Intorno di un punto. Intorno sinistro e destro
Un intorno di un punto in una dimensione, detto anche intorno completo o intorno circolare, è un intervallo aperto centrato in un numero reale. Il punto di riferimento viene detto centro dell'intorno, la semiampiezza dell'intervallo viene detta raggio dell'intorno.
Il concetto di intorno di un punto, che ci apprestiamo ad introdurre qui ed ora, è probabilmente la nozione di cui si fa maggiore uso in Analisi Matematica, e che allo stesso tempo risulta ostica alla maggior parte degli studenti.
La definizione di intorno di un punto (dove con punto intendiamo come al solito un numero reale) è in realtà molto semplice e viene spesso confusa con gli utilizzi per i quali viene introdotta, che potranno sì apparire complessi ai neofiti, ma che richiedono semplicemente un approccio mentale diverso da quello rispetto cui siamo normalmente abituati. Oltre alla nozione di intorno completo (detto anche intorno circolare) ci occuperemo di spiegare cosa sono un intorno sinistro, un intorno destro, un intorno di infinito e un intorno bucato.
Che cos'è un intorno di un punto?
Per introdurre la definizione di intorno iniziamo anticipando che un intorno di un punto 
è un intervallo, niente di più e niente di meno.
Consideriamo un valore reale, chiamiamolo 
, e definiamo intorno centrato in , o anche intorno completo del punto un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra, di lunghezza arbitraria e con centro nel punto .
Ciò che potrà spiazzarvi, già in questa semplice definizione, è che non stiamo definendo gli estremi dell'intervallo detto intorno; ne stiamo definendo il centro e il raggio come se fosse una circonferenza o una sfera.
In generale ci sono diversi modi per indicare un intorno completo di un punto . Solitamente alle scuole superiori si ricorre alla notazione
mentre nei vari corsi universitari di Analisi 1 ci si imbatte più frequentemente nelle scritture
In entrambi i casi 
indica il raggio dell'intorno completo, che avrà quindi diametro 
. Si noti che in questo frangente il termine diametro viene mutuato direttamente dalla Geometria.
Definizioni rigorose sugli intorni
Dal punto di vista insiemistico possiamo riassumere quanto appena scritto facendo uso dei simboli.
Definizione (intorno completo di un punto o intorno circolare di un punto)
Indichiamo con 
l'intorno completo del punto di raggio , e lo definiamo come l'intervallo aperto sia a sinistra che a destra della forma
o equivalentemente, in termini insiemistici
In modo del tutto analogo possiamo scrivere
e, volendo, possiamo esprimere la doppia disuguaglianza per mezzo del valore assoluto
Innanzitutto specifichiamo che, solitamente, quando si utilizza il termine intorno senza ulteriori specificazioni si sottintende implicitamente uno tra gli aggettivi equivalenti circolare o completo. In altri termini un intorno è un intervallo simmetrico rispetto al proprio centro e con una differenza tra gli estremi pari al doppio del suo raggio, ossia pari a .
Gli intorni di un punto, l'intorno di un punto con raggio specifico
Come ulteriore osservazione vi facciamo notare che, fissato un punto , si può parlare in termini generici di un intorno del punto senza specificarne il raggio, ed intendendo con ciò un qualsiasi possibile intervallo simmetrico rispetto al punto . Se però decidiamo di specificare un determinato raggio dovremo necessariamente usare l'articolo determinativo e riferirci all'intorno del punto di raggio .
Non sottovalutate la precedente osservazione: per quanto sembri banale, nel prosieguo dell'Analisi Matematica ci capiterà talvolta di riferirci all'esistenza di un generico intorno di un punto, talvolta di lavorare con uno specifico intorno del punto di raggio fissato. ;)
Legame tra le due notazioni di intorno
Rileggendo le due definizioni simboliche, equivalenti tra loro, si vede che c'è assoluta coerenza: da un lato abbiamo definito l'intorno di centro e raggio come l'insieme dei punti 
che distano da meno di , a sinistra oppure a destra (e questo spiega la presenza del valore assoluto 
).
Dall'altro abbiamo indicato il medesimo oggetto matematico con l'utilissima notazione degli intervalli
Una volta capito il concetto di intorno completo, introduciamo altre cinque nozioni di intorno che ci torneranno utili a seconda degli argomenti dell'Analisi che tratteremo.
Intorno sinistro e intorno destro
Definizione (intorno sinistro di un punto)
Si definisce intorno sinistro di un punto di raggio l'intervallo aperto a sinistra e a destra dato da
dove, a differenza dell'intorno completo, si considera solamente la parte a sinistra del punto. Con la notazione degli intervalli:
Con un disegno:
Definizione (intorno destro di un punto)
Si definisce intorno destro di un punto di raggio l'intervallo aperto a sinistra e a destra dato da
dove si considera solamente la parte a destra del punto. Con la notazione degli intervalli:
Con un disegno:
Intorno di infinito
Come si possono adattare le ultime due definizioni nel caso in cui il centro dell'intorno sia 
e nel caso in cui il centro dell'intorno sia 
? Innanzitutto è evidente che non è possibile definire un intorno completo di o di i quali, per inciso, non sono nemmeno numeri reali. Ma poiché le vie dell'Analisi sono infinite è bene introdurre due ulteriori locuzioni che ci permetteranno di alleggerire il linguaggio e di ridurre l'uso della notazione simbolica nel prosieguo degli studi.
Definizione (intorno di - infinito)
Si definisce intorno di meno infinito 
un qualsiasi intervallo aperto a sinistra e a destra del tipo
dove 
è un arbitrario valore reale.
Si noti (e non è difficile) che qui non gioca il ruolo di raggio. Il concetto di intorno di meno infinito è del tutto diverso rispetto ai casi circolare/sinistro/destro. Giusto per dare un'anticipazione pratica, la nozione di intorno di meno infinito ci servirà per precisare che alcune condizioni o proprietà valgono a sinistra di un qualche valore reale , o come si suol dire in Analisi: "a meno infinito".
Definizione (intorno di + infinito)
Si definisce intorno di più infinito 
un qualsiasi intervallo aperto a sinistra e a destra del tipo
con un arbitrario valore reale. Qui valgono considerazioni del tutto analoghe rispetto alla definizione precedente.
Intorno bucato
Fin qui nulla di difficile, giusto? Se così vi pare, nemmeno la definizione successiva vi creerà particolari problemi. Essa nasce dall'esigenza di considerare un intorno (circolare) e di escludere per qualche motivo il centro dell'intorno. Tranquilli: il nome dice già tutto. ;)
Definizione (intorno bucato)
Si definisce intorno bucato di un punto un intorno di privato del punto , ossia:
dove il meno dopo la prima uguaglianza denota la differenza insiemistica. È piuttosto evidente che un intorno bucato è l'unica tipologia di intorno che non corrisponde ad un intervallo (bensì ad un'unione di intervalli); con un disegno:
Utilità delle varie nozioni di intorno di un punto
Che ce ne facciamo di tutte queste definizioni apparentemente inutili? Domanda legittima ma estremamente prematura. In Matematica tutto ciò che viene introdotto ha una specifica utilità e la risposta più immediata che possiamo darvi è: "Un sacco di cose".
La curiosità è un'attitudine molto utile ai fini della conoscenza, ma è altresì importante avere fiducia e porsi le giuste domande al giusto momento. Per chi si appresta allo studio dell'Analisi Matematica, leggere le definizioni dei vari intorni e avere la pretesa di sapere qui ed ora a che cosa servono, è alla stregua di spiegare a un bambino delle elementari come funziona il sistema fiscale italiano. Ogni cosa a suo tempo. ;)
Come di consueto chiudiamo raccomandandovi l'uso della barra di ricerca interna, grazie alla quale potrete scandagliare migliaia di esercizi e di risorse utili. :)
Näkemiin, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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