Intervalli limitati o illimitati, intervalli aperti o chiusi

Passiamo a catalogare i possibili tipi di intervalli, e vediamo come è possibile classificare i vari intervalli distinguendo tra intervalli aperti, chiusi, intervalli limitati e illimitati.

 

In una delle precedenti lezioni abbiamo introdotto la nozione di intervallo reale e di insieme reale e abbiamo fornito la definizione di intervallo I\subseteq\mathbb{R}, specificando le varie forme con cui può presentarsi. Ora è il momento di precisare le notazioni degli intervalli introducendo due proprietà che li caratterizzano: limitatezza o illimitatezza, apertura o chiusura.

 

Nel seguito delle lezioni definiremo tali proprietà in modo più ampio e in riferimento a qualsiasi possibile insieme reale, ma non prima di aver svolto un po' di lavoro preparatorio. ;)

 

Tipi di intervalli: aperti, chiusi, limitati, illimitati

 

Cercheremo ora di essere più specifici e, alla luce delle notazioni che abbiamo introdotto, di dare una caratterizzazione dei vari tipi di intervalli che possiamo incontrare come sottoinsiemi di \mathbb{R}.

 

Un primo elemento distintivo che contraddistingue gli intervalli è sicuramente la limitatezza/illimitatezza.

 

Un secondo aspetto al quale faremo riferimento esprime invece, in prima analisi, una caratteristica strutturale degli intervalli (e più in generale degli insiemi) che è la distinzione tra aperto/chiuso.

 

Un esempio: se consideriamo l'intervallo [-2,5], questi è limitato e chiuso. Vediamo perchè.

 

 

Intervalli limitati e intervalli illimitati

 

Partiamo dalla definizione: diciamo che I\subseteq{R} è un intervallo limitato se entrambi gli estremi sono valori finiti, ossia se gli estremi sono valori reali x_1,x_2\in\mathbb{R}. Diciamo invece che I è un intervallo illimitato se almeno uno dei due estremi è -\infty (nel caso dell'estremo sinistro) oppure +\infty  (nel caso dell'estremo destro).

 

Se in particolare abbiamo a che fare con un intervallo illimitato, possiamo essere più precisi. Sia c un numero reale. Possiamo specificare che:

 

- se un intervallo ha estremo sinistro c ed estremo destro +\infty , è illimitato superiormente;

 

- se un intervallo ha estremo sinistro -\infty ed estremo destro c, è illimitato inferiormente;

 

- se un intervallo ha estremo sinistro -\infty ed estremo destro +\infty, è illimitato sia inferiormente che superiormente (o semplicemente illimitato).

 

Ad esempio: l'intervallo [2,3) è limitato, (2,+\infty) è superiormente illimitato, (-\infty,1000) è inferiormente illimitato. Gli ultimi due di questi sono chiaramente intervalli illimitati.

 

In realtà la limitatezza andrebbe definita in un modo più generico: si noti che la definizione appena data si adatta bene agli intervalli ma non ad insiemi qualsiasi di \mathbb{R}. Niente paura, ce ne occuperemo nelle lezioni seguenti. ;)

 

Intervalli aperti a sinistra/a destra e intervalli chiusi a sinistra/destra

 

Passiamo a considerare il secondo aspetto che può caratterizzare gli intervalli. Anche in questo caso trattiamo il discorso da un punto di vista specifico senza dare definizioni che si possono riferire agli insiemi reali in generale.

 

Attenzione: la nomenclatura che stiamo per introdurre si riferisce esclusivamente agli intervalli e verrà ampliata quando introdurremo il concetto di insieme aperto e chiuso. Se siete in fase di ripasso leggete bene e non traetene conclusioni affrettate.

 

Definizione (intervallo chiuso a sinistra/a destra o aperto a sinistra/a destra)

 

Sia I\subseteq\mathbb{R} un intervallo limitato.

 

I si dice chiuso a sinistra se l'estremo sinistro è un valore finito e se è incluso, aperto a sinistra se l'estremo sinistro è un valore finito e se è escluso.

 

I si dice chiuso a destra se l'estremo destro è un valore finito e se è incluso, aperto a destra se l'estremo destro è un valore finito e se è escluso.

 

Possibili intervalli

 

Sulla base delle definizioni precedenti possiamo stilare un piccolo "catalogo" degli intervalli reali che si possono incontrare in Analisi. Siano a,b due numeri reali finiti.

 

(a,b) è un intervallo limitato aperto a sinistra e a destra;

 

[a,b] è un intervallo limitato chiuso a sinistra e a destra;

 

[a,b) è un intervallo limitato chiuso a sinistra e aperto a destra;

 

(a,b] è un intervallo limitato aperto a sinistra e chiuso a destra;

 

(-\infty,b) è un intervallo illimitato inferiormente e aperto a destra;

 

(-\infty,b] è un intervallo illimitato inferiormente e chiuso a destra;

 

(a,+\infty) è un intervallo illimitato superiormente e aperto a sinistra;

 

[a,+\infty) è un intervallo illimitato superiormente e chiuso a sinistra;

 

(-\infty,+\infty) è un intervallo illimitato sia inferiormente che superiormente.

 

 


 

Fermiamoci qui. Nella lezione successiva inizieremo a fare sul serio introducendo le nozioni di sup e inf, per il resto non dimenticate che qui su YM potete trovare migliaia di esercizi e risorse facendo buon uso della barra di ricerca interna. ;)

 

 

وداعا, see you soon guys!

Agente Ω

 

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