Chiusura di un insieme e punto di aderenza

La chiusura di un insieme reale è l'unione dell'insieme con l'insieme dei suoi punti di accumulazione, ossia l'unione dell'insieme e del suo derivato. Un punto di aderenza (o punto di chiusura) di un insieme è un punto non necessariamente appartenente all'insieme per cui ogni intorno del punto interseca l'insieme stesso.

 

In questa lezione, rivolta esclusivamente agli studenti universitari, forniamo una definizione che segue in modo del tutto naturale da quella di insieme chiuso: definiremo infatti la nozione di chiusura di un insieme, spiegandone il significato e mostrando alcuni esempi.

 

Per completezza nella seconda parte daremo un'ulteriore definizione - piuttosto tecnica e poco ricorrente a dire il vero - vale a dire quella di punto aderente di un insieme, detto anche punto di aderenza o punto di chiusura. Per concludere sottolineeremo le differenze tra il concetto di punto di accumulazione e quello di punto di aderenza.

 
 
 

Chiusura di un insieme

 

Il concetto di chiusura di un insieme sorge spontaneamente dopo aver studiato la definizione di insieme chiuso e dopo aver compreso che in \mathbb{R} esistono insiemi che non sono chiusi. È dunque lecito domandarsi: dato un insieme che non è chiuso, è possibile fare in modo che esso diventi chiuso?

 

La risposta è no, d'altra parte possiamo individuare il più piccolo insieme chiuso che lo contiene. :) Per cominciare diamo una carrellata di definizioni del tutto equivalenti tra loro, a seguire i dovuti commenti.

 

 

Definizione (chiusura di un insieme)

 

Dato un insieme E\subseteq\mathbb{R} definiamo la chiusura di E come il più piccolo insieme chiuso \overline{E}\subseteq\mathbb{R} che contiene E.

 

 

Definizione (chiusura di un insieme con il derivato)

 

Dato un insieme E\subseteq\mathbb{R} definiamo la chiusura di E come l'unione tra l'insieme E e il derivato dell'insieme E, e la indichiamo con \overline{E}

 

\overline{E}=E\cup E'

 

In altri termini la chiusura di un insieme è l'unione dell'insieme con l'insieme dei suoi punti di accumulazione.

 

 

Definizione (chiusura di un insieme con la frontiera)

 

Dato un insieme E\subseteq\mathbb{R} definiamo la chiusura di E come l'unione tra l'insieme E e la frontiera dell'insieme E, e la indichiamo con \overline{E}

 

\overline{E}=E\cup \partial E

 

In altri termini la chiusura di un insieme è l'unione dell'insieme con l'insieme dei suoi punti di frontiera.

 

 

Attenzione: ovviamente l'equivalenza della seconda e della terza definizione non implica che il derivato di un insieme coincida con la frontiera dell'insieme. ;)

 

 

Teorema (chiusura di un insieme chiuso)

 

Ancor prima di passare agli esempi menzioniamo un teorema che buona parte di voi lettori avrà già intuito: un insieme E\subseteq\mathbb{R} è chiuso se e solo se coincide con la propria chiusura, ossia

 

E\mbox{ chiuso sse }\overline{E}=E

 

Dimostrazione: sia l'implicazione diretta (\Rightarrow) che l'implicazione inversa (\Leftarrow) sono ovvie e discendono immediatamente dalla definizione di insieme chiuso: un insieme è chiuso per definizione se contiene tutti i propri punti di accumulazione.

 

Esempi sulla chiusura di un insieme

 

1) Consideriamo l'insieme

 

A=[2,8) \cup (9,12) \cup \{15\}

 

e proponiamoci di individuarne la chiusura mediante la seconda e la terza definizione di chiusura di un insieme, che sono effettivamente le più operative.

 

1.A) Dobbiamo determinare l'insieme derivato di A, il quale è formato da tutti e soli di punti di accumulazione di A.

 

Poiché tutti i punti di un intervallo e i suoi estremi, inclusi od esclusi, ne sono punti di accumulazione, intuiamo facilmente che il derivato di A si ottiene escludendo il solo punto isolato x=15

 

A'=[2,8]\cup [9,12]

 

In accordo con la definizione la chiusura di A è data dall'unione tra A e il suo derivato

 

\overline{A}=A\cup A'=[2,8]\cup [9,12]\cup \{15\}

 

1.B) Con la definizione di chiusura mediante la frontiera qui è tutto più semplice: poiché la frontiera di A è data da

 

\partial A = \{2, \ 8, \ 9, \ 12, \ 15\}

 

si ha che

 

\overline{A}=A \cup \partial A = [2,8] \cup [9,12] \cup \{15\}

 

Con entrambi i metodi abbiamo ottenuto sempre la stessa chiusura \overline{A}. Più in generale, nella risoluzione degli esercizi la scelta dell'una o dell'altra definizione si basa su un semplice criterio di convenienza.

 

 

2) Determiniamo la chiusura dell'insieme

 

B=\left\{\frac{1}{n}\mbox{ t.c. }n\in\mathbb{N}-\{0\}\right\}

 

Abbiamo già avuto modo di studiare l'insieme B nelle precedenti lezioni. In particolare sappiamo che tutti i suoi elementi sono punti isolati, e che l'unico punto di accumulazione dell'insieme è x=0\not\in B, per cui

 

B'=\{0\}

 

e dunque

 

\overline{B}=B\cup B'=\left\{\frac{1}{n}\mbox{ t.c. }n\in\mathbb{N}-\{0\}\right\}\cup\{0\}

 

 

Osservazione (chiusura di un insieme ≠ insieme derivato)

 

Spesso agli studenti capita di confondere la chiusura di un insieme E con il derivato dell'insieme E, ma a ben vedere i due concetti sono distinti tra loro: il primo è il più piccolo chiuso che contiene E, il secondo è l'insieme dei punti di accumulazione di E.

 

Se non siete convinti al riguardo vi facciamo notare che la chiusura di un insieme E contiene sempre il derivato dell'insieme E, in perfetto accordo con la definizione, ma il viceversa in generale non è vero

 

\\ E'\subseteq \overline{E}\ \ \ \mbox{sempre}\\ \\ \overline{E}\subseteq E'\ \ \ \mbox{in generale non }\grave{\mbox{e}}\mbox{ vero}

 

quindi in generale non è vero che derivato e chiusura coincidono, anche se potrebbe capitare. Un esempio? Basta considerare un qualsiasi intervallo.

 

D'altra parte, tra tutti i casi possibili e immaginabili, la chiusura di un insieme può contenere anche punti che non sono necessariamente di accumulazione. Quali? Molto semplicemente, i punti isolati che appartengono all'insieme E di riferimento. I due esempi proposti in precedenza sono a dir poco illuminanti in questo senso.

 

Punto di aderenza di un insieme

 

Veniamo ora ad una nuova proprietà che può caratterizzare i punti di un insieme reale, e che inizialmente risulterà scorrelata dal concetto di chiusura... Ma solo inizialmente. ;) Parliamo della nozione di punto di aderenza di un insieme, detto anche punto di chiusura o punto aderente.

 

Vi mettiamo in guardia sin da subito: la definizione assomiglia maledettamente a quella di punto di accumulazione ma nasconde un'importante differenza che può passare sotto traccia.

 

 

Definizione (punto di aderenza di un insieme, o punto di chiusura)

 

Dato un insieme E\subseteq\mathbb{R} e considerato un punto x_0\in\mathbb{R}, diciamo che x_0 è un punto aderente dell'insieme E se per ogni intorno di x_0 vi è almeno un punto dell'insieme E che cade in tale intorno.

 

In simboli:

 

\\ x_0\in\mathbb{R}\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un punto di aderenza di }E\subseteq\mathbb{R}\\ \\ \mbox{se }\forall\varepsilon>0\ \exists y\in E\mbox{ t.c. }y\in B(x_0,\varepsilon)

 

 

Commento sulla definizione di punto di aderenza

 

Innanzitutto notiamo che un punto di aderenza non deve necessariamente appartenere all'insieme cui è aderente, e notiamo inoltre la presenza del quantificatore universale per ogni: la proprietà richiesta dalla definizione deve valere per ogni intorno del punto, in modo analogo rispetto alla definizione di punto di accumulazione.

 

La sostanziale differenza tra la nozione di punto di aderenza e quella di punto di accumulazione è piccola nella forma ma enorme nella sostanza: la definizione di punto aderente non esclude il punto stesso come possibile punto appartenente ad ogni intorno considerato.

 

Che ne dite, facciamo un gioco? Trovate le differenze:

 

\\ x_0\in\mathbb{R}\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un punto di accumulazione di }E\subseteq\mathbb{R}\\ \\ \mbox{ se }\forall\varepsilon>0\ \exists y\in E,\ y\neq x_0\mbox{ t.c. }y\in B(x_0,\varepsilon)

 

Questo dettaglio apparentemente innocuo ha importanti implicazioni:

 

- un punto di accumulazione di E è sempre un punto aderente ad E;

 

- un punto aderente ad E non è necessariamente un punto di accumulazione di E. Più precisamente, un punto di aderenza può essere un punto di accumulazione oppure un punto isolato dell'insieme E.

 

Sulla base di tali osservazioni possiamo formulare una definizione equivalente di punto di aderenza.

 

 

Definizione equivalente (punto di aderenza)

 

Dato un insieme E\subseteq\mathbb{R} diciamo che x_0 è un punto di aderenza di E se è un punto di accumulazione di E o se appartiene ad E.

 

Esempi sui punti di aderenza

 

1) Dato l'insieme

 

A=[1,6) \cup \{8\}

 

tutti i punti nell'intervallo [1,6) e il punto x=8 sono punti di chiusura (punti aderenti), in quanto punti appartenenti all'insieme. Anche il punto x=6 è un punto di chiusura di A in quanto punto di accumulazione per A.

 

2) Consideriamo ora l'insieme

 

B=\left\{\frac{1}{n}\mbox{ t.c. }n\in\mathbb{N}-\{0\}\right\}

 

Quali sono i suoi punti di chiusura? Ovviamente ogni punto appartenente all'insieme, ossia tutti i punti della forma \frac{1}{n} con n numero naturale diverso da zero, ma non basta. Anche x=0, essendo un punto di accumulazione per B, è un suo punto di chiusura.

 

Relazione tra chiusura di un insieme e punti di aderenza

 

Al di là del nome punto di chiusura, non avete notato alcuna affinità tra i concetti di chiusura di un insieme e di punto di aderenza? È giunto il momento di mostrare le carte: la nozione di punto di chiusura viene introdotta appositamente per definire in modo comodo quella di chiusura di un insieme, infatti dando per assodata la prima possiamo scrivere...

 

 

Definizione (chiusura di un insieme con i punti di aderenza)

 

La chiusura di un insieme E\subseteq\mathbb{R} è data dall'insieme di tutti i suoi punti aderenti:

 

\overline{E}=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }x\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un punto di chiusura per }E\}

 

Infatti grazie alla definizione di punto di chiusura possiamo includere in un colpo solo sia i punti appartenenti all'insieme, sia i suoi punti di accumulazione. ;)

 

 


 

La lezione successiva avrà come protagonista un insieme reale estremamente peculiare, e come vedremo il concetto di chiusura ci tornerà particolarmente utile: tratteremo la densità di Q in R. ;) Per il resto, se siete in cerca di esercizi o di ulteriori spiegazioni vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna. Qui su YM abbiamo risolto migliaia di esercizi e risposto ad altrettante domande. :)

 

 

Güle güle, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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