Densità di Q in R

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La densità di Q in R è una proprietà che caratterizza l'insieme dei numeri razionali inteso come sottoinsieme dei numeri reali, per la quale comunque scelti due valori reali esiste sempre un numero razionale compreso tra essi.

L'insieme dei numeri razionali è il protagonista indiscusso di questa lezione (rivolta ai soli studenti universitari), o meglio: qui vi presenteremo una proprietà veramente particolare che, tra gli insiemi numerici notevoli, contraddistingue esclusivamente l'insieme Q e che lo caratterizza come sottoinsieme dei numeri reali.

Per cominciare partiremo da un paio di presupposti - la proprietà archimedea dei numeri reali e la nozione di insieme denso in un altro - dopodiché mostreremo che l'insieme Q è denso in R e ci concentreremo sulle principali conseguenze di tale proprietà.

Premesse per la densità di Q in R

Se avete letto le precedenti lezioni e i relativi approfondimenti avrete certamente intuito che gli insiemi numerici hanno proprietà ben distinte tra loro: $\mathbb{N}\mbox{ e }\mathbb{Z}$ ad esempio sono insiemi numerabili e sono insiemi discreti, $\mathbb{R}$ è un insieme continuo e ha la potenza del continuo. Che dire a proposito di $\mathbb{Q}?$

Sappiamo già che l'insieme dei razionali è un insieme numerabile, ma non ci siamo mai espressi in merito alle proprietà dei punti che lo costituiscono: i punti di $\mathbb{Q}$ sono isolati o di accumulazione? Qual è la frontiera di $\mathbb{Q}$ , e quali sono i suoi punti interni e quelli esterni in $\mathbb{R}?$

La proprietà che ci accingiamo ad introdurre caratterizza $\mathbb{Q}$ come un vero e proprio unicum tra tutti i possibili sottoinsiemi reali, ma prima di arrivarci ci servono un paio di prerequisiti...

Proprietà archimedea dei numeri reali (assioma di Archimede)

Dati due numeri reali positivi esiste un numero naturale $n\in\mathbb{N}$ tale che .

In simboli:

$\forall a,b\in\mathbb{R}\mbox{ con }a>0,\ b>0,\ \exists n\in\mathbb{N}\ \mbox{t.c.}\ na>b$

Chiunque fosse interessato alla dimostrazione dell'assioma di Archimede può leggerne una versione nella pagina del link. La proprietà archimedea, di cui avevamo già accennato nella lezione introduttiva sui numeri reali, garantisce che comunque si scelgano due numeri reali positivi è sempre possibile trovare un intero positivo in modo che il prodotto tra il primo e l'intero sia maggiore del secondo valore reale.

Si noti che l'enunciato non impone alcuna relazione tra per questioni di eleganza: se esisterà un opportuno intero positivo che soddisfa la proprietà, se invece $a\geq b$ bastera scegliere un qualsiasi .

Definizione di insieme denso in un altro insieme (in ℝ)

In uno dei vari approfondimenti presenti su YouMath forniamo una definizione di insieme denso in un altro nei termini più generali possibili, ma qui preferiamo contestualizzare il discorso al caso dei numeri reali.

Diciamo quindi che un insieme $E\subseteq\mathbb{R}$ è denso in $\mathbb{R}$ se per ogni $x_0\in\mathbb{R}$ e se per ogni $\varepsilon>0$ esiste almeno un elemento dell'insieme che cade nell'intorno di di raggio $\varepsilon$ .

In simboli:

$\forall x_0\in\mathbb{R},\ \forall\varepsilon>0\ \exists y\in E\mbox{ t.c. }y\in B(x_0,\varepsilon)$

Si noti che la proprietà di densità è molto particolare: essa richiede che per ogni numero reale, comunque se ne consideri un intorno, deve esistere almeno un elemento dell'insieme che appartiene all'intorno scelto centrato nel numero reale scelto.

La scelta dell'aggettivo denso non è del tutto casuale e richiama in un certo modo l'usuale concetto di densità fisica cui siamo abituati nella vita di tutti i giorni. Per esprimere la definizione in altri termini possiamo dire che è denso in $\mathbb{R}$ se per ogni numero reale possiamo trovare un elemento di indefinitamente vicino ad esso.

C'è anche un'altra definizione equivalente di insieme denso in $\mathbb{R}$ : diciamo che è denso in $\mathbb{R}$ se ogni elemento di appartiene ad oppure è un punto di accumulazione di .

In altre parole, è denso in $\mathbb{R}$ se $\mathbb{R}$ è l'insieme dei punti di aderenza di .

Ancora, ancora: un'ulteriore definizione equivalente di insieme denso in $\mathbb{R}$ , piuttosto ovvia, stabilisce che è denso in $\mathbb{R}$ se la chiusura di coincide con $\mathbb{R}$

$E\mbox{ denso in }\mathbb{R}\mbox{ se }\overline{E}=\mathbb{R}$

Q è denso in R

Siamo arrivati al nocciolo della questione: siamo pronti per scrivere l'enunciato relativo alla densità di in $\mathbb{R}$ , e nel farlo coglieremo l'occasione per proporne un'ulteriore formulazione equivalente che sfrutta la proprietà di ordinamento dei numeri reali:

Enunciato (densità di Q in R)

Siano due numeri reali con . Esiste $q\in \mathbb{Q}$ tale che . In sintesi $\mathbb{Q}$ è denso in $\mathbb{R}$ .

Dimostrazione della densità di Q in R

La dimostrazione non è affatto immediata ed è facoltativa per gli studenti che affrontano corsi di Matematica non eccessivamente approfonditi.

L'idea della dimostrazione prevede di costruire esplicitamente il razionale che realizza la tesi. Per provare l'asserto procederemo distinguendo tre casi, in modo da alleggerire l'impianto dimostrativo:

$\\ 1)\ 0<x<y\\ \\ 2)\ x<0<y\\ \\ 3)\ x<y<0$

1) Dimostriamo l'asserto nel caso .

Se consideriamo i numeri per l'assioma di Archimede esiste un numero naturale $n\in\mathbb{N}$ tale che

$n(y-x)>1\ \ \ (\bullet)$

Applichiamo nuovamente l'assioma di Archimede, considerando in questo caso $\frac{1}{n},x$ . Esisterà dunque un $\overline{k}\in\mathbb{N}$ per cui

$\overline{k}\cdot \frac{1}{n}\geq x$

dove abbiamo potuto scrivere $\geq$ e non perché si tratta di una condizione meno restrittiva. Considerando un qualsiasi numero naturale $k>\overline{k}$ , segue banalmente che

$\frac{k}{n}>x\ \ \ \mbox{per }k>\overline{k}$

Ora ragioniamo sui numeri naturali che non soddisfano la precedente relazione, e consideriamo il loro massimo

$K=\mbox{Max}\left\{k\in\mathbb{N}\ :\ \frac{k}{n}\leq x\right\}$

Con queste premesse è facile vedere che vale la doppia disuguaglianza

$\frac{K}{n}\leq x< \frac{K+1}{n}\ \ \ (\bullet\bullet)$

Ci siamo quasi: non dobbiamo fare altro che dimostrare che è strettamente maggiore del termine di destra per avere la tesi, perché in questo modo avremo trovato il numero razionale richiesto: $q=\frac{K+1}{n}\in\mathbb{Q}$ .

$\\ x<\frac{K+1}{n}=\mbox{ dividiamo termine a termine}\\ \\ \\ =\frac{K}{n}+\frac{1}{n}<\mbox{ usiamo }(\bullet) \\ \\ \\ <\frac{K}{n}+(y-x)\leq \mbox{ usiamo }(\bullet\bullet)\\ \\ \\ \leq x+(y-x)=y$

Notiamo che la presenza di una disuguaglianza stretta fa sì che la disuguaglianza complessiva sia stretta. Abbiamo finito, perché abbiamo trovato il numero razionale compreso tra :

$x<\frac{K+1}{n}<y$

2) Banale: se basterà prendere .

3) Il caso si riconduce facilmente a 1) osservando che

per cui esiste $q\in\mathbb{Q}$ tale che

da cui consegue che

dove ovviamente $-q\in\mathbb{Q}$ .

Conseguenze della densità di Q in R e proprietà di Q in R

La proprietà di densità dell'insieme dei razionali nei reali è a dir poco strabiliante, perché colloca l'insieme $\mathbb{Q}$ in una dimensione a sé stante. Cerchiamo di capirne il motivo analizzando in modo certosino le caratteristiche topologiche di $\mathbb{Q}$

A) Ogni elemento di $\mathbb{Q}$ è un punto di accumulazione di $\mathbb{Q}$

Per capirlo basta osservare che $\forall q\in \mathbb{Q}$ , per ogni intorno completo di esiste un razionale $\overline{q}\neq q$ che cade nell'intorno. Basti pensare agli elementi della forma

$q+\frac{1}{n}\ \ \ \mbox{con }n\in\mathbb{N}$

Essi sono tutti razionali, sono tutti diversi da e al crescere di si avvicinano indefinitamente a .

Ciò fa sì che $\mathbb{Q}$ non sia un insieme discreto (ossia un insieme costituito da soli punti isolati, come $\mathbb{N}\mbox{ e }\mathbb{Z}$ ), pur essendo numerabile!

B) Dalla proprietà A) segue automaticamente che $\mathbb{Q}$ è privo di punti isolati.

C) I punti di $\mathbb{Q}$ non sono tutti e soli i punti di accumulazione di $\mathbb{Q}$ . $\mathbb{R}$ è l'insieme di tutti e soli i punti di accumulazione di $\mathbb{Q}$ .

Questa proprietà discende direttamente dalla densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ (dando per assodata l'equivalenza delle precedenti definizioni), da cui consegue che la chiusura di $\mathbb{Q}$ è proprio $\mathbb{R}$

$\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$

Tra l'altro, fermo restando che in generale chiusura di un insieme e derivato di un insieme sono concetti ben distinti $(\overline{E}=E\cup E')$ , nel caso di $\mathbb{Q}$ capita che

$\mathbb{Q}'=\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$

proprio perché $\mathbb{Q}$ è sprovvisto di punti isolati.

D'altronde ci sono altri strade algebriche che si possono percorrere per dimostrare che i numeri irrazionali sono punti di accumulazione di $\mathbb{Q}$ che non appartengono a $\mathbb{Q}$ , ma il discorso si farebbe piuttosto complesso ed esulerebbe dagli scopi di questa categoria di lezioni. Tempo al tempo. ;)

D) A titolo di cronaca (l'argomento è avanzato e valgono considerazioni di difficoltà analoghe alle precedenti) si può dimostrare che anche l'insieme dei numeri irrazionali $\mathbb{I}$ è denso in $\mathbb{R}$ .

E) Tutti i punti di $\mathbb{Q}$ sono punti di frontiera di $\mathbb{Q}$ , di conseguenza $\mathbb{Q}$ è privo di punti interni e punti esterni.

Per capirlo basta appellarsi alla proprietà di densità di $\mathbb{Q}$ e di $\mathbb{I}$ in $\mathbb{R}$ : comunque scegliamo un razionale, ogni suo intorno completo contiene almeno un numero razionale (il centro stesso) e un numero irrazionale.

Nella verifica della validità di tale proprietà vi basti osservare che, nell'enunciato di densità del teorema dimostrato in precedenza, possono essere all'occorrenza numeri razionali oppure numeri irrazionali. ;)

F) Tutti e soli i punti di frontiera di $\mathbb{Q}$ sono tutti e soli i punti di $\mathbb{R}$ .

Per tale proprietà valgono considerazioni analoghe a quelle proposte in E).

Bene, è tutto! Con questo avete una buona infarinatura che può soddisfare i curiosi (=chi non frequenta la facoltà di Matematica) e che verrà approfondita nel seguito dagli aspiranti matematici (=chi frequenta Matematica all'università :P ). Come al solito ricordatevi che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e di risposte dello Staff, potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

להתראות, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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