Formula di De Moivre

La formula di De Moivre è una formula che si applica in campo complesso e che permette di calcolare la potenza di un numero complesso qualsiasi espresso in forma trigonometrica o in forma esponenziale.

 

Dopo esserci occupati delle operazioni con i numeri complessi, in questa lezione trattiamo un'ulteriore operazione di base: l'elevamento a potenza di un numero complesso. A tal proposito esiste una formula di semplice applicazione - la formula di De Moivre - che utilizzeremo ogni volta che dovremo calcolare una potenza di un numero complesso con esponente intero.

 

Dato che la pratica ci interessa tanto quanto la teoria, qui di seguito vi forniremo una scaletta che vi permetterà di calcolare la potenza di un qualsiasi numero complesso indipendentemente dalla forma con cui si presenta: algebrica, trigonometrica, esponenziale. Fatto ciò vi proporremo un paio di esempi svolti e, come di consueto, una scheda di esercizi correlati. ;)

 
 
 

Potenze di numeri complessi con la formula di De Moivre

 

Oltre che negli esercizi creati ad hoc (quelli ideati appositamente per far applicare la formuletta) la formula di De Moivre risulta di grande utilità nella risoluzione delle equazioni in campo complesso e più in generale nella risoluzione algebrica dei vari esercizi in \mathbb{C}.

 

Per poter applicare la formula di De Moivre dovremo innanzitutto avere un numero complesso in forma trigonometrica o in forma esponenziale. E se avessimo a che fare con un numero complesso in forma algebrica? Vale la pena di distinguere diversi casi...

 

 

1) Vogliamo calcolare la potenza di un numero complesso z\in\mathbb{C} con esponente n dato da un numero naturale

 

z^n\ \ \ \mbox{con }n\in\mathbb{N}

 

Supponiamo di ragionare nel caso più generale possibile, e dunque che il numero z sia espresso in forma algebrica, vale a dire nella forma

 

z=a+ib\ \ \ \mbox{con }a,b\in\mathbb{R}

 

Nel caso di un numero z scritto in forma trigonometrica o in forma esponenziale possiamo passare direttamente al punto 3).

 

 

2) Calcoliamo modulo e argomento di z, rispettivamente r,\theta, in modo da passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica

 

z=r[\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)}]

 

o eventualmente dalla forma algebrica alla forma esponenziale

 

z=re^{i\theta}

 

Fatto ciò possiamo passare al punto 3).

 

 

3) Se il numero complesso è dato (o lo abbiamo riscritto) in forma trigonometrica

 

z=r(\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)})

 

applichiamo direttamente la formula di De Moivre, secondo cui la potenza di un numero complesso si ottiene elevando il modulo all'esponente e moltiplicando l'argomento per l'esponente

 

z^n=r^n(\cos{(n \theta)}+i\sin{(n \theta)})

 

Se invece abbiamo (riscritto) il numero complesso in forma esponenziale

 

z=re^{i\theta}

 

allora la formula di De Moivre è ancor più immediata rispetto al caso 2)

 

z^n=r^ne^{i n\theta}

 

In entrambi i casi si evince immediatamente una formulazione equivalente della formula di De Moivre: la potenza n-esima di un numero complesso z\in\mathbb{C}, con n\in\mathbb{N}, è un numero complesso avente modulo dato dalla potenza n-esima del modulo di partenza e argomento dato dal prodotto tra n e l'argomento di partenza.

 

\begin{matrix}& \ \ \ \ z\ \ \ & \ \ \ z^n\ \ \ \\ \\ \hline \\ \mbox{modulo} \ \ \ & r & r^n\\ \\ \hline \\  \mbox{argomento}\ \ \ & \theta & n\theta\end{matrix}

 

In riferimento alla rappresentazione dei numeri complessi nel piano di Argand-Gauss si capisce facilmente qual è il significato geometrico dell'elevamento a potenza di un numero complesso: esso comporta un elevamento a potenza del modulo del numero complesso ( r\to r^n ), mentre produce nell'argomento una dilatazione ( \theta\to n\theta ).

 

Dimostrazione della formula di De Moivre

 

Si noti che le formulazioni proposte in 3) sono del tutto equivalenti, alla luce della formula di Eulero

 

e^{i\theta}=\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)}

 

Con tale premessa è sufficiente applicare le ben note proprietà delle potenze a partire dalla potenza della forma esponenziale

 

z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{i n \theta}

 

da cui si ricava

 

z^n=r^ne^{i n \theta}=r^n[\cos{(n \theta)}+i\sin{(n \theta)}]

 

La dimostrazione della formula di De Moivre è quindi una pura e semplice applicazione della formula di Eulero. Nulla di complicato. :)

 

Alternativa alla formula di De Moivre

 

Nel caso di potenze con esponente "piccolo" come ad esempio n=2,\ n=3, e di numeri complessi espressi in forma algebrica, nulla ci vieta di sviluppare i conti "a mano". Tenendo presente come si calcolano le potenze dell'unità immaginaria, avremo

 

\\ (a+ib)^2=a^2+i2ab-b^2\\ \\ (a+ib)^3=a^3+3a^2ib-3ab^2-ib^3

 

In altri termini si tratta di applicare i prodotti notevoli per il quadrato di un binomio e per il cubo di un binomio. Per potenze di grado superiore potremmo ricavare lo sviluppo mediante la regola per la potenza di un binomio, ma è ben più conveniente fare affidamento alla formula di De Moivre.

 

Esempi di applicazione della formula di De Moivre

 

1) Calcoliamo la potenza z^5 del numero complesso

 

z=1+i

 

Svolgimento: cominciamo con il modulo di z

 

r=| 1+i |=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}

 

Passiamo all'argomento e scegliamo di lavorare in [0,2\pi). Prima di procedere osserviamo che siamo nel primo quadrante del piano complesso, in quanto parte reale e parte immaginaria di z sono positivi

 

\theta=Arg(1+i)=\arctan{(1)}=\frac{\pi}{4}

 

Scriviamo il numero complesso in forma trigonometrica

 

1+i=\sqrt{2}\left(\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)

 

e concludiamo calcolandone la potenza quinta

 

\\ (1+i)^5=\sqrt{2^5}\left(\cos{\left(\frac{5 \pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{5 \pi}{4}\right)}\right)=\\ \\ \\ =2^{\frac{5}{2}}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)=-4-4i

 

 

2) [Intervallo per l'argomento] Come ormai ben saprete l'argomento di un numero complesso può essere definito in intervalli diversi. Non importa quale sarà la nostra scelta, ciò che conta è svolgere i calcoli e scrivere i risultati in modo coerente con la scelta effettuata.

 

Consideriamo il numero complesso del precedente esempio

 

z=1+i

 

e scriviamone la forma trigonometrica, supponendo di lavorare nell'intervallo [0,2\pi)\ni\theta

 

1+i=\sqrt{2}\left(\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)

 

Se volessimo calcolare la potenza z^{12} otterremmo, in forza di De Moivre

 

\\ (1+i)^{12}=(\sqrt{2})^{12}\left(\cos{\left(12\cdot \frac{\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(12\cdot \frac{\pi}{4}\right)}\right)=\\ \\ \\ =\64\left(\cos{\left(3\pi\right)}+i\sin{\left(3\pi\right)}\right)=\\ \\ \\

 

Se decidessimo di lasciare il risultato in forma trigonometrica la precedente scrittura non sarebbe coerente con la scelta effettuata: per concludere l'esercizio dovremmo esprimere la forma polare con un argomento \theta\in [0,2\pi), dunque per la periodicità di seno e coseno

 

\\ (1+i)^{12}=\64\left(\cos{\left(\pi\right)}+i\sin{\left(\pi\right)}\right)

 

infatti

 

\\ \sin(\pi)=\sin(\pi+2\pi)=\sin(3\pi)\\ \\ \cos(\pi)=\cos(\pi+2\pi)=\cos(3\pi)

 

Se invece avessimo convenuto di ricavare la forma algebrica, avremmo potuto procedere direttamente con i calcoli senza ridurci all'intervallo [0,2\pi)\ni\theta

 

\\ (1+i)^{12}=\64\cdot (0-i)=-64i

 

 


 

Nella lezione successiva vedremo un'applicazione inversa della formula di De Moivre per il calcolo delle radici di un numero complesso, inoltre sappiate che qui su YM c'è un apposito tool per calcolare le potenze complesse online. ;)

 

Se siete in cerca di esercizi svolti sappiate che qui su YM abbiamo risposto a migliaia di domande e che ci sono altrettanti esercizi risolti. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Totsiens, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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