Insiemi separati, insiemi contigui

Due insiemi separati in ℝ sono due insiemi A e B tali per cui ogni elemento di A è un numero reale minore di ogni elemento di B; due insiemi contigui sono due insiemi A e B per i quali il sup dell'uno coincide con l'inf dell'altro, ma non viceversa.

 

Questa lezione (rivolta ai soli studenti universitari) sarà breve, promesso! Lo scopo qui consiste nel dare un paio di definizioni che da un lato ci permetteranno di ampliare la nostra nomenclatura matematica, dall'altro ci forniranno utili spunti di riflessione per consolidare quanto abbiamo imparato fin qui sugli insiemi reali.

 

Ci limiteremo alla definizione di insiemi contigui e alla definizione di insiemi separati, a un paio di commenti rapidi e a una manciata di esempi: niente di più e niente di meno. ;)

 
 
 

Insiemi separati

 

Per definizione due insiemi A,B\subseteq\mathbb{R} sono insiemi separati se \forall a\in A\mbox{ e }\forall b\in B risulta che a<b.

 

In altri termini, due insiemi sono separati se comunque si scelgono due elementi a\in A,\ b\in B vige la relazione d'ordine stretto <.

 

In simboli:

 

A,B\subseteq\mathbb{R}\mbox{ sono separati se }\forall a\in A,\ \forall b\in B\ \Rightarrow\ a<b

 

Un modo equivalente per definire la nozione di insiemi separati consiste nel'affermare che due insiemi A,B sono separati se sono l'uno disgiunto dalla chiusura dell'altro, ossia se

 

\overline{A}\cap B=\emptyset\ \ \ \wedge\ \ \ A\cap\overline{B}=\emptyset

 

 

Commento sulla definizione di insiemi separati

 

A ben vedere la definizione non è particolarmente complicata e mantiene una certa attinenza col significato dell'aggettivo separati che usiamo nella vita di tutti i giorni, solo che qui l'ambiente di riferimento è la retta dei numeri reali. Diciamo che due insiemi sono separati se qualsiasi elemento del primo insieme è minore di qualsiasi elemento del secondo insieme.

 

 

Esempio di insiemi separati

 

Gli intervalli

 

\\ \quad [0,5]=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }0\leq x\leq 5\}\\ \\ \quad [7,10]=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }7\leq x\leq 10\}

 

sono insiemi separati, infatti \forall a\in [0,5]\mbox{ e }\forall b\in [7,10] risulta che a<b.

 

Insiemi contigui

 

Per definizione, dati due insiemi reali A,B\subseteq\mathbb{R} diciamo che A,B sono insiemi contigui se sono insiemi separati e se l'estremo superiore di uno dei due insiemi coincide con l'estremo inferiore dell'altro.

 

In simboli:

 

A,B\subseteq\mathbb{R}\mbox{ sono contigui se }\sup(A)=\inf(B)\ \dot{\vee}\ \sup(B)=\inf(A)

 

Una formulazione equivalente consiste nell'affermare che due insiemi sono contigui se sono insiemi separati e se presentano elementi indefinitamente ravvicinati tra loro, o più precisamente se sono separati e se

 

\forall\varepsilon>0\ \exists a\in A,\ \exists b\in B\mbox{ t.c. }|b-a|<\varepsilon

 

 

Commento sulla definizione di insiemi contigui

 

Innanzitutto vi facciamo notare che nella prima definizione simbolica abbiamo usato la disgiunzione logica esclusiva \dot{\vee} ("o l'uno, o l'altro") perché a priori non possiamo sapere come sono disposti gli insiemi A,B sull'asse reale.

 

La seconda formulazione è ben più descrittiva e comprensibile: il quantificatore universale per ogni impone che la proprietà valga per qualsiasi distanza \varepsilon; la proprietà impone che per qualsiasi distanza \varepsilon esistano due elementi appartenenti ai rispettivi insiemi con distanza inferiore a \varepsilon. L'arbitrarietà di \varepsilon, a parole, si traduce nel fatto che i due insiemi debbano essere indefinitamente ravvicinati.

 

 

Esempi di insiemi contigui

 

1) Gli intervalli

 

\\ \quad [0,5]=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }0\leq x\leq 5\}\\ \\ \quad(5,10]=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }5<x\leq 10\}

 

sono insiemi contigui. Essi sono insiemi separati perché \forall a\in [0,5]\mbox{ e }\forall b\in (5,10] risulta che a<b; d'altra parte si vede facilmente che

 

\\ \sup([0,5])=5\\ \\ \inf((5,10])=5 

 

 

2) Gli intervalli

 

\\ \quad [0,5]=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }0\leq x\leq 5\}\\ \\ \quad [5,10]=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }5\leq x\leq 10\}

 

non sono insiemi contigui. Rispetto all'esempio precedente continua a sussistere la condizione \sup([0,5])=\inf([5,10]), ma i due insiemi non sono separati poiché non è vero che \forall a\in [0,5]\mbox{ e }\forall b\in (5,10] risulta che a<b. A tal proposito basta considerare a=5=b.

 

Proprietà e differenze tra insiemi separati e insiemi contigui

 

La correlazione tra le definizioni di insiemi separati e di insiemi contigui è piuttosto evidente: due insiemi contigui sono sempre separati (in accordo con la definizione stessa), viceversa due insiemi separati non sono necessariamente contigui (come dimostrato dall'esempio di insiemi separati proposto in precedenza).

 

Riguardo alla nozione di insiemi contigui vale un'importante teorema che discende direttamente dalla definizione.

 

 

Teorema (due insiemi contigui ammettono sempre un elemento separatore)

 

Se A,B sono due insiemi contigui allora esiste un unico c\in\mathbb{R} compreso tra A,B, detto elemento separatore.

 

In simboli:

 

A,B\mbox{ contigui }\Rightarrow\ \exists ! c\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }\forall a\in A,\ \forall b\in B\mbox{ risulta che }a\leq c\leq b

 

Dimostrazione: l'esistenza di almeno un elemento separatore è garantita dall'ipotesi secondo cui A,B sono contigui e dunque in particolare separati, nonché dalla completezza dell'insieme dei numeri reali.

 

Dimostriamo che l'elemento separatore è unico. Per fissare le idee supponiamo che a<b\ \forall a\in A, \ \forall b\in B, ossia che A si trovi a sinistra di B. Supponiamo per assurdo che esistano due elementi separatori distinti c_1,c_2, e supponiamo per fissare le idee che sia c_1<c_2, cosicché

 

a\leq c_1<c_2\leq b\ \ \ \forall a\in A,\ \forall b\in B

 

Ne consegue che 

 

b-a\geq c_2-c_1\ \ \ \forall a\in A,\ \forall b\in B

 

Siamo giunti ad un assurdo: se consideriamo una distanza minore di c_2-c_1, ad esempio \frac{c_2-c_1}{2}, dall'ipotesi d'assurdo non può valere

 

b-a<\frac{c_2-c_1}{2}

 

per alcun valore a\in A \ \mbox{e} \ b\in B in contraddizione con l'ipotesi per cui A,B sono contigui. Abbiamo così provato l'unicità dell'elemento separatore.

 

 


 

Con questo abbiamo una panoramica piuttosto completa delle nozioni di insiemi separati e contigui, dunque ci fermiamo qui. In caso di necessità vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e altrettante risorse utili. ;)

 

 

Güle güle, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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