}(f')

 

Calcoliamo la derivata seconda. Prepariamoci esprimendo le radici come potenze con esponente fratto

 

f'(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{1}{2}}\ \ \ \mbox{se }0<x<1\\ \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}(x-1)^{-\frac{1}{2}}\ \ \ \mbox{se }x>1\end{cases}

 

e procediamo

 

f'(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{1}{2}-1}+\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)(1-x)^{-\frac{1}{2}-1}\cdot (-1)\ \ \ \mbox{se }0<x<1\\ \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{1}{2}-1}-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)(x-1)^{-\frac{1}{2}-1}\ \ \ \mbox{se }x>1\end{cases}

 

Esprimiamo la derivata seconda in una forma più compatta

 

f''(x)=\begin{cases}-\frac{1}{4\sqrt{x^3}}+\frac{1}{4\sqrt{(1-x)^3}}\ \ \ \mbox{se }0<x<1\\ -\frac{1}{4\sqrt{x^3}}+\frac{1}{4\sqrt{(x-1)^3}}\ \ \ \mbox{se }0<x<1\end{cases}

 

Cerchiamo gli eventuali punti di flesso e studiamo la convessità della funzione f(x) risolvendo la disequazione

 

f''(x)\geq 0

 

considerando i rispettivi rami

 

0<x<1\ \ \ \to\ \ \ -\frac{1}{4\sqrt{x^3}}+\frac{1}{4\sqrt{(1-x)^3}}\geq 0

 

Tale disequazione si traduce in

 

\sqrt{x^3}\geq \sqrt{(1-x)^3}

 

Elevando entrambi i membri al quadrato e facendo i conti, otteniamo

 

2x^3-3x^2+3x-1\geq 0

 

Il polinomio a primo membro può essere scomposto mediante la regola di Ruffini:

 

(2x-1)(x^2-x+1)\geq 0

 

e arriviamo ad una disequazione risolvibile con la regola dei segni, in cui il secondo fattore produce una disequazione di secondo grado con Delta negativo

 

\\ 2x-1\geq 0\ \to\ x\geq \frac{1}{2}\\ \\ x^2-x+1\geq 0\ \ \ \forall x

 

Limitando le soluzioni all'intervallo di riferimento, ossia a (0,1), scopriamo che la derivata seconda è positiva per \frac{1}{2}<x<1, nulla in x=\frac{1}{2} e negativa per 0<x<\frac{1}{2}.

 

Studiamo il segno del secondo ramo

 

x>1\ \ \ \to\ \ \ -\frac{1}{4\sqrt{x^3}}+\frac{1}{4\sqrt{(x-1)^3}}\geq 0

 

Con semplici calcoli giungiamo a

 

3x^2-3x+1\geq 0

 

ed essendo il Delta negativo, concludiamo che f''(x)>0 per ogni x>1.

 

In conclusione la funzione f(x) è:

 

- concava per 0<x<\frac{1}{2}

 

- convessa per \frac{1}{2}<x<1 e per x>1

 

- presenta un punto di flesso in x=\frac{1}{2}, in cui la funzione assume il valore

 

f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\left|\frac{1}{2}-1\right|}=0

 

Grafico qualitativo

 

Con tutte le informazioni di cui siamo in possesso siamo in grado di tracciare un grafico qualitativo della funzione. Eccone una rappresentazione precisa effettuata con il calcolatore

 

 

Grafico qualitativo dell'esempio

 

 


 

È veramente tutto. :) Ora non vi resta che cimentarvi con gli esercizi sullo studio di funzione, in cui avete a disposizione sia esercizi svolti che proposti. Ricordatevi che qui su YM ci sono tantissimi risorse e che potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. :)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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