Potenza dell'insieme dei numeri reali

La potenza di un insieme finito o infinito è la cardinalità dell'insieme. Le potenze degli insiemi numerici più noti sono la potenza del numerabile e la potenza del continuo; quest'ultima in particolare caratterizza l'insieme dei numeri reali.

 

Dopo aver definito i numeri reali e dopo aver accennato ai vari tipi di sottoinsiemi di numeri reali è giunto il momento di soffermarci su una proprietà di tipo insiemistico che li caratterizza. In questa lezione daremo una definizione di potenza di un insieme nel modo più semplice possibile e passeremo in rassegna i tipi di potenze di insiemi più ricorrenti in Analisi Matematica, parlando di di insiemi finiti, di potenza del numerabile, di potenza del continuo e di potenza superiore al continuo.

 

Per concludere specificheremo e spiegheremo qual è il tipo di potenza che contraddistingue l'insieme dei numeri reali e ne metteremo in luce le principali proprietà.

 

Definizione di potenza di un insieme

 

No, non stiamo parlando delle care e vecchie potenze studiate a partire dalle scuole medie. :) Piuttosto vi ricordate di quando, da piccoli, abbiamo studiato insiemistica e abbiamo affrontato la nozione di cardinalità di un insieme finito? Avevamo visto che, dato un insieme finito X, è sempre possibile contarne gli elementi e abbiamo definito la cardinalità di X come il numero di elementi di X.

 

Supponendo che X sia costituito da n elementi, scriveremmo

 

\mbox{card}(X)=n<\infty

 

Che dire di un insieme X con infiniti elementi? Nel caso degli insiemi infiniti saremmo portati a concludere che la cardinalità è infinito

 

\mbox{card}(X)=\infty

 

ma possiamo fare di meglio, ed è qui che si amplia il concetto di cardinalità. Gli insiemi infiniti sono lo spunto per proporre una definizione più fine e più generale di cardinalità di un insieme, termine che nel contesto degli insiemi infiniti viene sostituito spesso e volentieri dall'equivalente potenza di un insieme.

 

 

Perché preoccuparci?

 

È lapalissiano che due insiemi infiniti contengano entrambi un'infinità di elementi, ciononostante è possibile analizzare proprietà che consentono di distinguere diversi tipi di infiniti da un punto di vista qualitativo. Si tratta di una distinzione che tornerà prepotentemente nel prosieguo degli studi di Analisi Matematica.

 

Potenza di insiemi finiti e potenza di insiemi infiniti

 

Quando abbiamo studiato la cardinalità degli insiemi finiti per la prima volta non ci siamo posti particolari problemi, e abbiamo detto che la cardinalità è il numero di elementi dell'insieme. Come possiamo determinarla? Nel modo più semplice possibile: basta contare gli elementi dell'insieme.

 

Se vogliamo ampliare le nostre vedute dobbiamo fornire una definizione più ampia e tale da abbracciare anche il caso di insiemi con un numero infinito di elementi. È qui che sorge il primo problema: sfortunatamente non è possibile contare un numero infinito di elementi, dacché l'atto del conteggio presuppone una fine.

 

Niente paura: possiamo superare brillantemente l'ostacolo facendo riferimento al concetto di corrispondenza biunivoca, dove con corrispondenza biunivoca intendiamo un'applicazione (o legge) tra due insiemi

 

F:X\to Y

 

tale da soddisfare le seguenti proprietà:

 

- associa ad ogni elemento di X uno ed un solo elemento di Y (definizione di applicazione)

 

\forall x\in X\ \exists ! y\in Y\mbox{ t.c. }F:x\to y

 

- ogni elemento di Y viene raggiunto tramite F da un unico elemento di X (biunivocità)

 

\forall y\in Y\ \exists ! x\in X\mbox{ t.c. }F:x\to y

 

dove i simboli matematici \forall,\ \exists ! vanno letti rispettivamente come per ogni ed esiste un unico. Nel caso esista una corrispondenza biunivoca tra X\mbox{ e }Y si suole scrivere

 

X\simeq Y

 

e si legge: X è equipotente ad Y o ancora X è equipollente ad Y.

 

Una corrispondenza biunivoca non è altro che una legge che definisce una particolare relazione tra due insiemi. In termini intuitivi possiamo dire che due insiemi sono in corrispondenza biunivoca tra loro se è possibile collegare ogni elemento del primo insieme ad ogni elemento del secondo insieme mediante una freccia, in modo tale che ogni elemento del secondo insieme venga raggiunto da un'unica freccia.

 

Sfruttando la nozione di corrispondenza biunivoca possiamo scrivere una definizione di potenza di un insieme molto più generale di quella basata sul puro e semplice conteggio, che si riduce ad essa nel caso degli insiemi finiti e che bene si adatta al caso degli insiemi infiniti.

 

Potenza di un insieme: come "contare" gli elementi di un insieme finito o infinito

 

Per scrivere la definizione di potenza di un insieme qualsiasi consideriamo come riferimento gli insiemi numerici classici: l'insieme dei numeri naturali \mathbb{N}, l'insieme dei numeri interi \mathbb{Z}, l'insieme dei numeri razionali \mathbb{Q}, e l'insieme dei numeri reali \mathbb{R}

 

Con questa premessa, definiremo la potenza di un insieme in riferimento a tali insiemi numerici. Dato un qualsiasi insieme X diremo che esso ha:

 

- potenza finita (o cardinalità finita) se è possibile individuare una qualsiasi corrispondenza biunivoca tra X e un sottoinsieme di \mathbb{N} con un numero finito di elementi;

 

- potenza infinita (o cardinalità infinita) se non è possibile individuare una corrispondenza biunivoca tra X e alcun sottoinsieme di \mathbb{N} con un numero finito di elementi.

 

 

Esempio

 

L'insieme

 

\{\mbox{Milano},\ \mbox{Roma},\ \mbox{Napoli}\}

 

è un insieme finito perché possiamo determinare una corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme finito di \mathbb{N}, ad esempio

 

\\ 1\ \to\ \mbox{Milano}\\ \\ 2\ \to\ \mbox{Roma}\\ \\ 3\ \to\ \mbox{Napoli}

 

Al contrario l'insieme dei numeri relativi \mathbb{Z} è un insieme infinito, perché non esiste alcuna corrispondenza biunivoca tra i suoi elementi ed alcun sottoinsieme finito di \mathbb{N}.

 

Come potete notare nel caso della potenza finita l'individuazione di una corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme finito di \mathbb{N} non è altro che puro e semplice conteggio. In termini intuitivi potremmo riscrivere la precedente definizione nel modo seguente: dato un qualsiasi insieme X diremo che esso ha

 

- potenza finita (o cardinalità finita) se è possibile contare i suoi elementi;

 

- potenza infinita (o cardinalità infinita) se non è possibile contare i suoi elementi.

 

Potenze di insiemi infiniti e tipi di potenze di insiemi

 

A questo punto possiamo concentrarci sulla potenza di un insieme infinito. Innanzitutto menzioniamo una proprietà degli insiemi infiniti talmente tipica che potrebbe essere usata per fornire una definizione alternativa.

 

Noi abbiamo scritto che un insieme è infinito se non è finito; in alternativa potremmo dire che un insieme X è infinito se esiste almeno un sottoinsieme propriamente contenuto in esso A\subset X tale per cui sia possibile definire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme X e il sottoinsieme proprio A. Attenzione: esiste almeno un, non per ogni.

 

 

Esempio

 

\mathbb{N} è un insieme infinito, infatti possiamo considerare il sottoinsieme proprio

 

A=\{10,11,12,13,...\}

 

e considerare la corrispondenza

 

\\ 0\ \to\ 10\\ \\ 1\ \to\ 11\\ \\ 2\ \to\ 12\\ \\ ...

 

che è una corrispondenza biunivoca. Non si tratta di un gioco di prestigio né di una magia: la precedente applicazione individua una legge che associa biunivocamente gli elementi di \mathbb{N} agli elementi di A. :)

 

Se facciamo riferimento ai principali insiemi numerici \mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R} è possibile usarli come insiemi campione per definire i principali tipi di potenze di un insieme. Tali tipi di potenze non esauriscono tutte le possibili potenze che possono caratterizzare ogni possibile insieme, ma forniscono una classificazione più che sufficiente per gli insiemi che tratteremo in Analisi Matematica 1:

 

- potenza finita (abbiamo già detto tutto!): un insieme X ha potenza finita se è possibile mettere in corrispondenza biunivoca X con un sottoinsieme finito di \mathbb{N}

 

- potenza del numerabile: un insieme X ha potenza del numerabile (è un insieme numerabile) se è possibile mettere in corrispondenza biunivoca X con \mathbb{N}

 

- potenza del continuo: un insieme X ha potenza del continuo (è un insieme con potenza del continuo) se è possibile mettere in corrispondenza biunivoca X con \mathbb{R}.

 

Attenzione, concentrazione. La cosa potrebbe sorprendervi, ma è possibile dimostrare senza eccessivi sforzi che \mathbb{Z} e \mathbb{Q} sono insiemi con potenza del numerabile. Ebbene sì: è possibile individuare una corrispondenza biunivoca con \mathbb{N} in entrambi i casi!

 

\left.\begin{matrix}\mathbb{N}\simeq \mathbb{Z}\\ \\ \mathbb{N}\simeq \mathbb{Q}\end{matrix}\right\}\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q}\mbox{ sono insiemi numerabili}

 

Ad esempio, possiamo dimostrare che \mathbb{N}\simeq\mathbb{Z} considerando la semplice applicazione biunivoca che associa zero a zero, i restanti numeri pari ai numeri negativi e i numeri dispari ai numeri positivi

 

\begin{matrix}... & 4 & 2 & \ 0 & \ 1 & \ 3 & ... & \ \ \mathbb{N}\\ \\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow &  & \\ \\ ... & -2 & -1 & \ 0 & \ 1 & \ 2 & ... & \ \ \mathbb{Z}\end{matrix}

 

La potenza di R: potenza del continuo

 

Eccoci finalmente giunti al cuore della lezione: la potenza dell'insieme dei numeri reali viene chiamata per definizione potenza del continuo e si può dimostrare (ma non lo facciamo qui) che tale tipo di potenza individua una cardinalità infinita che è superiore alla potenza del numerabile, nel senso che:

 

1) \mathbb{R} contiene sottoinsiemi con potenza del numerabile come sottoinsiemi propri;

 

2) non è possibile individuare alcuna corrispondenza biunivoca tra \mathbb{N} ed \mathbb{R}.

 

In questo senso \mathbb{N} ed \mathbb{R} hanno entrambi infiniti elementi, ma \mathbb{R} ha un numero di elementi che sono infiniti da un diverso punto di vista qualitativo.

 

In sintesi \mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q} hanno la stessa potenza e sono insiemi numerabili, mentre \mathbb{R} ha un'altra potenza che viene detta potenza del continuo. Notate che il nome non è casuale: l'aggettivo continuo si rifà alla proprietà di completezza di \mathbb{R}, di cui abbiamo trattato nella lezione sui numeri reali.

 

 

Peculiarità di ℝ

 

Vi ricordate che abbiamo scritto che ogni sottoinsieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con almeno un suo sottoinsieme proprio? In questo frangente quel almeno un rivela tutta la propria importanza: \mathbb{N} è un sottoinsieme proprio di \mathbb{R} ma non può essere messo in corrispondenza biunivoca con \mathbb{R}.

 

Al contrario è possibile dimostrare che \mathbb{R} può essere messo in corrispondenza biunivoca con ogni suo intervallo con estremi non coincidenti. Ad esempio è possibile individuare una corrispondenza biunivoca tra \mathbb{R} e l'intervallo (0,1):

 

\mathbb{R}\simeq (0,1)

 

Curiosità: potenza non numerabile e potenza superiore al continuo

 

Concludiamo la lezione con due curiosità.

 

1) I più curiosi si staranno certamente domandando se esiste una potenza superiore alla potenza del continuo. Esiste eccome, e prende il nome di potenza superiore al continuo: l'insieme caratteristico in questo caso si ottiene considerando l'insieme delle parti di \mathbb{R}. Ricapitolando:

 

\begin{matrix}\mbox{finito} & \ \ \ & \\ \\ \mbox{numerabile} & \ \ \ & \simeq \mathbb{N}\\ \\ \mbox{potenza del continuo} & \ \ \ & \simeq \mathbb{R}\\ \\ \mbox{potenza superiore al continuo} & \ \ \ & \simeq \wp(\mathbb{R})

 

2) Dopo aver compreso che le potenze degli insiemi si sviluppano per livelli successivi, è possibile chiamare qualsiasi insieme con potenza superiore al numerabile come insieme non numerabile.

 

 


 

Fine! Nella lezione successiva torneremo ai nostri amati intervalli e classificheremo le varie tipologie di intervalli di numeri reali parlando di intervalli aperti, chiusi, limitati e illimitati.

 

 

Adjö, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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