Intervalli e insiemi reali

In questa lezione introduciamo alcune nozioni di fondamentale importanza, che ci accompagneranno costantemente nello studio dell'Analisi Matematica. Partendo dalla definizione di intervallo di numeri reali analizzeremo i possibili tipi di sottoinsiemi reali in cui possiamo imbatterci lavorando in \mathbb{R}.

 

Ovviamente per procedere è bene aver studiato e ricordare le nozioni di insiemistica che abbiamo studiato sin da piccoli, nonché la lezione in cui abbiamo spiegato cosa sono i numeri reali. ;)

 
 
 

Definizione di intervallo di numeri reali

 

Intuitivamente un intervallo I è un sottoinsieme di \mathbb{R} costituito da un continuo di punti, e per definirlo sono sufficienti due soli numeri reali, siano essi x_1,x_2, che chiameremo estremi dell'intervallo.

 

A parole possiamo definire un intervallo di estremi x_1,x_2 come il sottoinsieme di numeri reali compresi tra gli estremi x_1,x_2. Questa definizione risulterebbe però imprecisa e incompleta, per cui è molto meglio esprimersi sin da subito in termini rigorosi.

 

 

Definizione (intervallo di numeri reali) 

 

Diciamo che I\subseteq\mathbb{R} è un intervallo se è un sottoinsieme di \mathbb{R} di uno dei seguenti tipi:

 

1) insieme dei numeri reali compresi tra due numeri reali x_1,x_2\in\mathbb{R}, dove x_1\leq x_2, con estremi inclusi o esclusi

 

\\ \{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x_1\leq x\leq x_2\}\\ \\ \{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x_1\leq x<x_2\}\\ \\ \{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x_1<x\leq x_2\}\\ \\ \{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x_1<x< x_2\}

 

2) insieme dei numeri reali minori (o minori e al più uguali) di un numero reale x_1\in\mathbb{R}, o insieme dei numeri reali maggiori (o maggiori e al meno uguali) di un numero reale x_2\in\mathbb{R} 

 

\\ \{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x<x_1\}\\ \\ \{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x\leq x_1\}\\ \\ \{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x>x_2\}\\ \\ \{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x\geq x_2\}

 

3) \mathbb{R} stesso.

 

Ad eccezione del terzo caso, si nota facilmente che gli estremi di un intervallo (detti estremo sinistro ed estremo destro) possono essere inclusi o esclusi dall'intervallo stesso. Per ciascuno dei casi previsti dalla definizione è molto utile introdurre una notazione che sia comoda e che permetta di indicare i generici tipi di intervalli.

 

Cosa basta per classificare un intervallo? A bene vedere è sufficiente conoscere gli estremi di un intervallo per poterlo descrivere in modo univoco.

 

Negli intervalli del tipo 1) non dobbiamo fare altro che conoscere gli estremi sinistro x_1 e destro x_2

 

Per gli intervalli del tipo 2) abbiamo un solo estremo. Al fine di uniformare le notazioni si definisce l'estremo mancante come estremo infinito specificando il segno: in sostanza si finge che -\infty e +\infty siano numeri reali e si definiscono le scritture

 

\\ x<x_1\ \ \ \to\ \ \ -\infty<x<x_1\\ \\ x\leq x_1\ \ \ \to\ \ \ -\infty<x\leq x_1\\ \\ x>x_1\ \ \ \to\ \ \ x_1<x<+\infty\\ \\ x\geq x_1\ \ \ \to\ \ \ x_1\leq x<+\infty

 

Si noti che tale stratagemma ci permette di adottare la notazione anche al caso 3), in cui come intervallo si considera tutto l'insieme dei numeri reali \mathbb{R}

 

-\infty<x<+\infty

 

Con queste premesse possiamo introdurre una notazione degli intervalli che ci permette di indicare un qualsiasi intervallo in modo comodo e veloce, e che inoltre ci consentirà di capire al volo se gli estremi coinvolti sono inclusi o esclusi. A questo proposito indicheremo un intervallo qualsiasi in una delle seguenti forme

 

\\ (\mbox{Estremo sinistro},\mbox{Estremo destro})\\ \\ \quad [\mbox{Estremo sinistro},\mbox{Estremo destro})\\ \\ (\mbox{Estremo sinistro},\mbox{Estremo destro}]\\ \\ \quad[\mbox{Estremo sinistro},\mbox{Estremo destro}]

 

ossia racchiudendo gli estremi tra due parentesi e separandoli con una virgola. Per indicare l'inclusione dell'estremo useremo una parentesi quadra; per indicare l'esclusione dell'estremo ci affideremo a una parentesi tonda.

 

Per prendere confidenza con la notazione degli intervalli vale la pena di riscrivere gli intervalli del tipo 1), 2), 3) con la simbologia che abbiamo introdotto. Ribadiamo che la notazione degli intervalli è tale per definizione e per rimarcare questo fatto useremo il simbolo :=, che per l'appunto ha il significato di uguale per definizione.

 

1) 

 

\\ \quad [x_1,x_2]:=\{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x_1\leq x\leq x_2\}\\ \\ \quad[x_1,x_2):=\{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x_1\leq x<x_2\}\\ \\ (x_1,x_2]:=\{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x_1<x\leq x_2\}\\ \\ (x_1,x_2):=\{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x_1<x< x_2\}

 

2) 

 

\\ (-\infty,x_1):=\{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x<x_1\}\\ \\ (-\infty,x_1]:=\{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x\leq x_1\}\\ \\ (x_2,+\infty):=\{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x>x_2\}\\ \\ \quad[x_2,+\infty):=\{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ x\geq x_2\}

 

3) 

 

(-\infty,+\infty):=\mathbb{R}

 

Come potete notare in qualsiasi caso considerato il simbolo di infinito non può essere accompagnato dalla parentesi di inclusione, poiché \pm\infty non sono numeri reali.

 

Tipi di insiemi reali

 

Ora che abbiamo definito il principe degli insiemi reali - il concetto di intervallo - vi proponiamo una rapida rassegna delle varie tipologie di sottoinsiemi che si possono considerare in \mathbb{R}.

 

A) Insieme vuoto

 

Dovunque ci sia un insieme universo (e per noi è U=\mathbb{R}), c'è sempre l'insieme vuoto. E vi diremo di più: l'insieme vuoto

 

\emptyset\subset\mathbb{R}

 

può essere rappresentato in infiniti modi mediante la notazione degli intervalli. In altri termini, l'insieme vuoto nell'insieme dei numeri reali è un intervallo e, considerando un valore a\in\mathbb{R}, possiamo descriverlo in una delle seguenti forme:

 

(a,a)\ \ \ ;\ \ \ [a,a)\ \ \ ;\ \ \ (a,a]

 

Riprendendo fedelmente le definizioni date in precedenza si capisce che ciascuno di tali intervalli è privo di elementi, dunque ognuno di essi denota l'insieme vuoto.

 

 

B) Insieme costituito da un solo punto (singleton, o singoletto)

 

Un altro tipo di insieme reale particolare è quello costituito da un singolo numero reale, talvolta chiamato singleton o con il terribile termine italiano singoletto.

 

Comunque si scelga un numero reale a\in\mathbb{R}, l'insieme costituito dal solo elemento a

 

\{a\}

 

è a sua volta un intervallo, infatti può essere espresso nella forma

 

[a,a]=\{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.}\ a\leq x\leq a\}

 

e si suol dire in gergo che un punto (reale) è un intervallo con estremi inclusi e coincidenti, dove il termine punto è semplicemente un sinonimo di valore reale.

 

 

C) Insiemi costituiti da un numero finito di numeri reali

 

Vale a dire gli insiemi costituiti da N elementi reali, dove N\in\mathbb{N} è un numero naturale.

 

In questa categoria rientrano ovviamente l'insieme vuoto (insieme con zero elementi), i singleton (insiemi con un elemento) e qualsiasi insieme costituito da un numero finito di elementi, come ad esempio

 

\left\{1,\frac{1}{2},\sqrt{2}\right\}

 

In termini più generici

 

\{a_i\in\mathbb{R}\ \mbox{ t.c.}\ \ i=1,...,N\ \ \mbox{ dove }N\in\mathbb{N}\}

 

Poiché un insieme finito con N elementi può essere espresso come unione di N insiemi costituiti da un solo elemento, ne consegue che ogni insieme costituito da un numero finito di elementi può essere espresso come unione di un numero finito di intervalli (unione finita di intervalli).

 

 

D) Insiemi costituiti da un numero infinito di elementi 

 

Qui può succedere di tutto. Possiamo avere a che fare con:

 

- intervalli (con estremi non coincidenti), come ad esempio [1,2) oppure \mathbb{R}

 

oppure

 

- insiemi che sono costituiti da un numero infinito di elementi e che non sono esprimibili sotto forma di un unico intervallo, come ad esempio \mathbb{N} (insieme dei numeri naturali), \mathbb{Z} (insieme dei numeri relativi), \mathbb{Q} (insieme dei numeri razionali) e \mathbb{I} (insieme dei numeri irrazionali).

 

Importanza degli intervalli in Analisi Matematica

 

Abbiamo scritto che la nozione di intervallo funge da protagonista nello studio dell'Analisi Matematica, ma qual è il vero senso di tale affermazione?

 

Con gli intervalli si possono costruire moltissimi dei sottoinsiemi di numeri reali, ad esempio si possono considerare le unioni e le intersezioni di un numero finito di intervalli. In questo modo si riesce a individuare un ingente numero sottoinsiemi reali che però non esauriscono tutti i possibili sottoinsiemi di \mathbb{R}.

 

Per il 90% delle persone che nei loro studi, scolastici od universitari, hanno a che fare con la Matematica, l'Analisi si limita sostanzialmente ai sottoinsiemi che si ottengono in questo modo. I matematici invece si occupano della trattazione dei sottoinsiemi di \mathbb{R} in modo più approfondito in due diversi campi di studio: la Topologia e la Teoria della Misura, di cui però non ci occupiamo in questa sede.

 

Unione di intervalli

 

Le operazioni insiemistiche vengono applicate agli intervalli esattamente come a qualsiasi altro insieme. Da un punto di vista didattico riteniamo poco utile soffermarci ad analizzarle una ad una nel caso degli intervalli, mentre riteniamo ben più utile proporre un paio di osservazioni che tendono a trarre in inganno gli studenti.

 

In primo luogo è importante notare che l'unione di due intervalli non è necessariamente un intervallo. Ad esempio

 

(0,1)\cup [1,2)= (0,2)

 

è un intervallo, mentre

 

\\ \quad [0,1]\cup [2,3]\\ \\ (0,1)\cup (1,2)

 

non sono intervalli. A proposito dell'ultimissimo esempio vi facciamo notare che l'unione tra due intervalli della forma

 

(a,b)\cup (b,c)

 

è, indipendentemente dagli estremi a,c, un'ottima notazione per escludere il punto b dall'intervallo (a,c)

 

(a,c)-\{b\}=(a,b)\cup (b,c)

 

dove il simbolo - denota l'usuale differenza insiemistica. Non sottovalutate mai questo tipo di scrittura perché ritornerà a più riprese nel contesto delle funzioni reali di variabile reale.

 

 


 

Con questo è tutto. In una delle lezioni successive catalogheremo le varie tipologie di intervalli di numeri reali e parleremo di intervalli aperti, chiusi, limitati e illimitati.

 

Abbiamo una piccola base grazie alla quale potremo definire gli strumenti principali che si utilizzano nell'Analisi Matematica. Continuate a leggere le nostre lezioni e ricordate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Adjö, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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