Operazioni tra numeri complessi

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Vediamo uno schema completo con tutte le definizioni e le formule per le operazioni con i numeri complessi.

 

Poiché i numeri complessi possono essere espressi in forma algebrica, in forma trigonometrica o in forma esponenziale, e poiché la relazione tra la seconda e la terza forma è pressoché ovvia, in questa lezione procederemo in due blocchi. Nella prima parte elencheremo le formule per le operazioni tra numeri complessi in forma algebrica, nella seconda quelle relative alle operazioni tra numeri complessi in forma trigonometrica.

 

Partendo dalla forma algebrica mostreremo come calcolare la somma, la differenza, il prodotto e il rapporto di numeri complessi; successivamente spiegheremo come si scrivono e come si effettuano tali operazioni quando i numeri complessi sono espressi in forma trigonometrica o in forma esponenziale.

 

Operazioni tra numeri complessi in forma algebrica

 

Prima di procedere, vi ricordiamo la definizione di unità immaginaria

 

i = √(-1)

 

e che, dalla stessa definizione, seguono le identità

 

i^2 = -1 ; i^3 = -√(-1) = -i ; i^4 = +1

 

che si ripetono ciclicamente in base al resto della divisione tra l'esponente e 4

 

i^n = i se n:4 → resto 1 ;-1 se n:4 → resto 2 ;-i se n:4 → resto 3 ;+1 se n:4 → resto 0 ; per n∈N

 

Consideriamo due numeri complessi z,w∈C dati in forma algebrica, cioè scritti come somma di parte reale e parte immaginaria:

 

z = a+ib ; w = c+id

 

le operazioni elementari in campo complesso sono definite come spiegato di seguito.

 

Somma di numeri complessi

 

La somma di due numeri complessi

 

z+w

 

è il numero complesso che ha come parte reale la somma delle parti reali e come parte immaginaria la somma delle parti immaginarie.

 

z+w = (a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d)

 

Differenza di numeri complessi

 

Per calcolare la differenza tra due numeri complessi

 

z-w

 

dovremo procedere in modo analogo rispetto al caso della somma, infatti possiamo considerare z-w come somma algebrica tra z e (-w), ossia tra

 

z = a+ib e l'opposto di w = c+id

 

Di conseguenza la differenza di due numeri complessi è il numero complesso avente come parte reale la differenza tra le parti reali e come parte immaginaria la differenza tra le parti immaginarie.

 

z-w = (a+ib)-(c+id) = (a-c)+i(b-d)

 

Prodotto di due numeri complessi

 

Nel caso del prodotto tra numeri complessi

 

z·w

 

possiamo procedere con una formula diretta. Nulla però ci vieta di calcolare il prodotto tra i due numeri sviluppandolo come siamo abituati a fare nel calcolo letterale, ossia considerando le due forme algebriche come polinomi

 

z·w = (a+ib)(c+id) = (ac-bd)+i(ad+bc)

 

Come abbiamo già anticipato tale formula viene dedotta sviluppando i calcoli:

 

z·w = (a+ib)(c+id) = ac+iad+ibc+i^2bd = ac+i(ad+bc)-bd = (ac-bd)+i(ad+bc)

 

dove nel penultimo passaggio abbiamo semplicemente riscritto il quadrato dell'unità immaginaria come i^2 = -1, infatti

 

i^2 = i·i = √(-1)√(-1) = (√(-1))^2 = -1

 

Rapporto di due numeri complessi

 

Come nel caso del prodotto, disponiamo di una comoda formula anche per calcolare il rapporto

 

(z)/(w)

 

per scriverlo in forma algebrica. In questo caso capire il modus operandi piuttosto che imparare la formula a memoria non è importante, bensì essenziale, perché imparando il metodo di calcolo perderemo ogni dipendenza dalla formula e saremo sicuri di svolgere correttamente gli esercizi. ;)

 

(z)/(w) = (a+ib)/(c+id) = (ac+bd)/(c^2+d^2)+i(bc-ad)/(c^2+d^2)

 

Calcolare il rapporto tra i numeri complessi z e w significa scrivere il numero (z)/(w) come somma di una parte reale e di una parte immaginaria moltiplicata per i, vale a dire

 

(z)/(w) = x+iy

 

dove a priori non sappiamo che forma abbiano x,y. L'unico modo sensato di procedere consiste nell'eliminare la componente immaginaria presente a denominatore, in modo da poter dividere il numeratore termine a termine. Perché? Semplicemente perché tale operazione può essere svolta solo se il denominatore è reale.

 

Ricordando che i^2 = -1 possiamo fare riferimento ad un noto prodotto notevole

 

(m+n)(m-n) = m^2-n^2

 

e moltiplicare e dividere la frazione per c-id, in modo da sfruttare il prodotto notevole appena scritto

 

(z)/(w) = (a+ib)/(c+id) = (a+ib)/(c+id)·(c-id)/(c-id) = (ac-iad+ibc-i^2bd)/(c^2-i^2d^2) =

 

dato che i^2 = -1

 

= ((ac+bd)+i(bc-ad))/(c^2+d^2) = (ac+bd)/(c^2+d^2)+i(bc-ad)/(c^2+d^2)

 

Nota bene: nella penultima uguaglianza la parte immaginaria a denominatore è magicamente scomparsa. ;)

 

Operazioni tra numeri complessi in forma trigonometrica

 

Ripercorriamo lo schema precedente e vediamo come effettuare le operazioni in campo complesso quando i numeri z,w∈C sono espressi in forma trigonometrica, ossia mediante rappresentazioni del tipo

 

z = r_1[cos(θ_1)+isin(θ_1)] ; w = r_2[cos(θ_2)+isin(θ_2)]

 

Per quanto riguarda somma e differenza di numeri complessi in forma trigonometrica si tratta di scrivere i due numeri in forma estesa moltiplicando il modulo per i due addendi tra parentesi

 

z = r_1cos(θ_1)+i r_1sin(θ_1) ; w = r_2cos(θ_2)+i r_2sin(θ_2)

 

e di procedere in modo del tutto analogo a quello visto nel caso dei numeri in forma algebrica. Dovremo solamente sommare o sottrarre, a seconda dei casi, le parti reali e le parti immaginarie tra loro.

 

z+w = r_1[cos(θ_1)+isin(θ_1)]+r_2[cos(θ_2)+isin(θ_2)] = [r_1cos(θ_1)+r_2cos(θ_2)]+i[r_1sin(θ_1)+r_2sin(θ_2)] ; z-w = r_1[cos(θ_1)+isin(θ_1)]-r_2[cos(θ_2)+isin(θ_2)] = [r_1cos(θ_1)-r_2cos(θ_2)]+i[r_1sin(θ_1)-r_2sin(θ_2)]

 

In alternativa si può passare dalla forma trigonometrica alla forma algebrica calcolando i valori di seno e coseno nei rispettivi argomenti, per poi procedere alla somma tra due numeri complessi in forma algebrica, ed infine passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica.

 

Il calcolo di prodotto e rapporto di numeri complessi in forma polare invece si effettua mediante due utilissime formule, che si dimostrano una volta per tutte e che ci permettono di risparmiare parecchi conti:

 

z·w = r_1[cos(θ_1)+isin(θ_1)]·r_2[cos(θ_2)+isin(θ_2)] = r_1r_2[cos(θ_1+θ_2)+isin(θ_1+θ_2)] ; (z)/(w) = (r_1[cos(θ_1)+isin(θ_1)])/(r_2[cos(θ_2)+isin(θ_2)]) = (r_1)/(r_2)[cos(θ_1-θ_2)+isin(θ_1-θ_2)]

 

Le dimostrazioni non sono affatto complicate e le lasciamo per esercizio a voi lettori. Suggerimenti:

 

- nel caso del prodotto si moltiplicano i due fattori termine a termine e si sfruttano le formule trigonometriche per la somma degli angoli;

 

- nella dimostrazione della formula del rapporto si dovrà eliminare la parte immaginaria a denominatore moltiplicando e dividendo la frazione per cos(θ_2)-isin(θ_2). Fatto ciò si dovranno applicare le formule trigonometriche per la differenza di angoli e l'identità fondamentale della Trigonometria.

 

Operazioni tra numeri complessi in forma esponenziale

 

Nel caso di due numeri complessi in forma esponenziale z,w valgono considerazioni analoghe rispetto al caso trigonometrico.

 

z = r_1e^(iθ_1) ; w = r_2e^(iθ_2)

 

Per calcolare somma e differenza di due numeri complessi in forma esponenziale conviene passare dalla forma esponenziale alla forma algebrica, perché in caso contrario ci troveremmo ad avere

 

z+w = r_1e^(iθ_1)+r_2e^(iθ_2) ; z-w = r_1e^(iθ_1)-r_2e^(iθ_2)

 

che all'atto pratico non è particolarmente utile. Dunque ricaveremo la forma algebrica, effettueremo la somma/differenza ed infine passeremo dalla forma algebrica alla forma esponenziale.

 

Per prodotto e quoziente di due numeri complessi in forma esponenziale possiamo appellarci alle proprietà delle potenze

 

z·w = r_1e^(iθ_1)·r_2 e^(iθ_2) = r_(1)r_2 e^(i(θ_1+θ_2)) ; (z)/(w) = (r_1e^(iθ_1))/(r_2e^(iθ_2)) = (r_1)/(r_2)e^(i(θ_1-θ_2))

 

Si noti il legame tra queste ultime formule e quelle del caso trigonometrico: l'identità di Eulero ci permette di passare dalle une alle altre molto velocemente.

 

e^(iA) = cos(A)+isin(A)

 

Esempi sulle operazioni tra numeri complessi

 

Proponiamo un esempio per ciascuna delle formule elencate nella lezione.

 

 

S-A) (5+4i)+(7-8i) = (5+7)+i(4-8) = 12-4i

 

 

D-A) (5+4i)-(7-8i) = (5-7)+i(4-(-8)) = -2+12i

 

 

P-A) (5+4i)·(7-8i)

 

Svolgiamo l'usuale prodotto tra due polinomi e moltiplichiamo termine a termine

 

(5+4i)·(7-8i) = 35-40i+28i-32i^2 = 35-40i+28i+32 = 67-12i

 

 

R-A) (5+4i)/(7-8i)

 

Moltiplichiamo e dividiamo per il denominatore con parte immaginaria cambiata di segno, in modo da passare ad un rapporto con denominatore reale

 

(5+4i)/(7-8i) = (5+4i)/(7-8i)·(7+8i)/(7+8i) = (35+40i+28i+32i^2)/(49+56i-56i-64i^2) = (3+68i)/(113) = (3)/(113)+i(68)/(113)

 

dove nell'ultimo passaggio abbiamo diviso termine a termine.

 

 

S-T) √(2)[cos((π)/(4))+isin((π)/(4))]+√(3)[cos((π)/(3))+isin((π)/(3))]

 

Qui possiamo procedere con la somma dei vari termini e con l'usuale riordinamento, in alternativa possiamo fare affidamento alla tabella dei valori delle funzioni goniometriche e riscrivere la somma nella forma

 

√(2)((√(2))/(2)+i(√(2))/(2))+√(3)((1)/(2)+i(√(3))/(2)) = 1+i+(√(3))/(2)+i(3)/(2) =

 

Non ci resta che mettere in evidenza parte reale e parte immaginaria

 

= (1+(√(3))/(2))+i(5)/(2)

 

 

D-T) Provate a calcolare, per esercizio, la differenza dei due numeri complessi dell'esempio precedente. ;)

 

 

P-T) √(2)[cos((π)/(4))+isin((π)/(4))]·√(3)[cos((π)/(3))+isin((π)/(3))]

 

Nel caso del prodotto tra numeri complessi in forma trigonometrica ci avvaliamo della relativa formula: prodotto dei moduli e somma degli argomenti

 

√(2)√(3)[cos((π)/(4)+(π)/(3))+isin((π)/(4)+(π)/(3))] =

 

Riguardo al modulo usiamo una semplicissima proprietà dei radicali

 

√(6)[cos((7π)/(12))+isin((7π)/(12))]

 

L'argomento rientra nell'elenco degli angoli notevoli ma ricordarne i corrispondenti valori di seno e coseno non è semplice, per cui se volessimo esprimere il risultato in forma algebrica potremmo fare un passo indietro e ricorrere alle formule di addizione degli archi. ;)

 

 

R-T) (√(2)[cos((π)/(4))+isin((π)/(4))])/(√(3)[cos((π)/(3))+isin((π)/(3))])

 

Nel caso del rapporto di numeri complessi in forma trigonometrica applichiamo la formula: rapporto dei moduli e differenza delle anomalie

 

(√(2))/(√(3))[cos((π)/(4)-(π)/(3))+isin((π)/(4)-(π)/(3))] = √((2)/(3))[cos(-(π)/(12))+isin(-(π)/(12))]

 

Anche qui valgono considerazioni analoghe rispetto al caso precedente.

 

 

S-E) √(5)e^(i(π)/(2))+√(5)e^(iπ)

 

Scegliamo di lavorare con argomento compreso nell'intervallo [0,2π) e usiamo l'identità di Eulero per ricondurci alla forma trigonometrica

 

√(5)[cos((π)/(2))+isin((π)/(2))]+√(5)[cos(π)+isin(π)] =

 

da cui

 

= √(5)(0+i)+√(5)(-1+i·0) = -√(5)+i√(5)

 

A voi il compito facoltativo di calcolare modulo e argomento del risultato in modo da esprimerlo in forma esponenziale.

 

 

D-E) Con gli stessi numeri complessi dell'esempio precedente, lasciato per esercizio al lettore. Attenzione: se scegliete di lavorare in [0,2π) dovrete eventualmente esprimere l'argomento del risultato nell'intervallo di riferimento. ;)

 

 

P-E) √(5)e^(i(π)/(2))·√(5)e^(iπ)

 

Scegliamo di lavorare in [0,2π) e applichiamo la formula

 

√(5)√(5)e^(i((π)/(2)+π)) = 5e^(i(3)/(2)π)

 

 

R-E) (√(5)e^(i(π)/(2)))/(√(5)e^(iπ))

 

In modo analogo rispetto all'esempio precedente, lavorando nell'intervallo [0,2π)

 

(√(5))/(√(5))e^(i((π)/(2)-π)) = e^(-i(π)/(2))

 

Attenzione: l'argomento del risultato non appartiene a [0,2π), dunque dobbiamo individuare l'angolo trigonometricamente equivalente, che in questo caso è (3)/(2)π. In definitiva il risultato è e^(i(3)/(2)π).

 

 

Per chiudere in bellezza la lezione (e per non farvi mancare proprio nulla) vi rimandiamo ad ulteriori approfondimenti con relativi esempi svolti:

 

- somma di numeri complessi

 

- differenza di numeri complessi

 

- prodotto di numeri complessi

 

- divisione tra numeri complessi

 

 

 

I più attenti di voi avranno certamente notato che non abbiamo fatto alcuna menzione riguardo al coniugato complesso, all'elevamento a potenza e al calcolo delle radici. Riteniamo opportuno trattare tali operazioni in tre lezioni a parte: coniugato complesso, formula di De Moivre, radici di un numero complesso.

 

Se volete vedere esempi o esercizi svolti, o in caso di dubbi, potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. A proposito: qui su YM c'è anche un comodo tool per svolgere le operazioni tra numeri complessi online. ;)

 

 

Vale, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: formule per le operazioni con i numeri complessi - come calcolare il prodotto di numeri complessi - come calcolare il rapporto tra numeri complessi - divisione con i numeri complessi.

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