Criterio di Abel Dirichlet

Vediamo un ulteriore criterio per lo studio del carattere delle serie: il criterio di Abel Dirichlet. Tale criterio viene affrontato molto raramente nei corsi di Analisi Matematica, ma una lettura e quindi una preparazione più ampia non può che farvi bene.

 

Vediamone innanzitutto l'enunciato...

 

Enunciato del criterio di Abel-Dirichlet

 

Siano a_n_n una successione infinitesima (1) e non crescente (2), ossia

 

lim_(n → +∞)(a_n) = 0

 

a_(n+1) ≤ a_(n) per ogni n ∈ N

 

e sia b_n_n una successione tale che risulti limitata la successione delle somme parziali (3), ovvero la successione s_n_n il cui termine n-esimo è s_n = Σ_(k = 0)^(n) b_k è una successione limitata.

 

Allora (Th.) la serie numerica Σ_(n = 1)^(+∞)(a_n b_n) è convergente

 

 

Il criterio di Abel-Dirichlet trova più ampio utilizzo per lo studio del carattere delle serie a coefficienti complessi.

 

Prima di vedere un esempio, notate che non v'è alcuna ipotesi sul segno delle due successioni e che il più famoso criterio di Leibniz è un caso particolare del criterio di Abel Dirichlet. Basta infatti prendere come b_n la successione (-1)^n.

 

Esempio sul criterio di Abel-Dirichlet

 

Usiamo il criterio di Abel-Dirichlet per studiare il carattere della serie

 

Σ_(n = 2)^(+∞)(sin(n)(log(n))/(n^3)).

 

Poniamo a_n = (log(n))/(n^3) e b_n = sin(n). Allora:

 

la successione a_n_n è infinitesima, infatti:

 

lim_(n → +∞) ((log(n))/(n^3)) = 0

 

è pure decrescente. Per verificarlo studiamo il segno della derivata prima della funzione f(x) = (log(x))/(x^3). Suggeriamo di leggere la lezione sulle successioni crescenti e decrescenti a chi fosse in difficoltà con lo studio della monotonia delle successioni.

 

f'(x) = ((1)/(x)x^3-log(x) 3x^2)/(x^6) = (x^2(1-3log(x)))/(x^6) = (1-3log(x))/(x^3)

 

f'(x) ≥ 0 se e solo se (1-3log(x))/(x^3) ≥ 0 se e solo se 0 < x ≤ e^((1)/(3)).

 

Ne deduciamo che per x ≥ e^((1)/(3)) ~ 1,4 la f(x) è una funzione decrescente (essendo la derivata prima negativa), da cui possiamo concludere che la successione a_n_n è decrescente per ogni n ≥ 2 (valore di partenza della nostra serie).

 

Passiamo ora alla successione di termine generale b_n = sin(n) e costruiamo la successione delle somme parziali s_n_n il cui termine n-esimo è dato da:

 

s_n = Σ_(k = 1)^(n) sin(k)

 

Vediamo un po' come si comporta la successione delle somme parziali appena scritta.

 

Trucchetto algebrico: moltiplichiamo membro a membro per 2sin((1)/(2))

 

2sin((1)/(2))s_n = Σ_(k = 1)^(n)(cos(k-(1)/(2))-cos(k+(1)/(2)))

 

dove

 

Σ_(k = 1)^(n)(cos(k-(1)/(2))-cos(k+(1)/(2))) = cos((1)/(2))-cos(n+(1)/(2))

 

è una somma telescopica di cui conosciamo praticamente tutto, anche la sua somma. Questo dimostra che:

 

2sin((1)/(2))s_n = cos((1)/(2))-cos(n+(1)/(2))

 

dividendo membro a membro per 2sin((1)/(2)) otterremo:

 

s_n = (cos((1)/(2))-cos(n+(1)/(2)))/(2sin((1)/(2)))

 

Dalla limitatezza del coseno segue che |s_n| ≤ (cos((1)/(2))+1)/(2sin((1)/(2)))

 

Abbiamo dimostrato che la successione delle somme parziali s_n_(n , > , 0) è limitata! Ci siamo:  per il criterio di Abel Dirichlet la serie di partenza converge. Facile, no?

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Se avete dubbi o se volete vedere esempi ed esercizi svolti sulle serie, sappiate che ne abbiamo risolti a tonnellate: potete trovare tutto quello che vi serve con la nostra barra di ricerca...ed eventualmente aprire una discussione nel Forum. Wink

 

Alla prossima

Galois

 

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