Punti isolati

Un punto isolato di un insieme E è un punto x0 appartenente all'insieme per il quale esiste almeno un intorno completo del punto stesso tale da non contenere alcun punto dell'insieme E oltre a x0.

 

Nella precedente lezione abbiamo studiato la nozione di punto di accumulazione e abbiamo introdotto una caratterizzazione del rapporto che può sussistere tra un insieme e un punto appartenente all'insieme o non appartenente ad esso. Qui parliamo dei punti isolati, che concettualmente sono l'esatto opposto rispetto ai punti di accumulazione.

 

Per cominciare partiremo dalla definizione di punto isolato per poi commentarla in astratto e nel concreto, proponendo alcuni esempi.

 
 
 

Definizione di punto isolato

 

Prima di spiegare cos'è un punto isolato conviene ripartire dalla definizione di punto di accumulazione. Consideriamo un insieme E\subseteq\mathbb{R} e sia x_{0}\in\mathbb{R} un punto. Abbiamo detto che x_{0} è di accumulazione per l'insieme E se comunque scelto un (per ogni) intorno completo B(x_{0},\varepsilon) risulta che B(x_{0},\varepsilon) contiene almeno un punto di E che non sia x_{0}.

 

Sappiamo anche che se tale proprietà è soddisfatta allora ogni B(x_{0},\varepsilon) contiene non solo un punto ma infiniti punti di E diversi da x_0.

 

Come abbiamo anticipato un punto isolato è l'esatto contrario di un punto di accumulazione, ma come possiamo esprimere questo fatto in termini rigorosi?

 

 

Definizione (punto isolato di un insieme)

 

Dato un insieme E\subseteq\mathbb{R} si dice che x_{0}\in E è un punto isolato per l'insieme E se esiste almeno un intorno B(x_{0},\varepsilon) tale da non contenere alcun punto di E oltre a x_{0}.

 

In simboli possiamo esprimere la definizione mediante il linguaggio dell'insiemistica:

 

\\ x_0\inE\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un punto isolato di }E\\ \\ \mbox{se }\exists \varepsilon>0\mbox{ t.c. }B^*(x_0,\varepsilon)\cap E=\emptyset

 

dove B^*(x_0,\varepsilon) denota l'intorno bucato di x_0 di raggio \varepsilon, \cap l'intersezione tra i due insiemi e \emptyset l'insieme vuoto.

 

 

Un primo commento sulla definizione di punto isolato

 

Tecnicamente non è difficile stabilire se un certo punto x_{0}\in E è isolato rispetto all'insieme E: se riusciamo a trovare almeno un intorno (e ne basta uno solo) che non contiene altri punti dell'insieme oltre a x_0, è fatta: il punto è isolato.

 

Esempi sui punti isolati

 

Esempio A

 

A differenza dei punti di accumulazione, un punto isolato deve appartenere all'insieme considerato. Riprendiamo l'esempio visto nel caso dell'insieme

 

E=\left\{\frac{1}{n}\ \mbox{ con }n\in\mathbb{N}-\{0\}\right\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...\right\}\subset\mathbb{R}

 

 

Punti isolati

 

 

L'unico punto di accumulazione è x_{0}=0, che tra l'altro non appartiene all'insieme. In questo caso tutti gli elementi dell'insieme sono tutti e soli i punti isolati dell'insieme stesso.

 

Consideriamo ad esempio l'elemento \frac{1}{2}, ottenuto per n=2. I punti dell'insieme E più vicini ad esso sono 1 e \frac{1}{3}.

 

Possiamo trovare un intorno B\left(\frac{1}{2},\varepsilon\right) tale da non contenere altri punti di E? Certamente, basta considerare il raggio di un intorno in modo tale da escludere il punto più vicino.

 

\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}

 

quindi scegliendo \varepsilon<\frac{1}{6}, ad esempio \varepsilon=\frac{1}{10}, risulta che B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{10}\right) non contiene altri punti di E oltre a \frac{1}{2}.

 

Da tale osservazione consegue che \frac{1}{2} è un punto isolato dell'insieme E e con un ragionamento analogo si dimostra che anche tutti gli altri punti dell'insieme E sono isolati.

 

 

Esempio B (un intervallo non ha punti isolati)

 

Ad eccezione del caso degenere, un intervallo non ha mai punti isolati. Non dimenticate che nella lezione precedente abbiamo dimostrato che tutti i punti di un intervallo e che i suoi eventuali estremi esclusi sono punti di accumulazione per l'intervallo.

 

 

Esempio C

 

Un insieme della forma

 

E=[a,b)\cup\left\{x_{0}\right\}\ \ \ \mbox{con }x_{0}>b

 

(intervallo unito a un singleton) ha evidentemente come unico punto isolato il punto x_{0}.

 

 

Differenze tra le definizioni di punto di accumulazione e di punto isolato

 

Grazie agli esempi non dovrebbe essere difficile digerire la definizione di punto isolato; cionondimeno riteniamo utile mettere in evidenza le differenze sostanziali rispetto alla definizione di punto di accumulazione:

 

1) un punto isolato di un insieme E deve necessariamente appartenere all'insieme E, così come richiesto dalla definizione. Al contrario un punto di accumulazione può appartenere o non appartenere all'insieme.

 

2) La proprietà che caratterizza un punto isolato si basa sull'uso del quantificatore esistenziale \exists e richiede che esista almeno un intorno; la proprietà dei punti di accumulazione richiede l'utilizzo del quantificatore universale \forall, e prevede che la condizione sia soddisfatta per ogni intorno.

 

Tale osservazione implica che, per provare che un punto di un insieme è isolato, basta trovare un solo intorno che non contiene altri punti dell'insieme oltre al punto stesso. Ciò non significa che tutti gli intorni non devono contenere altri elementi dell'insieme oltre al punto stesso: basta un solo intorno. In questo senso nulla vieta che ci sia qualche intorno che contiene altri elementi dell'insieme, ma non ci interessa: a noi basta che ce ne sia uno tale da soddisfare la definizione.

 

Vale la solita regola: quando si ha a che fare con una definizione, bisogna dare peso ad ogni singola parola!

 

3) Più che una differenza, un'analogia: il nome esprime alla perfezione la proprietà richiesta dalla definizione, d'altronde stiamo parlando di punti isolati.

 

 


 

Una piccola anticipazione: la nozione di punto isolato ci servirà per fornire la definizione di insieme discreto (approfondimento per la categoria di lezioni sugli insiemi reali).

 

Nella lezione successiva ci occuperemo dei concetti di punto interno, esterno e di frontiera. Nel frattempo ricordate che potete reperire tantissimi esercizi e tutto quello che vi serve facendo buon uso della barra di ricerca interna. ;)

 

 

Selamat tinggal, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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