Insieme aperto, insieme chiuso

Un insieme aperto in ℝ è un insieme i cui punti sono tutti punti interni; un insieme chiuso in ℝ è un insieme che contiene tutti i propri punti di accumulazione.

 

La definizione e lo studio degli insiemi aperti e degli insiemi chiusi di \mathbb{R} è un argomento più delicato di quanto sembri, e richiede una buona dimestichezza con le nozioni di intorno, di punto interno e di punto di accumulazione.

 

Cerchiamo di affrontare il problema per passi: cominciamo dal semplice caso degli intervalli, vediamo di comprendere la logica delle definizioni e poi estendiamole al caso più generale di un qualsiasi insieme reale.

 
 
 

Intervalli aperti, intervalli chiusi

 

Nella lezione sulla classificazione degli intervalli abbiamo introdotto i concetti di intervallo aperto/chiuso a sinistra/destra. Quelle nozioni si riferivano all'esclusione/inclusione degli estremi ed introducevano dei nomi comodi; ora è il momento di parlare di intervalli aperti e intervalli chiusi in un senso più ampio, descrivendo una proprietà che caratterizzi un intervallo nel suo complesso. 

 

 

Definizione (intervallo chiuso)

 

Sia I\subseteq\mathbb{R} un intervallo. Diciamo che I è un intervallo chiuso se contiene tutti i propri punti di accumulazione.

 

In simboli diremo che un intervallo è chiuso

 

\mbox{se }x_0\in I'\ \Rightarrow\ x_0\in I

 

dove I' indica l'insieme derivato di I, ossia l'insieme dei punti di accumulazione di I. In modo equivalente diremo che I è un intervallo chiuso

 

\mbox{se }I'\subseteq I

 

 

Definizione (intervallo aperto)

 

Sia I\subseteq\mathbb{R} un intervallo. I si dice intervallo aperto se ogni suo punto è un punto interno, ossia se per ogni punto appartenente a I esiste almeno un intorno del punto che sia interamente contenuto nell'intervallo.

 

In simboli diremo che I è un intervallo aperto se per ogni suo punto è soddisfatta la definizione di punto interno:

 

\mbox{se }\forall x\in I\ \exists \varepsilon>0 \mbox{ t.c. }B(x_0, \varepsilon)\subseteq I

 

Attenzione: ricordate che è sufficiente trovare un solo intorno del punto per dire che esso è un punto interno. In modo del tutto equivalente possiamo dire che un intervallo è aperto se coincide con la sua parte interna, ossia

 

\mbox{se }\mbox{Int}(I)=I

 

 

Definizione (intervallo né aperto né chiuso)

 

Diciamo che un intervallo è né aperto né chiuso se esso non è aperto e non è chiuso.

 

 

Definizione (intervallo aperto e chiuso)

 

Diciamo che un intervallo è aperto e chiuso se esso è sia aperto che chiuso. In gergo si usa il termine clopen, dalla crasi inglese degli aggettivi closed e open.

 

Classificazione di intervalli aperti o chiusi

 

Se le definizioni vi hanno scoraggiato avrete modo di ricredervi tra un istante. I concetti di intervallo aperto e di intervallo chiuso sono semplicissimi da digerire e per convincervene vi proponiamo una classificazione completa degli intervalli. ;)

 

Siano a,b\in\mathbb{R}. Vogliamo stabilire se i seguenti intervalli sono aperti, chiusi, o né aperti né chiusi, applicando le definizioni che abbiamo appena dato.

 

 

1. (a,b)

 

L'intervallo è aperto perché ogni suo punto è interno. Dimostriamolo: sia x_0\in I un generico punto di I e consideriamo l'intorno di raggio

 

\varepsilon=\min\left\{\frac{b-x_0}{2},\frac{x_0-a}{2}\right\}

 

dove min non è altro che il minimo: significa che vogliamo il più piccolo dei due elementi dell'insieme (proprio per indicare che è un insieme abbiamo usato le parentesi graffe). I due rapporti non sono altro che la metà delle distanze di x_0\in I rispettivamente da a e da b.

 


Intervallo aperto (a,b) e punto interno ad esso

 

 

Si noti che per quanto ci avviciniamo indefinitamente agli estremi a,b il ragionamento continua a funzionare, il che dimostra che ogni x\in(a,b) è un punto interno all'intervallo (a,b)

 

L'unica obiezione che potrebbe venire in mente è la seguente: cosa succede scegliendo come punto uno tra a,b? Tali punti non appartengono all'intervallo (a,b), quindi abbiamo dimostrato che (a,b) è aperto.


L'intervallo non è chiuso. Sappiamo che tutti i punti di un intervallo e i suoi estremi (a prescindere che siano inclusi o esclusi) sono punti di accumulazione per esso. Tutti i punti di accumulazione del tipo a<x<b appartengono ovviamente all'intervallo, ma gli estremi a,b dell'intervallo sono punti di accumulazione che non appartengono ad (a,b), quindi l'intervallo non contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

 

 

2. [a,b]

 

Affermiamo che l'intervallo è chiuso, infatti contiene tutti i propri punti di accumulazione (punti interni ed estremi); qui, a differenza del caso 1, gli estremi sono entrambi inclusi.

 

L'intervallo non è aperto: per definizione un insieme è aperto se ogni suo punto è interno, ma se consideriamo gli estremi a,b si capisce facilmente che essi sono punti di frontiera per I.

 

 

intorno di un punto di frontiera e intervallo chiuso

 

 

3. (a,b]

 

L'intervallo non è aperto né chiuso. Non è aperto perché non tutti i suoi punti sono interni, in particolare l'unico punto che non è interno ad esso è l'estremo destro b, che è un punto di frontiera. Non è chiuso perché non è vero che esso contiene tutti i propri punti di accumulazione: l'estremo sinistro a è infatti di accumulazione ma non appartiene all'intervallo.

 

 

4. [a,b)

 

Con un ragionamento analogo al precedente concludiamo che l'intervallo non è aperto né chiuso.

 

 

5. \{a\}=[a,a]

 

Un singleton \{a\}, cioè un insieme che contiene un solo elemento, non è aperto perché ovviamente a non è un punto interno ad esso: non è possibile individuare alcun intorno del punto interamente contenuto nell'insieme, il che è abbastanza evidente (non dimenticate che il raggio di un intorno per definizione deve essere positivo).

 

 

Intorni di un singoletto

 

D'altra parte è chiuso, infatti non ha punti di accumulazione. Per quanto possa sembrare contro-intuitivo, non avendo punti di accumulazione, li contiene tutti. 

 

 

6. (a,+\infty)

 

L'intervallo risulta aperto e non chiuso: tutti i punti di (a,+\infty) sono interni all'intervallo, d'altronde l'estremo sinistro è un punto di accumulazione che non appartiene all'intervallo.

 

 

7. (-\infty, a)

 

Con un ragionamento analogo al precedente si capisce che questo intervallo è aperto e non chiuso.

 

 

8. [a,+\infty)

 

L'intervallo è chiuso ma non aperto. Innanzitutto notiamo che esso contiene tutti i propri punti di accumulazione (non dimenticate che +\infty non è un numero reale). D'altro canto l'estremo sinistro a non è un punto interno, bensì un punto di frontiera.



9. (-\infty, a]

 

Vale un ragionamento analogo al punto precedente: l'intervallo è chiuso ma non aperto.

 

 

10. \mathbb{R}=(-\infty,+\infty)

 

L'asse reale \mathbb{R} è un insieme aperto e chiuso. È aperto perché ogni suo punto è interno ad esso; è chiuso perché contiene tutti i propri punti di accumulazione.

 

 

11. \emptyset=(a,a)

 

Ricordando che l'insieme vuoto può essere espresso in infiniti modi sotto forma di intervallo, conveniamo di includerlo nella nostra classificazione. L'insieme vuoto è aperto e chiuso: anche qui il ragionamento sembra piuttosto contro-intuitivo, ma esso è aperto perché tutti i suoi punti sono interni (non ha punti), ed è chiuso perché contiene tutti i propri punti di accumulazione (non ne ha).

 

 

Osservazione (l'intorno di un punto è aperto)

 

Sappiamo che per definizione un intorno B(a,\varepsilon)  è un intervallo della forma

 

B(a,\varepsilon)=(a-\varepsilon, a+\varepsilon).

 

dunque è un intervallo del tipo (a,b), di conseguenza è aperto ma non chiuso.

 

 

Osservazione (intervallo aperto o chiuso a partire dagli estremi)

 

Riprendendo le nozioni di intervallo aperto a sinistra/destra (con estremo sinistro/destro escluso) e di intervallo chiuso a sinistra/destra (con estremo sinistro/destro incluso), è possibile fornire un semplice criterio che permette di capire se un intervallo è aperto o chiuso semplicemente osservandone gli estremi:

 

- un intervallo limitato è aperto e non chiuso se entrambi gli estremi sono esclusi

 

(a,b)

 

- un intervallo limitato è chiuso e non aperto se entrambi gli estremi sono inclusi

 

[a,b]

 

- un intervallo limitato non è aperto né chiuso se un estremo è incluso e l'altro è escluso

 

[a,b)\ \ ;\ \ (a,b]

 

- un intervallo illimitato inferiormente oppure superiormente è aperto e non chiuso se l'estremo finito è escluso

 

(-\infty,a)\ \ ;\ \ (a,+\infty)

 

- un intervallo illimitato inferiormente oppure superiormente è chiuso e non aperto se l'estremo finito è incluso

 

(-\infty,a]\ \ ;\ \ [a,+\infty)

 

Insiemi reali aperti o chiusi

 

Niente paura: le definizioni di insieme aperto e di insieme chiuso in \mathbb{R} sono identiche a quelle fornite per gli intervalli. ;)

 

 

Definizione (insieme chiuso)

 

Diciamo che un insieme E\subseteq\mathbb{R} è un insieme chiuso se contiene tutti i propri punti di accumulazione.

 

In simboli diremo che un insieme è chiuso

 

\mbox{se }x_0\in E'\ \Rightarrow\ x_0\in E

 

dove E' indica l'insieme derivato di E, ossia l'insieme dei punti di accumulazione di E. In modo equivalente diremo che E è un insieme chiuso

 

\mbox{se }E'\subseteq E

 

 

Definizione (insieme aperto)

 

Un insieme E\subseteq\mathbb{R} si dice insieme aperto se ogni suo punto è un punto interno, ossia se per ogni punto appartenente a E esiste almeno un intorno del punto che sia interamente contenuto nell'insieme.

 

In simboli diremo che E è un insieme aperto se per ogni suo punto è soddisfatta la definizione di punto interno:

 

\mbox{se }\forall x\in E\ \exists \varepsilon>0 \mbox{ t.c. }B(x_0, \varepsilon)\subseteq E

 

Attenzione: ricordate che è sufficiente trovare un solo intorno del punto per dire che esso è un punto interno. In modo del tutto equivalente possiamo dire che un insieme è aperto se coincide con la sua parte interna, ossia

 

\mbox{se }\mbox{Int}(E)=E

 

 

Definizione (insieme né aperto né chiuso)

 

Diciamo che un insieme è né aperto né chiuso se esso non è aperto e non è chiuso.

 

 

Definizione (insieme aperto e chiuso)

 

Diciamo che un insieme è aperto e chiuso se esso è sia aperto che chiuso. In gergo si usa il termine clopen, dalla crasi inglese degli aggettivi closed e open.

 

Esempi di insiemi aperti e chiusi

 

Come vedete le definizioni di aperto e chiuso si adattano senza difficoltà al passaggio dagli intervalli agli insiemi. Per capire se un sottoinsieme di \mathbb{R} è aperto o chiuso (eventualmente nessuna delle due cose, o entrambe), è sufficiente studiarne la frontiera e i punti di accumulazione.

 

 

A) Consideriamo U\subseteq\mathbb{R} definito come

 

U=(0,1)\cup [2,5)\cup \{6\}

 

L'insieme non è aperto né chiuso.

 

Esaminiamo la frontiera \partial U=\{0,1,2,5,6\}: se l'insieme fosse aperto tutti i suoi punti dovrebbero essere interni, ma x=2\mbox{ e }x=6 non lo sono.

 

D'altra parte se fosse chiuso dovrebbe contenere tutti i propri punti di accumulazione, ma x=0,\ x=1,\ x=5 non appartengono a U.

 

 

B) Sia U\subseteq\mathbb{R} definito come

 

U=(0,5)-\{1\}

 

dove il simbolo - denota la differenza insiemistica. Se scriviamo l'insieme sotto forma di unione di intervalli

 

U=(0,1)\cup(1,5)

 

capiamo che l'insieme è aperto ma non chiuso.

 

Esaminiamo la frontiera \partial U=\{0,1,5\}: l'insieme è aperto poiché tutti i suoi punti sono interni (si noti che x=1 non appartiene all'insieme).

 

L'insieme non è chiuso, infatti nessuno dei punti di frontiera, che come abbiamo già detto sono di accumulazione, è compreso nell'insieme.

 

 

C) Sia U\subseteq\mathbb{R} definito come

 

U_1=(0,1]\cap[1,5)

 

L'insieme è chiuso ma non aperto, infatti il risultato di questa intersezione è il singoletto \{1\} che abbiamo già classificato in precedenza.

 

 

D) Una tipica domanda da interrogazione: esistono insiemi sia aperti che chiusi?


Nella classificazione degli intervalli abbiamo già studiato due esempi di clopen: \mathbb{R},\ \emptyset. Possiamo dire qualcosa in più...

 

Osservazione (ℝ e Ø sono gli unici clopen di ℝ)

 

Si può dimostrare (omettiamo la dimostrazione in questa sede, essendo piuttosto avanzata) che gli unici insiemi reali aperti e chiusi sono l'intero asse reale \mathbb{R} e l'insieme vuoto \emptyset.

 

Teoremi su insiemi aperti o chiusi e operazioni insiemistiche

 

Per chiudere in bellezza riportiamo gli enunciati di alcuni teoremi che legano le nozioni di insieme aperto/chiuso alle principali operazioni insiemistiche. Non ne riportiamo le dimostrazioni né ci dilunghiamo oltremodo: ci limitiamo a riportare i risultati teorici che trovano maggiore riscontro sia nel prosieguo dell'Analisi, sia negli esercizi tipici dei corsi universitari.

 

Per vostra informazione sappiate che c'è una marea di altri teoremi di questo genere che però tipicamente competono i corsi di Topologia della facoltà di Matematica. ;)

 

Teorema (il complementare di un aperto è un chiuso, e viceversa)

 

Il complementare di un insieme aperto di \mathbb{R} è un insieme chiuso di \mathbb{R}. Viceversa, il complementare di un insieme chiuso di \mathbb{R} è un insieme aperto di \mathbb{R}.

 

Teorema (l'unione finita o numerabile di aperti è un insieme aperto)

 

L'unione di una quantità finita o numerabile di insiemi aperti di \mathbb{R} è un insieme aperto di \mathbb{R}

 

Teorema (l'intersezione finita o numerabile di chiusi è un insieme chiuso)

 

L'intersezione di una quantità finita o numerabile di insiemi chiusi di \mathbb{R} è un insieme chiuso di \mathbb{R}

 

Teorema (l'intersezione finita di aperti è un insieme aperto)

 

L'intersezione di un numero finito di insiemi aperti di \mathbb{R} è un insieme aperto di \mathbb{R}.

 

Teorema (l'unione finita di chiusi è un insieme chiuso)

 

L'unione di un numero finito di insiemi chiusi di \mathbb{R} è un insieme chiuso di \mathbb{R}.

 

 


 

Nella scheda di esercizi correlati entreremo nel vivo della pratica e vi proporremo alcuni esempi più o meno complessi di insiemi aperti o chiusi. Nel frattempo non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente .........Esercizi correlati..........Lezione successiva


Tags: definizione di insieme aperto e insieme chiuso - come capire se un insieme di numeri reali è aperto o chiuso.