Dalla forma algebrica alla forma esponenziale e viceversa

In questa lezione vi mostreremo come ricavare la forma esponenziale di un numero complesso partendo dalla forma algebrica e viceversa, ossia come ottenere la rappresentazione algebrica conoscendone la rappresentazione esponenziale.

 

I due metodi che ci accingiamo ad esporre sono abbastanza meccanici, specie e soprattutto se avete già digerito il metodo per passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica. In ogni caso correderemo la spiegazione con svariati esempi svolti, in modo da non farvi mancare nulla. :)

 

Passaggio dalla forma algebrica alla forma esponenziale

 

Dato un numero complesso in forma algebrica

 

z=a+ib,\ \ \mbox{ con } a, b \in \mathbb{R}

 

per passare alla forma esponenziale

 

z=re^{i\theta}

 

basta calcolare il valore di r \mbox{ e } \theta, ossia determinare modulo e argomento del numero complesso z=a+ib. Come abbiamo visto nella lezione del link il modulo di un numero complesso si ottiene mediante la formula

 

r=\sqrt{a^2+b^2}

 

Il calcolo più delicato è quello che riguarda l'argomento \theta, che dipende dall'intervallo in cui si opera. Infatti:

 

\\ \bullet \ \mbox{Se } \theta \in (-\pi,\pi]:\\ \\ \\ \theta=\begin{cases}\frac{\pi}{2}\ \ \ \mbox{ se }a=0,\ b>0\\ \\ -\frac{\pi}{2}\ \ \ \mbox{ se }a=0,\ b<0\\ \\ \mbox{non definito}\ \ \ \mbox{ se }a=0,\ b=0\\ \\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}\ \ \ \mbox{ se }a>0,\ b\mbox{ qualsiasi}\\ \\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}+\pi\ \ \ \mbox{ se }a<0,\ b\geq 0\\ \\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}-\pi\ \ \ \mbox{ se }a<0,\ b< 0 \end{cases}

 

 

\\ \bullet \ \mbox{Se } \theta \in [0,2\pi):\\ \\ \\ \theta=\begin{cases}\frac{\pi}{2}\ \ \ \mbox{ se }a=0,\ b>0\\ \\ \frac{3\pi}{2}\ \ \ \mbox{ se }a=0,\ b<0\\ \\ \mbox{non definito}\ \ \ \mbox{ se }a=0,\ b=0\\ \\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}\ \ \ \mbox{ se }a>0,b\ge 0\\ \\ \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)}+2\pi\ \ \ \mbox{ se }a>0,\ b<0\\ \\ \arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi\ \ \ \mbox{ se }a<0, \mbox{ b qualsiasi}\end{cases}

 

dove in entrambi i casi il simbolo \arctan indica l'arcotangente.

 

Conoscendo la forma cartesiana del numero complesso abbiamo automaticamente il valore della parte reale a e della parte immaginaria b. Per risalire alla forma esponenziale dovremo solamente applicare le precedenti formule precedenti prestando attenzione all'intervallo di riferimento. Nel caso non fosse fornito esplicitamente dal testo dell'esercizio, sarà nostro compito sceglierlo.

 

Esempi di passaggio dalla forma algebrica alla forma esponenziale di un numero complesso

 

1) Rappresentare in forma esponenziale, per -\pi < \theta \le \pi, il numero complesso

 

z=\sqrt{3}-i

 

Svolgimento: la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso sono rispettivamente

 

\mbox{Re}(z)=\sqrt{3} \mbox{ e }\mbox{Im}(z)=-1

 

Calcoliamone il modulo

 

r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2

 

L'argomento \theta (attenzione al segno di parte reale e parte immaginaria e all'intervallo in cui varia \theta) è invece dato da

 

\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}

 

Possiamo quindi concludere che la forma esponenziale di z=\sqrt{3}-i è:

 

z=2e^{-\frac{\pi}{6}i}

 

 

2) Scrivere la forma esponenziale del seguente numero complesso per 0\le\theta<2\pi

 

z=1-i

 

Svolgimento: il numero complesso assegnato ha parte reale e parte immaginaria date rispettivamente da

 

\mbox{Re}(z)=1 \mbox{ e }\mbox{Im}(z)=-1

 

di conseguenza il suo modulo è

 

r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}

 

Poiché \theta \in [0,2\pi), ed essendo la parte reale positiva e quella immaginaria negativa, calcoliamo l'argomento con la formula

 

\\ \theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+2\pi=\\ \\ \\ =\arctan\left(\frac{-1}{1}\right)+2\pi=\arctan(-1)+2\pi=-\frac{\pi}{4}+2\pi = \frac{7}{4}\pi

 

Abbiamo scoperto che la forma esponenziale del numero complesso in esame è

 

z=\sqrt{2}e^{\frac{7}{4}\pi i}

 

Passaggio dalla forma esponenziale alla forma algebrica

 

Partendo dalla rappresentazione esponenziale di un numero complesso

 

z=re^{i\theta}

 

disponiamo immediatamente del modulo r e dell'argomento \theta.

 

Il problema del passaggio alla forma cartesiana

 

z=a+ib

 

si riduce quindi a dover calcolare parte reale a e parte immaginaria b di un numero complesso conoscendone modulo e argomento. Nella pratica dobbiamo applicare le stesse formule che ci permettono di passare dalla forma trigonometrica alla forma cartesiana:

 

(\spadesuit) \ \begin{cases}a=r\cos(\theta) \\ b=r\sin(\theta) \end{cases}

 

che discendono dai teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli, come evidenziato dalla seguente immagine.

 

 

Passare dalla forma esponenziale alla cartesiana

Legame tra forma esponenziale e forma algebrica dei numeri complessi.

 

 

Se per un motivo qualsiasi non le dovessimo ricordare, ci basterà ricorrere all'identità di Eulero

 

e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) \mbox{ per ogni } \theta \in \mathbb{R}

 

così da avere

 

z=re^{i\theta}=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]

 

A questo punto è sufficiente calcolare seno e coseno dell'angolo \theta e moltiplicare per r per ottenere la forma cartesiana del numero complesso.

 

Esempi di passaggio dalla forma esponenziale alla forma algebrica

 

1) Qual è la forma cartesiana del seguente numero complesso?

 

z=5e^{i\frac{\pi}{6}}

 

Svolgimento: innanzitutto determiniamo modulo e argomento di z:

 

r=5 \mbox{ e } \theta=\frac{\pi}{6}=30^{\circ}

 

Serviamoci delle formule

 

(\spadesuit) \ \begin{cases}a=r\cos(\theta) \to a=5 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ b=r\sin(\theta) \to b=5\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \end{cases}

 

Ricordando il valore del coseno di 30 gradi otteniamo

 

a=5\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{2}\sqrt{3}

 

Allo stesso modo, avendo presente il valore del seno di 30 gradi:

 

b=5\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=5 \cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}

 

La forma cartesiana del numero complesso è quindi

 

z=a+ib=\frac{5}{2}\sqrt{3}+\frac{5}{2}i

 

 

2) Ricavare la forma algebrica del numero complesso

 

z=\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{2}i}

 

Svolgimento: in questo caso ricorriamo alla formula di Eulero

 

\\ z=\sqrt{2}e^{-i\left(\frac{\pi}{2}\right)}=\\ \\ \\ =r\left[\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]=\sqrt{2}[0-i]=-\sqrt{2}i

 

Pertanto

 

z=-\sqrt{2}i

 

è la forma cartesiana del numero complesso z=\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{2}i}.

 

 

Piccola osservazione: se il valore dell'angolo \theta non dovesse comparire nella tabella dei valori fondamentali di seno e coseno sarebbe preferibile lasciare il numero complesso in forma esponenziale o, tutt'al più, passare dalla forma esponenziale alla forma trigonometrica e servirci per quanto possibile delle formule trigonometriche.

 

Se il passaggio alla forma cartesiana fosse espressamente richiesto dall'esercizio nei casi peggiori non potremmo fare altro che fornire un'approssimazione di parte reale e parte immaginaria, calcolando il valore di seno e coseno dell'angolo \theta mediante la calcolatrice.

 

 


 

Nella lezione successiva ci occuperemo del passaggio dalla forma trigonometrica alla forma esponenziale e viceversa. Nulla di complicato: nel frattempo ricordate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca. A proposito: c'è anche un comodo tool per passare da una rappresentazione all'altra. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

Tags: ricavare la forma cartesiana di un numero complesso partendo dalla forma esponenziale - come passare dalla forma esponenziale a quella algebrica di un numero complesso.