Insieme compatto

Un insieme compatto in ℝ (in ℝn) è un insieme per il quale, da ogni ricoprimento aperto, è possibile estrarre un sottoricoprimento finito. In modo equivalente e in forza del teorema di Heine-Borel, un insieme in ℝ (in ℝn) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

La lezione che vi accingete a leggere è un caposaldo dello studio dell'Analisi Matematica nei corsi universitari. Qui di seguito spiegheremo a grandi linee la definizione di insieme compatto di numeri reali partendo dai concetti che permettono di scriverla. Inizialmente la proprietà di compattezza vi sembrerà astratta e sostanzialmente inutile, ma abbiate fiducia: giungeremo ad un'importante caratterizzazione grazie alla quale la compattezza di un insieme reale equivarrà alla chiusura e alla limitatezza.

Non ci fermeremo qui. Questa lezione fa capo alla sezione dedicata ai numeri reali, ma già che siamo in ballo vogliamo darvi un piccolo antipasto di Analisi 2 e qualche anticipazione sulla nozione di compattezza di un insieme in R^n e nello specifico in R^2 (piano cartesiano).

Prerequisiti per la definizione di insieme compatto

Per poter introdurre la definizione di insieme compatto A ⊆ R ci servono due prerequisiti: la nozione di ricoprimento aperto di un insieme e quella di sottoricoprimento finito.

Definizione (ricoprimento aperto di un insieme)

Sia E ⊆ R. Chiamiamo ricoprimento aperto dell'insieme E una qualsiasi famiglia di insiemi aperti A_i_(i∈ I), con un numero finito di elementi o eventualmente con una quantità numerabile di elementi, la cui unione contiene l'insieme E.

In simboli:

A_i_(i∈ I) ricoprimento aperto di E ; se ∀ i∈ I A_i aperto, E ⊆ U _(i∈ I)A_i

Niente di complicato: ci limitiamo a farvi notare che un ricoprimento aperto di un insieme è semplicemente una collezione di insiemi aperti la cui unione ricopre l'insieme stesso. Il nome aiuta parecchio. ;)

D'altro canto nella definizione abbiamo catalogato gli aperti mediante un indice i∈ I usato per contarne gli elementi, e abbiamo richiesto che ci sia un numero finito di indici o eventualmente una quantità numerabile di indici.

Definizione (sottoricoprimento finito)

Dato un ricoprimento aperto A_i_(i∈ I) di un insieme E chiamiamo sottoricoprimento finito dell'insieme E una qualsiasi sottofamiglia di insiemi aperti A_i_(i∈ J) costituita da un numero finito di elementi la cui unione contiene l'insieme E.

In simboli:

data A_i_(i∈ I) ⇒ A_i_(i∈ J) sottoricoprimento finito di E ; se J ⊂ I, |J| < +∞, ∀ i∈ J A_i aperto, E ⊆ U _(i∈ J)A_i

Anche questa definizione non è poi così inaccessibile: basta non farsi spaventare dal linguaggio simbolico. Un sottoricoprimento aperto di un insieme è semplicemente una sottofamiglia di un ricoprimento aperto dell'insieme, deve essere costituita da un numero finito di insiemi aperti e ovviamente deve essere in grado di ricoprire l'insieme tramite unione. Altrimenti che razza di sottoricoprimento sarebbe? :)

Definizione di insieme compatto

Ci siamo: abbiamo tutto quello che ci serve per scrivere la definizione di insieme compatto in R.

Definizione (insieme compatto)

Diciamo che E ⊆ R è compatto se da ogni ricoprimento aperto di E è possibile estrarre un sottoricoprimento finito di E.

Questa definizione di insieme compatto è estremamente teorica e tende ad emozionare solamente chi ha studiato la Topologia alla facoltà di Matematica. Purtroppo in tutti gli altri corsi la tendenza è quella di appioppare come definizione quella che in realtà è una caratterizzazione degli insiemi compatti in R o più in generale in R^n.

Da parte nostra riteniamo più corretto partire dalle basi e trasmettervi il vero quadro che si ammira alla facoltà di Matematica, anche perché le definizioni scritte fin qui sembreranno pure astratte, ma non sono poi così complicate. ;)

Per inciso la definizione di insieme compatto scritta in precedenza non vale solamente in R, bensì anche in R^n con le dovute modifiche del caso. La logica resta sempre la stessa: da ogni possibile ricoprimento aperto dell'insieme deve essere possibile estrarre un sottoricoprimento finito dell'insieme.

Caratterizzazione degli insiemi compatti in ℝ (in ℝn): teorema di Heine-Borel

Non vogliamo dilungarci più di tanto sulle considerazioni teoriche relative a compattezza e ricoprimenti. Vogliamo piuttosto passare dritti al punto che interesserà la maggior parte degli studenti dei corsi universitari di Analisi Matematica, vale a dire il seguente teorema.

Teorema di Heine-Borel

Un qualsiasi insieme di R è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Lo stesso dicasi per qualsiasi insieme di R^2 e di R^3 e, più in generale, per qualsiasi insieme di R^n.

Teniamo a precisare che la caratterizzazione degli insiemi compatti come tutti e soli i chiusi e limitati di R (di R^n) ha una dimostrazione estremamente tecnica, che dunque preferiamo omettere per l'eterogeneità dei nostri lettori, e che ha un'importanza esagerata ad ogni livello dell'Analisi Matematica.

Indipendentemente che studiate Analisi 1, Analisi 2 o Analisi 49, e a prescindere che vi serva solamente sapere il significato della compattezza di un insieme reale, d'ora in avanti vi capiterà di sentir parlare di insiemi compatti a più riprese. Come piccolo retroscena sappiate che il teorema di Heine-Borel è uno dei più importanti tramiti tra il mondo della Topologia - un mondo sommerso per la maggior parte degli studenti - e quello dell'Analisi, perché permette di tradurre in una forma più accessibile tantissimi teoremi altrimenti incomprensibili nella loro forma originaria.

Esempi di insiemi compatti in ℝ (e in ℝ2)

Riguardo all'importanza della nozione di compattezza per il momento potete solo fidarvi: la scoprirete solo vivendo studiando. ;) Qui ci limitiamo a mostrarvi quanto sia utile il teorema di Heine-Borel. Come avrete certamente intuito, la verifica manuale mediante ricoprimenti e sottoricoprimento non è una passeggiata.

1) Insiemi compatti in R 

A_1 = [-5,2] U [3,120]

è compatto. Infatti è (ovviamente) limitato, ed è chiuso poiché formato dall'unione di due chiusi.

A_2 = (-3,2) U (2,12)

non è compatto in quanto, benché sia limitato, non è chiuso.

2) Insiemi compatti in R^n 

Brevi e semplici anticipazioni. In R^n un insieme si dice:

- limitato: se esiste almeno una palla centrata nell'origine con raggio finito tale da contenere tutto l'insieme;

- chiuso: se il suo bordo (frontiera) appartiene all'insieme stesso.

Con tali premesse:

A_1 = (x,y) ∈ R^2 | x^2+y^2 ≤ 4

individua un cerchio nel piano cartesiano (soluzioni di una disequazione nel piano) ed è un insieme compatto. Abbiamo infatti a che fare con un cerchio (parte interna di una circonferenza di centro l'origine e raggio 2) che include la frontiera.

A_2 = (x,y) ∈ R^2 | y-2x^2+4x+3 ≤ 0

non è compatto perché, pur essendo chiuso, non è limitato. Esso corrisponde alla parte di piano sottostante la curva di equazione y = 2x^2-4x-3, la quale rappresenta una parabola con vertice (1;-5) e rivolta verso l'alto.

A_3 = (x,y) ∈ R^3 | x^2+y^2+z^2 < 1

non è compatto, infatti anche se limitato (si tratta della parte di spazio limitata da un ellissoide reale) non è chiuso in quanto non contiene la frontiera.

Può bastare. :) Vi salutiamo con la nostra usuale raccomandazione: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e di risposte dello Staff, potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Kwaheri, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Tags: definizione di insieme compatto e teorema di Heine-Borel per la compattezza in R, in R^2, in R^3 e in R^n.

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