Numeri reali

I numeri reali sono numeri descritti mediante una rappresentazione decimale limitata o illimitata, periodica o non periodica, e sono tutti e i soli numeri razionali e i numeri irrazionali. L'insieme dei numeri reali si indica con il simbolo ℝ.

In questa lezione vedremo come definire i numeri reali nel modo più semplice e intuitivo possibile. Definiremo inoltre l'insieme dei numeri reali elencandone le proprietà algebriche, le proprietà di buon ordinamento e soprattutto la proprietà che caratterizza l'insieme R: la completezza.

Concluderemo la lezione presentando la relazione che lega l'insieme dei numeri reali con la retta dei numeri reali, caratteristica che deriva dalla completezza di R.

Definizione intuitiva dei numeri reali

Cominciamo da una definizione intuitiva di numero reale che richiede solamente di sapere cosa sono i numeri razionali e i numeri irrazionali: un numero reale è un qualsiasi numero che è razionale o irrazionale.

In altri termini ogni numero reale ammette (almeno) una rappresentazione decimale, cioè si può esprimere mediante le 10 cifre del sistema numerico decimale. Tale rappresentazione può avere:

- la parte decimale limitata o illimitata periodica se il numero è razionale;

- la parte decimale illimitata non periodica se il numero è irrazionale.

Esempi di numeri reali

0, −2, (1)/(3), 0.3, 12. bar7 sono numeri reali, e in particolare sono numeri razionali;

−√(2), e, π, √(5) sono numeri numeri reali, e in particolare sono numeri irrazionali.

Riteniamo opportuno sottolineare che un numero reale può ammettere più di una espansione decimale, se non addirittura infinite. Ad esempio si può dimostrare che:

- il numero decimale periodico 0.9999999... non è altro che una diversa rappresentazione decimale del numero 1.

- il numero decimale 1.9 ammette come espansioni equivalenti 1.90, 1.900, 1.9000, ... .

Definizione assiomatica dell'insieme dei numeri reali

Dal punto di vista puramente insiemistico il simbolo R indica l'insieme dei numeri reali definito come l'unione tra l'insieme dei numeri razionali Q e quello dei numeri irrazionali I. Nel linguaggio della teoria degli insiemi:

R = Q U I

Chiaramente l'insieme dei numeri reali contiene l'insieme dei numeri razionali e l'insieme dei numeri irrazionali, così come contiene l'insieme dei numeri interi e dunque l'insieme dei numeri naturali. Possiamo rappresentare questa peculiarità facendo uso del seguente diagramma di Eulero-Venn.

Numeri reali

L'insieme dei numeri reali può essere definito in modo assiomatico esprimendo le proprietà e le relazioni che lo caratterizzano. In altri termini per dare una definizione completa e rigorosa non potremo limitarci ad una definizione intuitiva come la precedente, bensì dovremo anche specificare quali sono le operazioni consentite tra elementi dell'insieme dei numeri reali e le proprietà di tali operazioni su tale insieme. In questo modo caratterizzeremo R come una struttura algebrica ben precisa che va sotto il nome di campo.

Non solo: le proprietà che elencheremo nella lezione contraddistingueranno univocamente l'insieme dei numeri reali e lo differenzieranno dagli altri insiemi numerici N, Z e Q. Per questo motivo vi raccomandiamo di non prendere sotto gamba la spiegazione sulle operazioni e sulle proprietà: per quanto vi sembreranno nozioni già note, ci saranno piccoli dettagli che faranno la differenza.

Proprietà algebriche dell'insieme dei numeri reali

Cominciamo elencando le proprietà algebriche di R, ossia esprimiamo le proprietà che valgono per le operazioni di addizione e di moltiplicazione su R. 

Sull'insieme dei numeri reali sono definite due operazioni:

- l'addizione, indicata con il simbolo +, che ad una coppia di numeri reali a,b associa un numero reale c definito mediante la relazione

c = a+b

Il risultato dell'addizione c prende il nome di somma tra a e b.

- la moltiplicazione, indicata con il simbolo ·, che ad una coppia di numeri reali a, b associa un numero reale c definito mediante la relazione

c = a·b

Il risultato della moltiplicazione c prende il nome di prodotto tra a e b.

Proprietà dell'addizione

L'addizione gode della:

- proprietà commutativa

a+b = b+a per ogni a, b∈R

- proprietà associativa

(a+b)+c = a+(b+c) per ogni a, b, c∈R

Nell'insieme dei numeri reali inoltre è garantita l'esistenza:

- dell'elemento neutro rispetto alla somma, che indichiamo con 0 e che soddisfa l'identità

a+0 = a per ogni a∈R

- dell'elemento inverso additivo di ogni numero reale a, indicato con −a e caratterizzato dalla relazione

a+(−a) = 0 per ogni a∈R

L'inverso additivo di un numero a si indica più semplicemente con opposto di a.

Proprietà della moltiplicazione

La moltiplicazione gode della:

- proprietà commutativa

a·b = b·a per ogni a, b∈R

- proprietà associativa

a·(b·c) = (a·b)·c per ogni a, b, c∈R

Nell'insieme dei numeri reali inoltre è assicurata l'esistenza:

- dell'elemento neutro rispetto al prodotto, indicato con 1 e caratterizzato dalla relazione

a·1 = a per ogni a∈R

- dell'elemento inverso moltiplicativo di ogni numero reale non nullo a, identificato con il simbolo a^(−1) o ancora mediante il simbolo (1)/(a), e tale da realizzare l'uguaglianza

a·a^(−1) = 1 per ogni a∈R, a ne 0

L'inverso moltiplicativo di a è denominato più comunemente reciproco di a.

Oltre alle proprietà dell'addizione e della moltiplicazione, esiste un'ultima proprietà che riguarda entrambe le operazioni: la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

a·(b+c) = a·b+a·c per ogni a, b, c∈R

ℚ e ℝ sono campi, ℕ e ℤ no

Le proprietà algebriche elencate finora consentono di distinguere strutturalmente gli insiemi N e Z dagli insiemi Q e R, ma non sono sufficienti a differenziare l'insieme dei numeri reali da quello dei numeri razionali.

A titolo di esempio osserviamo che in N solo l'1 ammette inverso moltiplicativo, mentre in Z gli unici elementi invertibili sono 1 e -1. In Q e in R ogni elemento non nullo ammette inverso moltiplicativo.

A titolo di cronaca questi aspetti sono oggetto di studio approfondito nei corsi di Algebra universitaria, in cui si introduce una nomenclatura ben precisa per individuare ognuna delle possibili strutture algebriche. Nella fattispecie gli assiomi elencati caratterizzano R come una struttura algebrica che in Algebra va sotto il nome di campo, ecco perché a volte si attribuisce ad R il nome di campo dei numeri reali (e si parla altresì di Q come campo dei numeri razionali).

Le operazioni di sottrazione e divisione

I più attenti di voi avranno notato che abbiamo elencato tutte le proprietà che caratterizzano le operazioni di addizione e moltiplicazione, mentre non abbiamo menzionato né la sottrazione né la divisione tra numeri reali. Come mai? Rispondiamo a questa domanda con un'affermazione che potrebbe sorprendervi: in R le operazioni di sottrazione e divisione non esistono. :)

La sottrazione tra due numeri reali a e b è in realtà un modo diverso per indicare la somma tra a e l'opposto di b

a−b = a+(−b) con a, b∈R

Similmente, la divisione tra due numeri reali a e b con b ne 0 rappresenta un modo differente per esprimere il prodotto tra a e il reciproco di b

(a)/(b) = a·(1)/(b) = a·b^(−1) con a∈R, b∈R−0

E la divisione per 0? Così come succedeva per gli altri insiemi numerici, nemmeno nell'insieme dei numeri reali è possibile dividere un numero per 0.

Proprietà di buon ordinamento dell'insieme dei numeri reali

Oltre alle proprietà algebriche, l'insieme dei numeri reali verifica la cosiddetta proprietà di buon ordinamento. Sebbene il nome sia altisonante, tale proprietà stabilisce che in R è sempre possibile confrontare due numeri.

La formalizzazione matematica richiede un po' di tecnicismi a cui non possiamo sottrarci ma vi assicuriamo che l'idea di fondo è molto semplice: si definiscono l'insieme dei numeri reali positivi e l'insieme dei numeri reali negativi mediante opportuni assiomi, dopodiché si fornisce un'interpretazione al simbolo ≤ con il quale potremo confrontare due numeri.

Insiemi dei numeri reali positivi e negativi R+ e R-

L'insieme dei numeri reali si può scrivere come l'unione di tre insiemi a due a due disgiunti:

• il sottoinsieme indicato con il simbolo R^+ e caratterizzato dalle seguenti proprietà:

- gli elementi -1 e 0 non appartengono a R^+;

- il quadrato di ogni numero reale non nullo a (prodotto di a con se stesso) appartiene a R^+

per ogni a∈R−0 si ha che a^2∈R^+

- due numeri reali appartengono a R^+ se e solo se la loro somma e il loro prodotto sono elementi di tale insieme:

a, b∈R^+ se e solo se a+b∈R^+ e a·b∈R^+

I numeri reali che appartengono ad R^+ vengono detti numeri positivi e per tale motivo l'insieme stesso prende il nome di insieme dei numeri reali positivi:

a > 0 se e solo se a∈R^+

• Il sottoinsieme 0, formato esclusivamente dallo 0;

• R^−, formato esclusivamente dai numeri reali negativi, definiti come gli elementi i cui opposti sono numeri positivi:

a∈R^− se e solo se −a∈R^+

Convenzionalmente i numeri reali positivi sono preceduti dal simbolo + (solitamente sottointeso per alleggerire le notazioni) e quelli negativi dal simbolo −. Lo zero non è preceduto da alcun simbolo e non è un numero positivo né un numero negativo.

Si dimostra facilmente che gli insiemi R^+, 0 e R^− rappresentano una partizione dell'insieme dei numeri reali, infatti sono a due a due disgiunti e la loro unione coincide con l'intero insieme.

Da questa particolarità dell'insieme dei numeri reali si deduce la proprietà di tricotomia: ogni numero reale può essere positivo o negativo o nullo.

Relazione d'ordine totale sull'insieme dei numeri reali

Una volta definiti i numeri reali positivi e negativi possiamo finalmente fornire un significato al simbolo ≤. In altri termini siamo in grado di definire la relazione d'ordine sull'insieme dei numeri reali utilizzando esclusivamente gli assiomi dati.

Un numero reale a è minore o uguale di un numero reale b se per definizione la differenza tra b e a è un numero positivo o nullo

a ≤ b se e solo se b−a∈R^+U 0

o scritto in modo equivalente e con una notazione più snella

a ≤ b se e solo se b−a ≥ 0

In particolare da un punto di vista algebrico la relazione ≤ rientra nella categoria delle cosiddette relazioni d'ordine, le quali sono caratterizzate da tre proprietà:

- riflessività: per ogni a risulta che a ≤ a;

- antisimmetria: per ogni a,b se a ≤ b e b ≤ a allora a = b;

- transitività: per ogni a,b,c se a ≤ b e se b ≤ c allora a ≤ c.

Ci rendiamo conto che le formalizzazioni sono complicate da assimilare, ma la definizione di numero reale e la relazione d'ordine su R rappresentano le basi su cui verrà costruita un'intera branca della Matematica: l'Analisi Matematica. ;)

In accordo con gli assiomi elencati e con la relazione d'ordine appena definita possiamo constatare che ogni di coppia numeri reali a,b soddisfa almeno una delle due disuguaglianze:

a ≤ b ; b ≤ a

ossia, comunque scelti due numeri reali, è sempre possibile confrontarli. Per questo motivo la relazione d'ordine ≤ su R prende il nome di relazione d'ordine totale e si suol dire che R è un campo totalmente ordinato.

Si noti che tutto ciò che abbiamo appena scritto può essere trasposto sul campo dei numeri razionali, cosicché si parla anche di Q come di campo totalmente ordinato. Ma allora cos'è che contraddistingue R rispetto a Q? Lo scopriamo tra un attimo... ;)

Nel frattempo a partire dalla relazione d'ordine ≤ possiamo definire:

- la relazione d'ordine ≥, affermando che a ≥ b se e solo se b ≤ a;

- la relazione d'ordine stretto <, affermando che a < b se e solo se a ≤ b e a ≠ b;

- la relazione d'ordine stretto >, affermando che a > b se e solo se a ≥ b e a ≠ b;

dove l'aggettivo stretto sta ad indicare che < e > non sono vere e proprie relazioni d'ordine perché non soddisfano le proprietà di riflessività ed antisimmetria.

Legame tra relazione d'ordine e operazioni su ℝ

Dalla relazione d'ordine seguono inoltre due proprietà notevoli che in realtà conoscete benissimo e che utilizzate inconsciamente quando risolvete le disequazioni: il principio di addizione e il principio di moltiplicazione.

Il principio di addizione assicura che, aggiungendo un numero reale ai due membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza equivalente. In termini matematici, dati due numeri reali a,b

a ≤ b se e solo se a+c ≤ b+c per ogni c∈R

Il principio di moltiplicazione asserisce che moltiplicando per un numero reale positivo i due membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza equivalente

a ≤ b se e solo se a·c ≤ b·c per ogni c∈R^+

Se il numero c è negativo allora il verso della disuguaglianza va invertito

a ≤ b se e solo se a·c ≥ b·c per ogni c∈R^−

Assioma di Archimede: proprietà archimedea dei numeri reali

La definizione assiomatica dei numeri reali richiede una certa dose di memoria perché R gode di un numero spropositato di proprietà: una tra queste prende il nome di assioma di Archimede.

Enunciato dell'assioma di Archimede

Dati due numeri reali positivi a,b esiste un numero naturale n∈N tale che na > b.

La dimostrazione della proprietà archimedea di R è estremamente tecnica, pertanto preferiamo ometterla in questa sede. Sebbene sia una proprietà bistrattata, l'assioma di Archimede permette di caratterizzare ulteriormente l'insieme dei numeri reali e manifesta la sua utilità nella dimostrazione del teorema relativo alla densità di Q in R che approfondiremo nel seguito.

Completezza dell'insieme dei numeri reali

Le proprietà e gli assiomi esposti non sono prerogativa esclusiva dell'insieme dei numeri reali, giacché valgono nella loro totalità anche nell'insieme dei numeri razionali. Dal punto di vista strutturale Q e R continuano ad essere equivalenti.

Si rende necessario dunque esporre almeno una proprietà che sussista esclusivamente per R così da poterlo distinguere dall'insieme Q: ciò che davvero caratterizza l'insieme dei numeri reali è l'assioma di completezza.

Intuitivamente l'assioma di completezza garantisce che l'insieme dei numeri reali "non possiede buchi" ecco perché a volte si indica anche sotto il nome di assioma di continuità.

Attenzione: la formulazione dell'enunciato può intimorire chi si approccia per la prima volta all'argomento. Vi assicuriamo che non è nulla di così complicato: è un enunciato di tipo esistenziale ed è su questo che dovete concentrarvi.

Siano A e B due insiemi non vuoti di numeri reali. Se per ogni a∈ A e per ogni b∈ B è vera la relazione a ≤ b, l'assioma di completezza assicura l'esistenza di un numero reale c che soddisfa la doppia disuguaglianza

a ≤ c ≤ b per ogni a∈ A e b∈ B

L'insieme dei numeri razionali non possiede tale caratteristica, Q infatti non è completo e per mostrarlo è sufficiente considerare i due sottoinsiemi:

A = x∈Q^+ : x^2 < 2 ; B = x∈Q^+ : x^2 ≥ 2

Ogni elemento a dell'insieme A è minore di ogni elemento b dell'insieme B, ma non esiste alcun numero razionale c che soddisfa la seguente relazione

a ≤ c ≤ b per ogni a∈ A e b∈ B

Ad un lettore attento non è certamente sfuggito che il valore di c coincide con √(2), ma attenzione: si può dimostrare che la radice quadrata di 2 non è un numero razionale. ;)

Ora che abbiamo esposto la caratteristica che contraddistingue l'insieme dei numeri reali da quello dei numeri razionali possiamo definire R come segue:

R è l'unico* campo, totalmente ordinato, archimedeo e continuo.

(*per chi ha dimestichezza con l'Algebra universitaria, l'unicità è da intendersi a meno di isomorfismi).

Corrispondenza tra la retta e l'insieme dei numeri reali

Concludiamo questa lezione con una proprietà che caratterizza geometricamente l'insieme R. La completezza di R permette di costruire una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti di una retta.

Più precisamente: ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto sulla retta e ad ogni punto della retta corrisponde uno e un solo numero reale. In questo contesto la retta prende il nome di asse reale o anche di retta dei numeri reali.

Asse reale

Nell'immagine abbiamo posizionato sulla retta i numeri reali −5, −e, 0, √(2), π.

Sottolineiamo che, fissando un numero reale a e posizionandolo sulla retta, tutti i numeri che si trovano alla sua sinistra sono minori di a e che dualmente i numeri che si trovano alla sua destra sono maggiori di a.

La lezione è giunta al termine: abbiamo esposto tutto ciò che tornerà utile nel prosieguo dei vostri studi, cercando di semplificare il più possibile il concetti senza sacrificare la completezza delle informazioni. Se è tutto chiaro allora potete tranquillamente continuare con le lezioni successive.

Come di consueto in caso di dubbi, esercizi e approfondimenti vari ed eventuali vi raccomandiamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM abbiamo risolto migliaia di esercizi e risposto ad altrettante domande. ;)

Hej, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Lezione successiva

Tags: cos'è un numero reale - definizione assiomatica di R - relazione d'ordine su R.

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