Insieme compatto

Un insieme compatto in ℝ (in ℝn) è un insieme per il quale, da ogni ricoprimento aperto, è possibile estrarre un sottoricoprimento finito. In modo equivalente e in forza del teorema di Heine-Borel, un insieme in ℝ (in ℝn) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

 

La lezione che vi accingete a leggere è un caposaldo dello studio dell'Analisi Matematica nei corsi universitari. Qui di seguito spiegheremo a grandi linee la definizione di insieme compatto di numeri reali partendo dai concetti che permettono di scriverla. Inizialmente la proprietà di compattezza vi sembrerà astratta e sostanzialmente inutile, ma abbiate fiducia: giungeremo ad un'importante caratterizzazione grazie alla quale la compattezza di un insieme reale equivarrà alla chiusura e alla limitatezza.

 

Non ci fermeremo qui. Questa lezione fa capo alla sezione dedicata ai numeri reali, ma già che siamo in ballo vogliamo darvi un piccolo antipasto di Analisi 2 e qualche anticipazione sulla nozione di compattezza di un insieme in \mathbb{R}^n e nello specifico in \mathbb{R}^2 (piano cartesiano).

 
 
 

Prerequisiti per la definizione di insieme compatto

 

Per poter introdurre la definizione di insieme compatto A\subseteq\mathbb{R} ci servono due prerequisiti: la nozione di ricoprimento aperto di un insieme e quella di sottoricoprimento finito.

 

 

Definizione (ricoprimento aperto di un insieme)

 

Sia E\subseteq\mathbb{R}. Chiamiamo ricoprimento aperto dell'insieme E una qualsiasi famiglia di insiemi aperti \{A_i\}_{i\in I}, con un numero finito di elementi o eventualmente con una quantità numerabile di elementi, la cui unione contiene l'insieme E.

 

In simboli:

 

\\ \{A_i\}_{i\in I}\mbox{ ricoprimento aperto di }E\\ \\ \mbox{se }\forall i\in I\ A_i\mbox{ aperto},\ E\subseteq\bigcup_{i\in I}A_i

 

Niente di complicato: ci limitiamo a farvi notare che un ricoprimento aperto di un insieme è semplicemente una collezione di insiemi aperti la cui unione ricopre l'insieme stesso. Il nome aiuta parecchio. ;)

 

D'altro canto nella definizione abbiamo catalogato gli aperti mediante un indice i\in I usato per contarne gli elementi, e abbiamo richiesto che ci sia un numero finito di indici o eventualmente una quantità numerabile di indici.

 

 

Definizione (sottoricoprimento finito)

 

Dato un ricoprimento aperto \{A_i\}_{i\in I} di un insieme E chiamiamo sottoricoprimento finito dell'insieme E una qualsiasi sottofamiglia di insiemi aperti \{A_i\}_{i\in J} costituita da un numero finito di elementi la cui unione contiene l'insieme E.

 

In simboli:

 

\\ \mbox{data }\{A_i\}_{i\in I}\ \Rightarrow\ \{A_i\}_{i\in J}\mbox{ sottoricoprimento finito di }E\\ \\ \mbox{se }J\subset I,\ |J|<+\infty,\ \forall i\in J\ A_i\mbox{ aperto},\ E\subseteq\bigcup_{i\in J}A_i

 

Anche questa definizione non è poi così inaccessibile: basta non farsi spaventare dal linguaggio simbolico. Un sottoricoprimento aperto di un insieme è semplicemente una sottofamiglia di un ricoprimento aperto dell'insieme, deve essere costituita da un numero finito di insiemi aperti e ovviamente deve essere in grado di ricoprire l'insieme tramite unione. Altrimenti che razza di sottoricoprimento sarebbe? :)

 

Definizione di insieme compatto

 

Ci siamo: abbiamo tutto quello che ci serve per scrivere la definizione di insieme compatto in \mathbb{R}.

 

 

Definizione (insieme compatto)

 

Diciamo che E\subseteq\mathbb{R} è compatto se da ogni ricoprimento aperto di E è possibile estrarre un sottoricoprimento finito di E.

 

Questa definizione di insieme compatto è estremamente teorica e tende ad emozionare solamente chi ha studiato la Topologia alla facoltà di Matematica. Purtroppo in tutti gli altri corsi la tendenza è quella di appioppare come definizione quella che in realtà è una caratterizzazione degli insiemi compatti in \mathbb{R} o più in generale in \mathbb{R}^n.

 

Da parte nostra riteniamo più corretto partire dalle basi e trasmettervi il vero quadro che si ammira alla facoltà di Matematica, anche perché le definizioni scritte fin qui sembreranno pure astratte, ma non sono poi così complicate. ;)

 

Per inciso la definizione di insieme compatto scritta in precedenza non vale solamente in \mathbb{R}, bensì anche in \mathbb{R}^n con le dovute modifiche del caso. La logica resta sempre la stessa: da ogni possibile ricoprimento aperto dell'insieme deve essere possibile estrarre un sottoricoprimento finito dell'insieme.

 

Caratterizzazione degli insiemi compatti in ℝ (in ℝn): teorema di Heine-Borel

 

Non vogliamo dilungarci più di tanto sulle considerazioni teoriche relative a compattezza e ricoprimenti. Vogliamo piuttosto passare dritti al punto che interesserà la maggior parte degli studenti dei corsi universitari di Analisi Matematica, vale a dire il seguente teorema.

 

 

Teorema di Heine-Borel

 

Un qualsiasi insieme di \mathbb{R} è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Lo stesso dicasi per qualsiasi insieme di \mathbb{R}^2 e di \mathbb{R}^3 e, più in generale, per qualsiasi insieme di \mathbb{R}^n.

 

Teniamo a precisare che la caratterizzazione degli insiemi compatti come tutti e soli i chiusi e limitati di \mathbb{R} (di \mathbb{R}^n) ha una dimostrazione estremamente tecnica, che dunque preferiamo omettere per l'eterogeneità dei nostri lettori, e che ha un'importanza esagerata ad ogni livello dell'Analisi Matematica.

 

Indipendentemente che studiate Analisi 1, Analisi 2 o Analisi 49, e a prescindere che vi serva solamente sapere il significato della compattezza di un insieme reale, d'ora in avanti vi capiterà di sentir parlare di insiemi compatti a più riprese. Come piccolo retroscena sappiate che il teorema di Heine-Borel è uno dei più importanti tramiti tra il mondo della Topologia - un mondo sommerso per la maggior parte degli studenti - e quello dell'Analisi, perché permette di tradurre in una forma più accessibile tantissimi teoremi altrimenti incomprensibili nella loro forma originaria.

 

Esempi di insiemi compatti in ℝ (e in ℝ2)

 

Riguardo all'importanza della nozione di compattezza per il momento potete solo fidarvi: la scoprirete solo vivendo studiando. ;) Qui ci limitiamo a mostrarvi quanto sia utile il teorema di Heine-Borel. Come avrete certamente intuito, la verifica manuale mediante ricoprimenti e sottoricoprimento non è una passeggiata.

 

 

1) Insiemi compatti in \mathbb{R} 

 

A_1=[-5,2] \cup [3,120]

 

è compatto. Infatti è (ovviamente) limitato, ed è chiuso poiché formato dall'unione di due chiusi.

 

A_2=(-3,2) \cup (2,12)

 

non è compatto in quanto, benché sia limitato, non è chiuso.

 

 

2) Insiemi compatti in \mathbb{R}^n 

 

Brevi e semplici anticipazioni. In \mathbb{R}^n un insieme si dice:

 

- limitato: se esiste almeno una palla centrata nell'origine con raggio finito tale da contenere tutto l'insieme;

 

- chiuso: se il suo bordo (frontiera) appartiene all'insieme stesso.

 

Con tali premesse:

 

 

A_1=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2+y^2 \le 4\}

 

individua un cerchio nel piano cartesiano (soluzioni di una disequazione nel piano) ed è un insieme compatto. Abbiamo infatti a che fare con un cerchio (parte interna di una circonferenza di centro l'origine e raggio 2) che include la frontiera.

 

 

A_2=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ y-2x^2+4x+3 \le 0 \}

 

non è compatto perché, pur essendo chiuso, non è limitato. Esso corrisponde alla parte di piano sottostante la curva di equazione y=2x^2-4x-3, la quale rappresenta una parabola con vertice (1;-5) e rivolta verso l'alto.

 

 

A_3=\{(x,y) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x^2+y^2+z^2 < 1 \}

 

non è compatto, infatti anche se limitato (si tratta della parte di spazio limitata da un ellissoide reale) non è chiuso in quanto non contiene la frontiera.

 

 


 

Può bastare. :) Vi salutiamo con la nostra usuale raccomandazione: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e di risposte dello Staff, potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Kwaheri, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente


Tags: definizione di insieme compatto e teorema di Heine-Borel per la compattezza in R, in R^2, in R^3 e in R^n.