Teorema fondamentale dell'Algebra

Il teorema fondamentale dell'Algebra stabilisce che un qualsiasi polinomio a coefficienti reali o complessi di grado n≥1 ammette almeno una radice complessa, da cui segue che un qualsiasi polinomio a coefficienti reali o complessi di grado n ammette sempre n radici complesse contate con le relative molteplicità.

In questa lezione ci occuperemo del teorema fondamentale dell'Algebra e vedremo quali sono le sue principali conseguenze, spiegandone in dettaglio il significato e l'utilità teorico-pratica.

Prerequisiti per il teorema fondamentale dell'Algebra

Prima di entrare nel vivo dell'argomento è necessario avere ben chiaro cos'è un polinomio e soprattutto ricordare due semplici ma basilari definizioni che daremo per scontate nel corso della lezione.

Definizione (Radice di un polinomio)

Dato un polinomio a coefficienti reali o complessi, diremo che $a \in \mathbb{C}$ è una sua radice (o un suo zero) se la valutazione del polinomio in è nulla.

$a \mbox{ radice di }p(x)\ \mbox{sse }\ p(a)=0$

Ad esempio è una radice del polinomio

infatti

$p(2)=2^3-5\cdot (2^2)+11\cdot 2 - 10 = 8-20+22-10 = 0$

Definizione (Molteplicità di una radice)

Consideriamo ancora un polinomio a coefficienti reali o complessi e sia $n\geq 1$ un numero naturale. Si dice che è una radice di con molteplicità se e solo se è divisibile per ma non è divisibile per $(x-a)^{n+1}$ .

$a\mbox{ radice di }p(x)\mbox{ con molteplicit}\grave{\mbox{a}}\ n\mbox{ sse }(x-a)^n\ |\ p(x),\ (x-a)^{n+1}\not |\ p(x)$

Ad esempio è una radice con molteplicità 3 del polinomio

Per rendersene conto basta effettuare un raccoglimento totale e scrivere

$p(x)=x^5-x^3=x^3(x^2-1)=x\cdot x \cdot x \cdot (x^2-1)$

In questo modo dovrebbe risultare evidente che annulla per ben 3 volte il polinomio , dunque è un suo zero con molteplicità tre.

Il teorema fondamentale dell'Algebra

Siamo pronti per enunciare le conseguenze del teorema fondamentale dell'Algebra.

Ogni polinomio a coefficienti reali o complessi, di grado maggiore o uguale a 1, ammette almeno una radice complessa.

In altri termini, dato un qualsiasi polinomio

$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0\ \ \mbox{ con } n\ge 1$

in virtù del teorema fondamentale dell'Algebra siamo sicuri che esso avrà almeno una radice complessa.

Si noti che l'enunciato del teorema potrebbe essere espresso in una formulazione più snella, poiché naturalmente l'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme dei numeri complessi: $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ .

Ogni polinomio a coefficienti complessi, di grado maggiore o uguale a 1, ammette almeno una radice complessa.

Osservazione (validità del teorema fondamentale dell'Algebra / insieme per le radici)

Attenzione: il teorema assicura l'esistenza di almeno una radice appartenente all'insieme $\mathbb{C}$ dei numeri complessi. Con questo vogliamo sottolineare che, in generale, il teorema fondamentale dell'Algebra non si esprime in merito all'esistenza di almeno una radice nell'insieme dei numeri reali.

Per convincersene basta considerare come controesempio il polinomio

Sebbene sia un polinomio a coefficienti reali non ammette radici reali; infatti l'equazione di secondo grado ad esso associata, ha discriminante negativo.

Dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra

Sfortunatamente qualsiasi possibile dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra non è accessibile agli studenti delle scuole superiori, né tantomeno agli universitari che abbiano seguito i primi corsi di Analisi Matematica. Bisogna infatti ricorrere a strumenti che solitamente si affrontano nei corsi di Analisi Complessa.

Se avete già seguito tale corso o pensate di avere le conoscenze adatte per comprenderla: dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra.

Conseguenze del teorema fondamentale dell'Algebra

1) Per chi ha una discreta dimestichezza con l'Algebra universitaria. Ricordando che l'insieme dei numeri complessi è un campo, e che un campo si dice algebricamente chiuso se ogni polinomio a coefficienti nel campo ammette almeno una radice appartenente ad esso, per il teorema fondamentale dell'Algebra possiamo concludere che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso.

2) Un'altra significativa conseguenza del teorema fondamentale dell'Algebra è in realtà un suo corollario, talmente importante che spesso, in alcuni libri di testo, lo si riporta proprio con il nome di teorema fondamentale dell'Algebra ma in realtà, lo ribadiamo ancora una volta, è solo un suo corollario.

Corollario del teorema fondamentale dell'Algebra

Ogni polinomio a coefficienti reali o complessi di grado ammette in $\mathbb{C}$ esattamente radici ciascuna contata con la relativa molteplicità.

In merito all'enunciato valgono considerazioni analoghe alle precedenti, e potremmo scriverlo nella forma più sintetica:

ogni polinomio a coefficienti complessi di grado ammette in $\mathbb{C}$ esattamente radici ciascuna contata con la relativa molteplicità.

Prima di scrivere la dimostrazione cerchiamo di capire il significato dell'enunciato. Finché abbiamo a che fare con polinomi di grado due o con polinomi facilmente scomponibili è un gioco da ragazzi calcolarne le radici e contarle. Ad esempio, per sapere quante radici ha il polinomio

basta risolvere l'equazione scomponibile

$x^4+x^2=0\ \ \ \iff\ \ \ x^2(x^2+1)=0$

e applicare la legge di annullamento del prodotto, così da avere

$x^2=0\ \ \mbox{ oppure }\ \ x^2+1=0$

Ci siamo così ricondotti a due equazioni di secondo grado. Dalla prima

$x^2=0\ \ \ \iff\ \ \ x_1=x_2=0$

si deduce che è una radice del polinomio con molteplicità 2. Dalla seconda

$x^2+1=0\ \ \ \iff\ \ \ x_3=i \ \vee \ x_4=-i$

dove indica l'unità immaginaria.

Come abbiamo visto nella lezione introduttiva sui numeri complessi, ogni numero reale è un particolare numero complesso avente parte immaginaria nulla. Di conseguenza il polinomio ammette in totale 4 radici complesse, dunque in numero pari al grado del polinomio .

Se però volessimo stabilire quante radici ha il polinomio

$q(x)=x^{10}+9x^9-7x^6-\sqrt{2}x^5-\frac{3}{2}x^3+12$

procedere a calcolarle per poi contarle sarebbe un'impresa folle. L'esempio mette bene in luce l'utilità del corollario del teorema fondamentale dell'Algebra: poiché il polinomio ha grado , esso avrà in $\mathbb{C}$ esattamente 10 radici contate con la loro molteplicità.

Osservazione (validità del corollario / insieme per le radici)

Anche il corollario, così come il teorema fondamentale, vale a patto di lavorare nell'insieme $\mathbb{C}$ dei numeri complessi.

Se si lavora nell'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ e volessimo sapere quante radici reali ha un polinomio di grado $n \ge 1$ , l'unica risposta che potremmo dare a priori è che ha al massimo radici, dove con "al massimo" intendiamo che non possiamo esprimere con esattezza il loro numero senza procedere al calcolo diretto.

L'unica eccezione in $\mathbb{R}$ riguarda per i polinomi a coefficienti reali di grado dispari. Un teorema di Analisi Complessa stabilisce che le eventuali radici complesse di un polinomio a coefficienti reali si presentano come coppie di complessi coniugati; alla luce di tale risultato, di cui omettiamo la dimostrazione, segue che un polinomio a coefficienti reali di grado dispari ammette almeno una radice reale.

Dimostrazione del corollario del teorema fondamentale dell'Algebra

Consideriamo un polinomio di grado . Se la tesi è banale, dunque ci concentriamo sul caso $n\geq 1$

$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0\ \ \mbox{ con } n\ge 1$

Vogliamo dimostrare che esso ha esattamente radici ciascuna contata con la relativa molteplicità.

Per il teorema fondamentale dell'algebra ha almeno una radice complessa, sia essa $x_1 \in \mathbb{C}$ . Per il teorema di Ruffini il binomio divide il polinomio

$p(x)=(x-x_1)\cdot g(x)$

dove è un polinomio di grado .

Applichiamo nuovamente il teorema fondamentale dell'Algebra: anche avrà almeno una radice complessa, sia essa $x_2 \in \mathbb{C}$ . Applichiamo nuovamente il teorema di Ruffini

$p(x)=(x-x_1)\cdot \underbrace{(x-x_2) \cdot q(x)}_{g(x)}$

con polinomio di grado .

Procedendo con lo stesso ragionamento altre volte otteniamo una scomposizione della forma

$p(x)=(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_n)$

il che dimostra l'asserto.

Siamo giunti al termine di questa intensa ma importantissima lezione. Nel corso dei vostri studi farete ricorso al teorema fondamentale dell'Algebra in tantissime occasioni, quindi vi raccomandiamo di non sottovalutarlo. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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