Criterio di Abel Dirichlet
Vediamo un ulteriore criterio per lo studio del carattere delle serie: il criterio di Abel Dirichlet. Tale criterio viene affrontato molto raramente nei corsi di Analisi Matematica, ma una lettura e quindi una preparazione più ampia non può che farvi bene.
Vediamone innanzitutto l'enunciato...
Enunciato del criterio di Abel-Dirichlet
Siano una successione infinitesima (1) e non crescente (2), ossia
per ogni
e sia una successione tale che risulti limitata la successione delle somme parziali (3), ovvero la successione
il cui termine n-esimo è
è una successione limitata.
Allora (Th.) la serie numerica è convergente
Il criterio di Abel-Dirichlet trova più ampio utilizzo per lo studio del carattere delle serie a coefficienti complessi.
Prima di vedere un esempio, notate che non v'è alcuna ipotesi sul segno delle due successioni e che il più famoso criterio di Leibniz è un caso particolare del criterio di Abel Dirichlet. Basta infatti prendere come la successione
.
Esempio sul criterio di Abel-Dirichlet
Usiamo il criterio di Abel-Dirichlet per studiare il carattere della serie
.
Poniamo e
. Allora:
la successione è infinitesima, infatti:
è pure decrescente. Per verificarlo studiamo il segno della derivata prima della funzione . Suggeriamo di leggere la lezione sulle successioni crescenti e decrescenti a chi fosse in difficoltà con lo studio della monotonia delle successioni.
se e solo se
se e solo se
.
Ne deduciamo che per la
è una funzione decrescente (essendo la derivata prima negativa), da cui possiamo concludere che la successione
è decrescente per ogni
(valore di partenza della nostra serie).
Passiamo ora alla successione di termine generale e costruiamo la successione delle somme parziali
il cui termine n-esimo è dato da:
Vediamo un po' come si comporta la successione delle somme parziali appena scritta.
Trucchetto algebrico: moltiplichiamo membro a membro per
dove
è una somma telescopica di cui conosciamo praticamente tutto, anche la sua somma. Questo dimostra che:
dividendo membro a membro per otterremo:
Dalla limitatezza del coseno segue che
Abbiamo dimostrato che la successione delle somme parziali è limitata! Ci siamo: per il criterio di Abel Dirichlet la serie di partenza converge. Facile, no?
Per questa lezione è tutto! Se avete dubbi o se volete vedere esempi ed esercizi svolti sulle serie, sappiate che ne abbiamo risolti a tonnellate: potete trovare tutto quello che vi serve con la nostra barra di ricerca...ed eventualmente aprire una discussione nel Forum.
Alla prossima
Galois
Tags: criterio di Abel Dirichlet per le serie numeriche - studio della convergenza delle serie con il criterio di Abel Dirichlet.