Radici di un numero complesso

Ogni numero complesso ammette esattamente n radici complesse n-esime, che possono essere calcolate mediante un'apposita formula a partire dalla forma trigonometrica del numero complesso.

 

Continuiamo con l'esposizione delle operazioni in campo complesso, e vediamo la formula per calcolare le radici di un numero complesso.

 

A differenza del campo reale, in cui ad esempio la radice quadrata di un numero negativo non esiste, quando calcoliamo le radici n-esime di un numero z\in\mathbb{C} esistono sempre n radici n-esime. In questa lezione mostriamo il metodo per calcolare le radici complesse di un numero, per poi passare ad esempi ed esercizi svolti.

 
 
 

Come calcolare le radici di un numero complesso

 

Supponiamo di voler determinare le n radici n-esime di un numero complesso z\in\mathbb{C}. Per farlo ci servirà una formula che deriva direttamente dalla formula di De Moivre, e ancor prima dovremo scrivere z in forma trigonometrica.

 

Vediamo una rapida scaletta che ci permetta di calcolare le radici \sqrt[n]{z} in qualsiasi caso possibile.

 

 

1) Dobbiamo scrivere z in forma trigonometrica, cioè come

 

z=r(\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)})\ \ \ (\bullet)

 

dove r,\theta indicano rispettivamente il modulo e l'argomento del numero complesso z. Di conseguenza il primo passo dipenderà da come è dato z, ma in ogni caso ci basterà saperne calcolare modulo e argomento.

 

 

1.a) Se z è scritto in forma algebrica

 

z=a+ib

 

dobbiamo passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica.

 

Per farlo è sufficiente calcolarne modulo e argomento, rispettivamente r,\theta con

 

r\ge 0\ \ \ ;\ \ \ \theta\in [0,2\pi) \mbox{ oppure } \theta \in (-\pi, \pi]

 

e lo scriviamo nella forma (\bullet).

 

 

1.b) Se z è definito in forma esponenziale possiamo passare alla forma (\bullet) senza fare neanche mezzo calcolo, perché disponiamo già di r,\theta.

 

Un numero in forma esponenziale si presenta infatti mediante una rappresentazione del tipo

 

z=r e^{i\theta}

 

 

1.c) Se z è in forma trigonometrica passiamo direttamente al punto 2).

 

 

2) Partendo dalla scrittura

 

z=r(\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)})

 

applichiamo la formula per le radici complesse

 

\\ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta +2k\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}\right)\\ \\ \\ \mbox{con }k\in\{0,1,...,(n-1)\}

 

dove k è un numero naturale che varia tra \{0,1,...,(n-1)\}. Al variare di k la formula per le radici del numero complesso z descrive tutte le n radici n-esime di z.

 

\\ k=0\ :\ \ \ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta}{n}\right)}\right)\\ \\ \\ k=1\ :\ \ \ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta +2\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2\pi}{n}\right)}\right)\\ \\ \ \vdots\\ \\ k=n-1\ :\ \ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta +2(n-1)\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}\right)}\right)

 

L'angolo \frac{\theta}{n} è detto argomento principale o anomalia principale delle radici.

 

3) Beviamoci un caffé, non c'è nient'altro da fare. ;)

 

 

Si noti che, applicando la formula di De Moivre alle radici \sqrt[n]{z} scritte sopra e calcolandone le potenze n-esime, ricaviamo z in ognuno dei casi considerati in forza della periodicità di seno e coseno.

 

Esempio di calcolo delle radici n-esime di un numero complesso

 

Proviamo a calcolare a titolo esemplificativo tutte le radici quarte del seguente numero in campo complesso

 

z=3+i\sqrt{3}

 

Prima di tutto dobbiamo determinare il modulo di z

 

r=|z|=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}

 

Passiamo all'argomento. Dal momento che siamo nel primo quadrante del piano di Argand-Gauss (parte reale e parte immaginaria del numero complesso sono positive) il calcolo dell'argomento, in questo caso specifico, non dipende dall'intervallo di definizione dell'angolo \theta.

 

\theta=Arg(z)=\arctan{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}=\frac{\pi}{6}

 

Siamo pronti per esprimere z in forma trigonometrica

 

z=2\sqrt{3}\left(\cos{\left(\frac{\pi}{6}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}\right)

 

A questo punto possiamo applicare la formula per le 4 radici quarte, dunque consideriamo n=4 e scriviamo

 

\sqrt[4]{3+i\sqrt{3}}=\sqrt[4]{2\sqrt{3}}\left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{6} +2k\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{6}+2k\pi}{4}\right)}\right)

 

Se vogliamo scrivere esplicitamente ciascuna delle quattro radici

 

\\ \sqrt[4]{3+i\sqrt{3}}=\sqrt[4]{2\sqrt{3}}\left(\cos{\left(\frac{\pi}{24}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi}{24}\right)}\right)\\ \\ \\ \sqrt[4]{3+i\sqrt{3}}=\sqrt[4]{2\sqrt{3}}\left(\cos{\left(\frac{13 \pi}{24}\right)}+i\sin{\left(\frac{13 \pi}{24}\right)}\right)\\ \\ \\ \sqrt[4]{3+i\sqrt{3}}=\sqrt[4]{2\sqrt{3}}\left(\cos{\left(\frac{25 \pi}{24}\right)}+i\sin{\left(\frac{25 \pi}{24}\right)}\right)\\ \\ \\ \sqrt[4]{3+i\sqrt{3}}=\sqrt[4]{2\sqrt{3}}\left(\cos{\left(\frac{37 \pi}{24}\right)}+i\sin{\left(\frac{37 \pi}{24}\right)}\right)

 

e abbiamo finito. Possiamo lasciare le radici scritte nella forma precedente perché gli angoli coinvolti non sono notevoli; più in generale dovremo fare riferimento alla tabella dei valori delle funzioni goniometriche per esprimere i risultati in forma algebrica, mentre nel caso di angoli non notevoli potremo limitarci a lasciare i risultati in forma trigonometrica. 

 

Metodo particolare per le radici quadrate complesse

 

Torniamo per un momento sull'ultima affermazione. Il metodo ci permette in generale di esprimere le n radici ennesime in forma trigonometrica da cui, con le dovute valutazioni, possiamo ricavare la forma algebrica. Purtroppo la pratica non è sempre rose e fiori e potrebbe capitarci di lavorare con argomenti non notevoli, nel qual caso in generale non saremmo in grado di ricavare la forma algebrica.

 

In alcuni casi particolari potremmo cavarcela con qualche formula trigonometrica o, eventualmente, esprimendo l'argomento sotto forma di arcotangente per poi applicare le relative regole di composizione, e qui il discorso scivola inevitabilmente sulla Trigonometria. C'è anche da considerare che non esiste una regola generale né un elenco di casi particolari da tenere a mente...

 

L'unica eventualità degna di nota riguarda il calcolo delle radici quadrate complesse. Se, dopo aver applicato il suddetto metodo, dovessimo sfortunatamente imbatterci in due radici in forma trigonometrica con angoli non notevoli, potremmo tentare un approccio di tipo algebrico ed eludere il problema. Esponiamolo prima in termini astratti per poi applicarlo in un esempio concreto.

 

Supponiamo di voler calcolare le radici quadrate complesse del numero

 

z=a+ib

 

Per determinarle consideriamo un generico numero complesso x+iy e imponiamo

 

(x+iy)^2=a+ib

 

Usiamo la regola del quadrato del binomio e ricordiamoci le proprietà dell'unità immaginaria

 

x^2+2ixy-y^2=a+ib

 

Se ordiniamo parte reale e parte immaginaria al primo membro

 

x^2-y^2+2ixy=a+ib

 

possiamo procedere al confronto e ricavare un sistema di due equazioni in due incognite

 

\begin{cases}x^2-y^2=a\\ 2xy=b\end{cases}

 

Risolvendo il sistema per sostituzione saremo in grado di ridurre la prima equazione ad un'equazione trinomia di quarto grado in una incognita reale. Non dimenticate che x,y sono entrambi numeri reali perché corrispondono rispettivamente alla parte reale e alla parte immaginaria.

 

Otterremo quindi due coppie di soluzioni (x_1,y_1)\mbox{ e }(x_2,y_2) che individueranno le radici quadrate complesse di a+ib

 

z_1=x_1+y_1\ \ \ ;\ \ \ z_2=x_2+iy_2

 

Esempio

 

Calcoliamo le radici quadrate di (3-4i) in campo complesso.

 

Svolgimento: lasciamo a voi il compito di scoprire che l'anomalia principale produce argomenti non notevoli e procediamo con il metodo alternativo. Qui scriviamo direttamente il sistema ma vi sconsigliamo di ricordarvelo a memoria, perché è molto più comodo ricavarlo in pochi passaggi partendo dalla logica del metodo.

 

\begin{cases}x^2-y^2=3\\ 2xy=-4\end{cases}

 

Esprimiamo y in termini di x nella seconda equazione ed effettuiamo la relativa sostituzione nella prima

 

\begin{cases}x^2-\left(-\frac{2}{x}\right)^2=3\\ y=-\frac{2}{x}\end{cases}

 

Con semplici calcoli ricaviamo

 

x^2-\frac{4}{x^2}=3

 

da cui, moltiplicando entrambi i membri per x^2 e imponendo la condizione di esistenza x\neq 0

 

x^4-3x^2-4=0

 

Risolviamola

 

x_{1,2}^2=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\begin{cases}4\ \mbox{OK}\\ -1\ \mbox{N.A.}\end{cases}

 

La seconda soluzione non è accettabile perché x è un'incognita reale e il quadrato di un numero reale non può essere uguale a un numero negativo. L'equazione si riduce a

 

x^2=4\ \ \to\ \ x_{1,2}=\pm 2

 

da cui le soluzioni

 

y_{1,2}=-\frac{2}{x_{1,2}}=\mp 1

 

dove il simbolo \mp denota che i segni di y_{1,2} sono invertiti rispetto a x_{1,2}. In definitiva le radici quadrate del numero complesso 3-4i sono date da

 

z_1=2-i\ \ \ ;\ \ \ z_2=-2+i

 

Significato geometrico delle radici complesse

 

Riprendiamo per un istante la formula per le radici complesse e riscriviamola nella forma

 

\\ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}\right)\\ \\ \\ \mbox{con }k\in\{0,1,...,(n-1)\}

 

Oltre che un semplice metodo di calcolo, tale formula fornisce implicitamente un'interpretazione geometrica delle radici di un numero complesso nel piano di Argand-Gauss. Partendo dalla prima radice, ottenuta per k=0

 

\\ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos{\left(\frac{\theta}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta}{n}\right)}\right)

 

si vede che nel passaggio da k al successivo (k+1) viene sommato un angolo di ampiezza pari a \frac{2\pi}{n}.

 

Se consideriamo la rappresentazione delle radici complesse in coordinate possiamo dedurre che:

 

- le n radici sono disposte su una circonferenza trigonometrica di centro l'origine e raggio pari alla radice n-esima del modulo di z

 

C=(0,0)\ \ \ ;\ \ \ R=\sqrt[n]{|z|}=\sqrt[n]{r}

 

- a partire dalla prima radice (k=0), che corrisponde a un angolo pari all'ennesima parte dell'argomento di z

 

\frac{\mbox{Arg}(z)}{n}=\frac{\theta}{n}

 

possiamo ottenere la successiva radice aggiungendo un angolo pari al'ennesima parte dell'angolo giro

 

\frac{2\pi}{n}

 

e così via per le successive radici

 

\frac{\theta}{n}\ \ ;\ \ \frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n}\ \ ;\ \ \frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n}+\frac{2\pi}{n}\ \ ;\ \ ...

 

- Ovviamente le n radici coprono l'angolo giro e per k=n otteniamo un angolo trigonometricamente equivalente a quello di partenza, tornando così alla prima radice (k=0)

 

k=n:\ \ \ \frac{\theta}{n}+\frac{2n\pi}{n}=\frac{\theta}{n}+2\pi\equiv\frac{\theta}{n}

 

In definitiva le n radici complesse di z corrispondono ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza di raggio \sqrt[n]{r}. Ciò ovviamente è vero solo per indici di radici n\geq 3, poiché il triangolo equilatero è il poligono regolare con il minor numero di lati che si possa considerare.

 

 

Radici di un numero complesso

Rappresentazione delle radici del numero complesso 
nel piano di Argand-Gauss.

 

 


 

Non perdetevi la lezione successiva, in cui ci occuperemo delle disequazioni con i numeri complessi. :) Più in generale tenete a mente che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. Ad esempio c'è un comodo tool per calcolare le radici complesse online. ;)

 

 

Adiaŭ, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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