Punti interni, esterni e di frontiera

Un punto interno di un insieme è un punto per il quale esiste almeno un intorno interamente contenuto nell'insieme; un punto esterno ad un insieme è un punto per il quale esiste almeno un intorno interamente contenuto nel complementare dell'insieme.

Per concludere lo studio dei tipi di punti di un insieme ci occupiamo di punti esterni, punti interni e punti di frontiera; tali nozioni nascono dall'esigenza di classificare i punti che appartengono ad un insieme reale e quelli situati al di fuori di esso.

La questione si fa più sottile se si pensa a insiemi che hanno un bordo, o per meglio dire una frontiera: i punti "agli estremi" di un insieme sono da considerarsi interni o esterni, oppure vanno classificati come un genere completamente a sé stante? Qui di seguito forniamo una classificazione completa con tanto di definizioni ed esempi. ;)

Classificazione dei punti rispetto a un insieme: interni, esterni, di frontiera

Sia E un sottoinsieme di numeri reali, in simboli E ⊆ R. Qui di seguito forniremo una classificazione che caratterizza il modo con cui un punto x_0 può appartenere o non appartenere all'insieme E e daremo le definizioni di punto interno, di punto esterno e di punto di frontiera.

Punti interni


Come ormai avrete capito lo studio dei sottoinsiemi reali è legato in modo indissolubile al concetto di intorno completo di un punto. Infatti è possibile dare una caratterizzazione dei punti interni di un insieme proprio attraverso gli intorni.

Definizione (punto interno) 

Sia E ⊆ R un insieme reale e sia x_0∈ E un punto appartenente all'insieme. Diciamo che x_0 è un punto interno ad E se esiste almeno un intorno completo di x_0 tutto contenuto in E.

In simboli:

x_0∈ E e' un punto interno di E ; se ∃ ε > 0 t.c. B(x_0, ε) ⊂ E

Commento sulla definizione di punto interno

Innanzitutto osserviamo che la definizione non lascia spazio ad alcun dubbio: per far sì che un punto sia interno ad un insieme, esso deve necessariamente appartenere all'insieme.

C'è un'ulteriore aspetto da non sottovalutare e per evidenziarlo riteniamo opportuno riferirci ad un esempio. Per fissare le idee consideriamo un intervallo di estremi a,b (inclusi od esclusi, poco importa) e consideriamo un punto a < x_0 < b

Punto interno ad un insieme

A questo punto consideriamo l'intorno B(x_0, ε) disegnato in figura, e vediamo che esso è interamente contenuto nell'insieme E. L'idea è di descrivere i punti all'interno di un insieme come quei punti appartenenti all'insieme per cui possiamo trovare almeno un intorno che sia tutto contenuto nell'insieme.

Abbiamo scritto almeno un intorno perché è sufficiente che la proprietà sia verificata per un solo intorno, e non per qualunque intorno. Infatti se nell'esempio consideriamo intorni del punto con raggio sempre più grande, prima o poi otterremo degli intorni che strabordano dall'intervallo, come nella figura sottostante:

Intorno non contenuto in un intervallo

Esempi sui punti interni

1) Dato l'intervallo E = (2,4) il punto x_0 = 3 è interno ad E?

Per stabilire se il punto x_0 = 3 è interno ad E, in accordo con la definizione, dobbiamo trovare almeno un intorno del punto tale da essere interamente contenuto in E. Possiamo farlo. A ben vedere abbiamo infinite possibilità di scelta sul raggio ε, ad esempio possiamo considerare l'intorno B(3,(1)/(2)), ossia ε = (1)/(2).

Tale intorno è completamente contenuto in E, dunque x_0 = 3 è un punto interno ad E.

2) Determinare i punti interni dell'insieme E = 1 U 2 U (5)/(4).

L'insieme E è unione di singleton e, ragionando per un istante, abbiamo l'impressione che l'insieme sia sprovvisto di punti interni.

Per mostrare che un punto non è interno dobbiamo procedere per negazione della definizione e dunque provare che non è possibile trovare alcun intorno del punto tale da essere interamente contenuto nell'insieme. In termini spannometrici dobbiamo mostrare che, per quanto rendiamo piccolo il raggio dell'intorno del punto, l'intorno non potrà mai essere contenuto nell'insieme.

Per i singoletti la definizione non viene palesemente soddisfatta, dunque E non ha punti interni.

3) Dato l'intervallo E = [1,2], i punti x_1 = 1 e x_2 = 2 sono interni ad E?

In questo caso E è un intervallo chiuso sia a sinistra che a destra. Se consideriamo il punto x_1 = 1 e ci ricordiamo della natura simmetrica degli intorni, è facile capire come la metà sinistra di ogni intorno cadrà sempre fuori dall'insieme. Di conseguenza non è vero che esiste almeno un intorno di x_1 = 1 interamente contenuto in E, vale a dire: il punto non è interno all'insieme.

Per x_2 = 2 vale un ragionamento del tutto analogo.

4) Ragionando in termini generali e ripetendo i precedenti ragionamenti relativi agli intervalli si capisce che, avendo un qualsiasi intervallo limitato

(a,b) ; (a,b] ; [a,b) ; [a,b]

in ciascuno dei quattro casi l'insieme dei punti interni è dato da

(a,b)

Nel caso di un intervallo illimitato inferiormente o superiormente

(-∞,a), ; (-∞,a] ; (a,+∞) ; [a,+∞)

l'insieme dei punti interni è rispettivamente

(-∞,a) ; (a,+∞)

Definizione (parte interna di un insieme)

Una pura formalità: dato E ⊆ R definiamo la parte interna dell'insieme E come l'insieme dei punti interni di E

Int(E) = x∈ E t.c. x e' interno ad E

In alternativa al simbolo Int(E) si suole indicare la parte interna con la notazione E°.

Dalla definizione appena scritta è facile vedere che in generale la parte interna di un insieme è contenuta nell'insieme stesso:

Int(E) ⊆ E

Punti esterni

La logica con cui definiremo i punti esterni è analoga a quella che abbiamo usato per i punti interni, o meglio, le due definizioni risulteranno antitetiche.

Definizione (punto esterno)

Sia E ⊆ R e sia x_0∈R. Diciamo che x_0 è un punto esterno all'insieme E se esiste almeno un intorno di x_0 interamente contenuto nel complementare di E.

In simboli:

x_0∈R e' esterno a E ; se ∃ ε > 0 t.c. B(x_0,ε) ⊂ E^C

In modo del tutto equivalente possiamo asserire che un punto è esterno ad un insieme se e solo se è un punto interno al complementare dell'insieme. Si osservi inoltre che, alla luce di ciò, un punto esterno ad un insieme è necessariamente un punto che non appartiene all'insieme.

Esempi sui punti esterni


1) Dato l'intervallo E = (1, 20), il punto x_0 = -3 è esterno all'insieme?

Seguendo la definizione appena data, per dimostrare che il punto x_0 = -3 è esterno ad E dobbiamo mostrare che esiste almeno un intorno di x_0 = -3 interamente contenuto nel complementare di E.

A tal proposito dobbiamo porci la seguente domanda: qual è il complementare di E ⊂ R? Mediante la notazione degli intervalli

E^C = R-E = (-∞, 1] U [20,+∞)

dove il simbolo meno dopo la prima uguaglianza denota la differenza insiemistica. Se consideriamo l'intorno B(-3,1), dunque con ε = 1, esso è contenuto in (-∞, 1], quindi è interamente contenuto in E^C e concludiamo che x_0 = -3 è un punto esterno all'insieme E.

2) L'insieme E = R = (-∞,+∞) ha punti esterni?

In questo caso è essenziale fermarsi e ragionare prima di buttarsi sulla definizione. Poiché E coincide con l'insieme dei numeri reali è evidente che il complementare di R in R è l'insieme vuoto

R^C = Ø

D'altra parte l'insieme vuoto non ha alcun punto interno (lo si capisce facilmente applicando la definizione di punto interno alla lettera), per cui concludiamo che R è privo di punti esterni. Ragionando inversamente si intuisce che tutti i punti di R sono punti interni ad R.

3) E = [5,6] ha punti esterni?

Procediamo scrivendo il complementare di E:

E^C = (-∞,5) U (6,+∞)

Quali punti sulla retta reale hanno un intorno interamente contenuto in E^C? Tutti quelli che sono interni ad esso, quindi tutti gli infiniti numeri reali che fanno parte di (-∞,5) U (6,+∞), dunque E ha infiniti punti esterni.

Definizione (parte esterna di un insieme)

Dato E ⊆ R definiamo la parte esterna dell'insieme E come l'insieme dei punti esterni di E

Ext(E) = x∈ R t.c. x e' esterno ad E

o, equivalentemente e in modo piuttosto ovvio

Ext(E) = x not∈ E t.c. x e' interno ad E^C

da cui segue l'altrettanto ovvia relazione

Ext(E) = Int(E^C)

da cui si deduce che la parte esterna di un insieme in generale è un insieme contenuto nel complementare

Int(E^C) ⊆ E^C ⇒ Ext(E) ⊆ E^C

Punti di frontiera


Siamo arrivati all'ultima definizione e gli intorni vengono in nostro aiuto ancora una volta. Così come sul confine tra due stati possiamo passare da una nazione all'altra con un solo passo, vogliamo definire i punti di frontiera come quei punti per cui, comunque si scelga un intorno del punto, esso contenga sempre almeno un punto di E e un punto del complementare E^C.

Definizione (punto di frontiera)

Sia E ⊂ R e x_0∈R. x_0 è un punto di frontiera di E se ogni intorno di x_0 contiene almeno un punto di E e un punto del complementare E^C.

In simboli:

x_0∈R e' un punto di frontiera di E ; se ∀ ε > 0 ∃ y_1∈ E, y_2∈ E^C t.c. y_1,y_2∈ B(x_0,ε)

La seguente figura dovrebbe chiarire la definizione:

Punti di frontiera di un intervallo

Commento sulla definizione di punto di frontiera

Il primo aspetto che si evince dalla definizione, seppur sotto traccia, è che un punto di frontiera può appartenere o non appartenere all'insieme stesso.

In secondo luogo è bene soffermarsi la presenza del quantificatore universale per ogni: a differenza dei punti interni e dei punti esterni (in cui abbiamo usato il quantificatore esistenziale esiste almeno un), la proprietà richiesta dalla definizione deve valere per qualsiasi intorno del punto.

Il terzo aspetto da prendere in considerazione riguarda il punto x_0. La proprietà richiesta dalla definizione non esclude in alcun modo il punto x_0 come possibile punto appartenente all'intorno, a prescindere che x_0∈ E o che x_0∈ E^C.

Infine sempre dalla definizione discende un'ulteriore caratteristica dei punti di frontiera: un punto è di frontiera per E se e solo se è di frontiera per il complementare E^C, e viceversa.

Esempi sui punti di frontiera


1) Dato E = [1,3] U 5 U (8,9), quali sono i punti di frontiera di E?

I punti di frontiera sono 1,3,5,8,9 e lo si capisce ragionando punto per punto: in ciascun caso, qualsiasi sia l'intorno considerato, l'intorno contiene almeno un punto dell'insieme ed almeno un punto del suo complementare.

È interessante notare come anche il singleton 5 sia un punto di frontiera dell'insieme. Rileggendo la definizione notiamo che nulla vieta, comunque si scelga l'intorno del punto, di considerare come elemento di E nell'intorno il punto stesso!

2) E = x∈R t.c. x ≤ 9

Possiamo scrivere l'insieme come un unico intervallo

E = (-∞,9]

da cui è evidente che l'unico punto di frontiera è dato da x_0 = 9.



3) E = x∈R t.c. x^2-1 > 0

Se risolviamo la disequazione di secondo grado, ricaviamo

E = (-∞,-1) U (1,+∞)

e gli unici punti di frontiera sono dati da x_1 = -1, x_2 = 1, che sono naturalmente anche i punti di frontiera del complementare E^C = [-1,1].

4) A prescindere che un intervallo abbia gli estremi inclusi o esclusi, tutti e soli i punti di frontiera sono dati dai suoi estremi

(a,b) ; (a,b] ; [a,b) ; [a,b]

In ciascuno dei quattro casi i punti di frontiera sono solamente a,b.

Nel caso di un intervallo illimitato inferiormente o superiormente

(-∞,a), ; (-∞,a] ; (a,+∞) ; [a,+∞)

l'unico punto di frontiera è dato dall'estremo finito a.

Da ultimo, nel caso di R è facile vedere che non vi è alcun punto di frontiera.

Definizione (frontiera di un insieme)

Definiamo la frontiera di un insieme E, e la indichiamo con il simbolo partial E o eventualmente con Fr(E), come l'insieme dei punti di frontiera dell'insieme:

partial E = x∈R t.c. x e' di frontiera per E

Osservazione importante (confusione tra punto di frontiera e punto di accumulazione)

Spesso gli studenti alle prime armi confondono la nozione di punto di frontiera con quella di punto di accumulazione, a causa di una lettura poco attenta delle relative definizioni, e tendono a credere che ogni punto di frontiera sia un punto di accumulazione. A voi l'onere di rifletterci e di capire perché non è così che funziona. ;)

Relazione tra punti interni, esterni e di frontiera

Le tre definizioni forniscono una panoramica completa dei modi con cui un punto appartenente o non appartenente ad un insieme può essere in relazione con esso. Non solo: dati un insieme E ⊆ R e dato x_0∈R, risulta che x_0 può essere interno, oppure esterno, oppure di frontiera.

Qui abbiamo finito: se siete in cerca di esercizi o di ulteriori spiegazioni vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna, qui su YM abbiamo risolto migliaia di esercizi e risposto ad altrettante domande. ;)

Pamit, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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