Punto di accumulazione

Un punto di accumulazione di un insieme reale E è un punto x0 per il quale, comunque si scelga un intorno completo del punto stesso, esiste almeno un punto y dell'insieme E diverso da x0 e tale da appartenere all'intorno considerato.

 

In questa lezione vogliamo presentare la nozione di punto di accumulazione di un insieme in modo da iniziare a studiare le possibili relazioni tra punti e insiemi, con lo scopo successivo di studiare le proprietà dei sottoinsiemi reali a partire dall'analisi dei punti che li costituiscono, e non solo.

 
 
 

Definizione di punto di accumulazione

 

Consideriamo un generico insieme E\subseteq\mathbb{R}, e sia x_{0}\in\mathbb{R} un punto qualsiasi non necessariamente appartenente all'insieme. Iniziamo col dare una definizione di punto di accumulazione che poi commentiamo con un po' di esempi.

 

Diciamo che x_{0}\in\mathbb{R} è punto di accumulazione per l'insieme E\subseteq\mathbb{R} se, comunque scelto un intorno completo B(x_{0},\varepsilon), risulta che B(x_{0},\varepsilon) contiene almeno un punto di E diverso x_{0}.

 

In simboli matematici:

 

\\ x_0\in\mathbb{R}\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ di accumulazione per }E\subseteq\mathbb{R}\\ \\ \mbox{ se }\forall\varepsilon>0\ \exists y\in E,\ y\neq x_0\mbox{ t.c. }y\in B(x_0,\varepsilon)

 

 

Una prima spiegazione sulla definizione di punto di accumulazione

 

Prestiamo attenzione alla definizione appena data, e soprattutto alle parole "comunque scelto un intorno completo". Per dire che un punto x_{0} è un punto di accumulazione per un insieme E non basta trovare almeno un intorno di x_{0} tale da contenere almeno un punto di E che sia diverso da x_{0}. La proprietà deve essere soddisfatta per qualsiasi intorno del punto x_0.

 

Trovare un intorno completo B(x_{0},\varepsilon) che soddisfi la proprietà non basta, infatti potrebbe esserci un intorno completo B(x_0,\mbox{pluto}) più piccolo, dunque con raggio \mbox{pluto}<\varepsilon, tale da non contenere alcun punto di E che sia diverso da x_{0}.

 

Ad esempio il punto x_{0} in figura non è di accumulazione per l'intervallo in nero [...)

 

 

Punto che non è di accumulazione

 Un esempio di punto che non è di accumulazione per un insieme (intervallo in nero).

 

 

Da una parte è vero che c'è un intorno (arancione) che contiene almeno un punto dell'intervallo nero che sia diverso da x_{0}; dall'altra però la proprietà richiesta deve valere per ogni intorno, e ad esempio nel caso dell'intorno rosso non è verificata.

 

Al contrario, se nello stesso esempio proviamo a considerare come x_0 un qualsiasi punto dell'intervallo, o eventualmente anche il suo estremo destro, intuiamo facilmente che la proprietà richiesta dalla definizione è verificata: comunque scegliamo un intorno completo del punto (\forall\varepsilon>0) troviamo sempre almeno un altro elemento dell'insieme che sia diverso da x_0\ (\exists y\in E,\ y\neq x_0) tale da appartenere all'intorno considerato (\mbox{t.c. }y\in B(x_0,\varepsilon)).

 

Esempi di punti di accumulazione

 

Esempio A

 

Il primo - nonché l'esempio di maggiore utilizzo in questi casi - consiste nel considerare la successione di valori reali definita nel modo seguente

 

E=\left\{\frac{1}{n}\ \mbox{ al variare di }n\in\mathbb{N}-\{0\}\right\}

 

vale a dire l'insieme

 

E=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...\right\}\subset\mathbb{R}

 

 

Punto di accumulazione di una successione

 

 

Diciamo che x_{0}=0 è un punto di accumulazione per E. Non vi fidate? Molto bene, allora vediamo di stabilire se la definizione di punto di accumulazione è soddisfatta. ;)

 

Vogliamo mostrare che, comunque scegliamo un intorno completo di x_{0}=0, esso conterrà almeno un punto di E diverso da x_{0}=0 stesso.

 

Per riuscirci dobbiamo ragionare in astratto ed indipendentemente dalla lunghezza degli intorni. Per dimostrare che vale la proprietà "contenere un altro punto di E che non sia x_{0}=0", non possiamo effettuare una verifica manuale per ogni possibile intorno, ossia per ogni possibile raggio \varepsilon. Possiamo però fare una verifica in generale, quindi considerare il raggio dell'intorno come un parametro generico.

 

In questo modo, se riusciamo a dimostrare la proprietà con un generico intorno B(0,\varepsilon), dove l'aggettivo generico è inteso come "con generico raggio", allora la proprietà vale automaticamente per ogni intorno.

 

In questo caso consideriamo B(0,\varepsilon). È vero che, comunque si scelga \varepsilon>0, riusciamo a trovare un punto di E diverso da x_{0}=0 e appartenente ad esso?

 

Gli elementi di E sono della forma \frac{1}{n} ed è facile mostrare che, comunque scegliamo un raggio \varepsilon>0, la proprietà è verificata: basta considerare n in modo tale che risulti

 

\frac{1}{n}<\varepsilon

 

ossia comunque scegliamo \varepsilon>0 è sufficiente considerare

 

n>\frac{1}{\varepsilon}

 

per avere la proprietà di appartenenza. Ad esempio, se consideriamo \varepsilon=0.2 allora risulterà che ogni elemento \frac{1}{n} con n>\frac{1}{0.2}=5 appartiene nell'intorno prefissato.

 

Dalla generalità del ragionamento consegue che la proprietà richiesta dalla definizione è verificata per ogni possibile intorno di x_{0}=0, per cui x_{0}=0 è un punto di accumulazione per E. Di più: x_{0}=0 è un punto di accumulazione dell'insieme pur non appartenendo all'insieme stesso.

 

Per il resto osserviamo che i punti dell'insieme E non sono punti di accumulazione per l'insieme stesso. Per capirlo consideriamo ad esempio il primo elemento dell'insieme, cioè 1 (ottenuto per n=1). Il ragionamento si estenderà facilmente a tutti gli altri elementi dell'insieme.

 

Il punto 1 non è di accumulazione per E e per vederlo basta trovare un solo intorno di E tale da non contenere altri punti di E oltre a 1. Se infatti la proprietà non vale anche per un solo intorno, allora la proprietà non vale per qualsiasi intorno: in questo caso basta considerare l'intorno B\left(1,\frac{1}{3}\right) e voilà, tale intorno non contiene alcun altro elemento dell'insieme.

 

 

Aspetti e conseguenze della definizione di punto di accumulazione che spesso sfuggono

 

1) Innanzitutto notiamo che, dato un punto di accumulazione x_0\in\mathbb{R} per un insieme E, in un suo intorno qualsiasi cade almeno un punto y\in E dell'insieme diverso da x_0. Poiché la proprietà deve valere per ogni intorno del punto, se ci concentriamo su uno specifico intorno possiamo restringerlo indefinitamente e continuare a trovare un punto y\in E,\ y\neq x_0 che appartenga ad esso.

 

In sintesi, dato un punto di accumulazione, in ogni intorno cade almeno un punto y\in E,\ y\neq x_0 e quindi in ogni intorno cadono infiniti punti dell'insieme diversi da x_0.

 

Nell'esempio, se n è tale che \frac{1}{n}\in B(0,\varepsilon), allora ogni elemento del tipo \frac{1}{N} con N>n apparterrà a B(0,\varepsilon).

 

 

2) Un punto di accumulazione per un insieme può non appartenere all'insieme stesso

 

Non fatevi tradire dalla definizione: leggendola distrattamente si potrebbe implicitamente fraintendere la scrittura

 

\exists y\in E,\ y\neq x_0

 

e pensare che x_0 per essere di accumulazione debba necessariamente appartenere ad E. Non è così: la definizione richiede che x_0\in\mathbb{R} e non che x_0\in E.

 

Nell'esempio proposto x_{0}=0 non appartiene all'insieme E, poiché non esiste alcun numero naturale per cui risulti \frac{1}{n}=0. Ciononostante esso è di accumulazione per E.

 

 

3) Lo abbiamo già scritto ma per sicurezza lo ribadiamo. Per negazione della definizione, se troviamo anche un solo intorno per cui non vale la proprietà della definizione (cioè se troviamo un intorno che non contiene alcun elemento dell'insieme e che non sia x_0) allora la proprietà non vale per qualsiasi intorno.

 

In parole povere per dimostrare che un punto non è di accumulazione per un insieme ci basta individuare un solo intorno all'interno del quale non ricade alcun elemento dell'insieme e che sia diverso dal punto stesso.

 

 

4) Signore e signori: il nome! Un punto si dice di accumulazione per un insieme perché i punti dell'insieme si accumulano ad esso, non trovate? :)

 

 

Esempio B (punti di accumulazione di un intervallo)

 

Vediamo di espandere quanto scritto nel primissimo esempio post definizione. Consideriamo un qualsiasi intervallo I\subseteq\mathbb{R}. Ogni punto contenuto nell'intervallo è un punto di accumulazione per l'intervallo stesso, ed è facilissimo vederlo.

 

Comunque consideriamo un intorno di un fissato punto x_{0} contenuto nell'intervallo, troviamo sempre almeno un punto c dell'intervallo tale da appartenere all'intorno e che sia diverso da x_{0} stesso. Facile, no?

 

 

Punto di accumulazione per un intervallo

 

 

Qui notiamo che un punto di accumulazione per un insieme può appartenere all'insieme stesso.


Cosa succede con gli estremi di un intervallo? Che siano inclusi (parentesi quadra) o esclusi (parentesi tonda), poco importa: in tutti i casi sono sempre punti di accumulazione per l'intervallo stesso.

 

Consideriamo ad esempio l'intervallo (a,b]. Il punto a è di accumulazione per l'intervallo considerato: comunque scegliamo un intorno completo di a, la parte destra dell'intorno conterrà sempre almeno un punto dell'intervallo che non sia a. Lo stesso dicasi per b, in tal caso però dovremo fare riferimento alla parte sinistra dell'intorno completo.

 

 

Generalizzazione (i punti e gli estremi di un intervallo sono di accumulazione per l'intervallo stesso)

 

Tutti i punti di un intervallo non degenere, compresi gli estremi (a prescindere che siano inclusi od esclusi), sono sempre di accumulazione per l'intervallo. Più precisamente tutti e soli i punti di accumulazione di un intervallo sono dati dai punti appartenenti all'intervallo e dagli eventuali estremi esclusi dall'intervallo.

 

 

Esempio C

 

Ragioniamo infine sull'insieme

 

E=(0,1)\cup\left\{\frac{3}{2}\right\}

 

(intervallo unito a un singleton). Qui è evidente che x_0=\frac{3}{2} non è di accumulazione per E, infatti possiamo trovare almeno un intorno di x_0=\frac{3}{2} che non contiene alcun punto di E oltre al medesimo x_0=\frac{3}{2}.

 

Uno a caso? L'intorno B\left(\frac{3}{2},\frac{2}{5}\right), infatti

 

\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}>\frac{2}{5}

 

Come ormai sappiamo, se la proprietà non vale per uno specifico intorno non può valere per ogni intorno, quindi x_0=\frac{3}{2} non è di accumulazione per E.

 

 

Un suggerimento spassionato

 

Ricordatevi sempre: non fatevi spaventare quando in una definizione compare per ogni; per verificarla è sufficiente effettuare una verifica in generale, trattando i parametri che compaiono (nel nostro caso specifico le lunghezze \varepsilon degli intorni) come variabili. Viceversa, per confutarla basta trovare un controesempio, cioè un esempio in cui la definizione non è soddisfatta.

 

Insieme derivato

 

Una pura formalità. I nomi ci permettono di alleggerire il linguaggio, poco importa che sia scritto o parlato. Vale dunque la pena di aggiungere un ulteriore tassello alla teoria e introdurre la nozione di insieme derivato di un insieme E, solitamente indicato con uno dei seguenti simboli

 

D(E)\ \ \mbox{ oppure }\ \ E'

 

e definito come l'insieme dei punti di accumulazione dell'insieme E. Qui ci fermiamo ma vogliamo anche lasciarvi qualche spunto di riflessione: aiutandovi con qualche esempio creato ad hoc cercate di stabilire se:

 

- l'insieme derivato di un insieme E può essere contenuto nell'insieme E;

 

- l'insieme derivato di un insieme E può contenere l'insieme E;

 

e, in termini generali, di stabilire se è vero o non è vero che

 

- l'insieme derivato è sempre contenuto nell'insieme;

 

- l'insieme derivato contiene sempre l'insieme.

 

Ragionateci: tutte le risposte sono scritte tra le righe dei precedenti esempi. ;) E a tal proposito, se volete leggerne altri: insieme derivato.

 

 


 

I punti di accumulazione ci serviranno per definire la nozione di insieme chiuso o aperto, ma prima introdurremo altri tipi di punti che si definiscono con logiche analoghe ai punti di accumulazione. La materia può sembrare spigolosa all'inizio, ma è sufficiente procedere con ordine e capire ogni singola parola delle definizioni, dove con ogni si intende tutte. :P 

 

Nel frattempo, in caso di dubbi o domande, vi raccomandiamo una ricerca veloce qui su YM mediante la barra di ricerca interna.

 

 

Kveðja, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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