Criterio di Abel Dirichlet

Vediamo un ulteriore criterio per lo studio del carattere delle serie: il criterio di Abel Dirichlet. Tale criterio viene affrontato molto raramente nei corsi di Analisi Matematica, ma una lettura e quindi una preparazione più ampia non può che farvi bene.

Vediamone innanzitutto l'enunciato...

Enunciato del criterio di Abel-Dirichlet

Siano $\{a_n\}_n$ una successione infinitesima (1) e non crescente (2), ossia

$\lim_{n\to +\infty}(a_n)=0$

$a_{n+1}\leq a_{n}$ per ogni $n \in \mathbb{N}$

e sia $\{b_n\}_n$ una successione tale che risulti limitata la successione delle somme parziali (3), ovvero la successione $\{s_n\}_n$ il cui termine n-esimo è $s_n = \sum_{k=0}^{n} b_k$ è una successione limitata.

Allora (Th.) la serie numerica $\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n b_n)$ è convergente

Il criterio di Abel-Dirichlet trova più ampio utilizzo per lo studio del carattere delle serie a coefficienti complessi.

Prima di vedere un esempio, notate che non v'è alcuna ipotesi sul segno delle due successioni e che il più famoso criterio di Leibniz è un caso particolare del criterio di Abel Dirichlet. Basta infatti prendere come la successione .

Esempio sul criterio di Abel-Dirichlet

Usiamo il criterio di Abel-Dirichlet per studiare il carattere della serie

$\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\sin(n)\frac{\log(n)}{n^3}\right)$ .

Poniamo $a_n=\frac{\log(n)}{n^3}$ e $b_n=\sin(n)$ . Allora:

la successione $\{a_n\}_n$ è infinitesima, infatti:

$\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{\log(n)}{n^3}\right)=0$

è pure decrescente. Per verificarlo studiamo il segno della derivata prima della funzione $f(x)=\frac{\log(x)}{x^3}$ . Suggeriamo di leggere la lezione sulle successioni crescenti e decrescenti a chi fosse in difficoltà con lo studio della monotonia delle successioni.

$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}x^3 - \log(x) 3x^2}{x^6} = \frac{x^2(1-3\log(x))}{x^6}=\frac{1-3\log(x)}{x^3}$

$f'(x) \geq 0$ se e solo se $\frac{1-3log(x)}{x^3} \geq 0$ se e solo se $0\textless x \leq e^{\frac{1}{3}}$ .

Ne deduciamo che per $x\geq e^{\frac{1}{3}}\sim 1,4$ la è una funzione decrescente (essendo la derivata prima negativa), da cui possiamo concludere che la successione $\{a_n\}_n$ è decrescente per ogni $n\geq 2$ (valore di partenza della nostra serie).

Passiamo ora alla successione di termine generale $b_n=\sin(n)$ e costruiamo la successione delle somme parziali $\{s_n\}_n$ il cui termine n-esimo è dato da:

$s_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k)$

Vediamo un po' come si comporta la successione delle somme parziali appena scritta.

Trucchetto algebrico: moltiplichiamo membro a membro per $2\sin\left(\frac{1}{2}\right)$

$2\sin\left(\frac{1}{2}\right)s_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\cos\left(k-\frac{1}{2}\right)-\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)\right)$

dove

$\sum_{k=1}^{n}\left(\cos\left(k-\frac{1}{2}\right)-\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)\right)= \cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)$

è una somma telescopica di cui conosciamo praticamente tutto, anche la sua somma. Questo dimostra che:

$2\sin\left(\frac{1}{2}\right)s_n=\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)$

dividendo membro a membro per $2\sin\left(\frac{1}{2}\right)$ otterremo:

$s_n= \frac{\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{1}{2}\right)}$

Dalla limitatezza del coseno segue che $|s_n|\le \frac{\cos\left(\frac{1}{2}\right)+1}{2\sin\left(\frac{1}{2}\right)}$

Abbiamo dimostrato che la successione delle somme parziali $\left\{s_n\right\}_{n\,\textgreater\, 0}$ è limitata! Ci siamo: per il criterio di Abel Dirichlet la serie di partenza converge. Facile, no?

Per questa lezione è tutto! Se avete dubbi o se volete vedere esempi ed esercizi svolti sulle serie, sappiate che ne abbiamo risolti a tonnellate: potete trovare tutto quello che vi serve con la nostra barra di ricerca...ed eventualmente aprire una discussione nel Forum.

Alla prossima

Galois

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Tags: criterio di Abel Dirichlet per le serie numeriche - studio della convergenza delle serie con il criterio di Abel Dirichlet.