Forma esponenziale di un numero complesso

La forma esponenziale di un numero complesso è un tipo di rappresentazione che consente di esprimere un qualsiasi numero complesso mediante due valori reali r e θ, detti rispettivamente modulo e argomento, nella forma z=r·e.

 

In questa lezione vedremo come si presenta un numero complesso in forma esponenziale, detta anche forma euleriana.

 

Ne daremo innanzitutto la definizione, per poi mostrarvi come ricavarla e giustificarla geometricamente. Infine, nell'ultima parte della lezione, spiegheremo come affrontare le richieste degli esercizi che coinvolgono i numeri complessi in forma esponenziale.

 

Definizione ed esempi di forma esponenziale di un numero complesso

 

Un numero complesso z\in \mathbb{C} è in forma esponenziale se si presenta mediante una rappresentazione del seguente tipo

 

z=re^{i\theta}

 

dove i indica l'unità immaginaria. Nel prossimo paragrafo capiremo cosa rappresentano r \mbox{ e } \theta, prima però vediamo alcuni esempi di numeri complessi in forma esponenziale:

 

2e^{\frac{\pi}{4}i}\ \ \ ;\ \ \ 3e^{\frac{5}{6}\pi i}\ \ \ ;\ \ \ \sqrt{2}e^{\frac{\pi}{3}i}

 

Come ottenere la forma esponenziale di un numero complesso

 

Nella lezione precedente sulla forma trigonometrica di un numero complesso abbiamo visto come, partendo dalla definizione di numero complesso come coppia ordinata di numeri reali, sia possibile esprimere ogni z\in \mathbb{C} nella forma

 

z=r[\cos(\theta)+i\sin{\theta}]

 

dove r è un numero reale non negativo (r\geq 0) e \theta un angolo (solitamente espresso in radianti) che varia nell'intervallo (-\pi,\pi] oppure nell'intervallo [0,2\pi).

 

Sappiamo inoltre che r \mbox{ e } \theta rappresentano, rispettivamente, modulo e argomento del numero complesso.

 

 

Identità di Eulero e forma esponenziale

 

Con competenze matematiche non eccessivamente avanzate, ma comunque in modo non banale, si può dimostrare per ogni \theta \in \mathbb{R} vale l'identità di Eulero:

 

e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin{\theta}

 

e ciò e sufficiente per ottenere la forma esponenziale di un numero complesso, infatti con un'immediata sostituzione si ricava:

 

z=(a,b)=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]\overbrace{=}^{\mbox{identit}\grave{\mbox{a}}\mbox{ di Eulero}}=re^{i\theta}

 

Per saperne di più rimandiamo i lettori interessati all'approfondimento dedicato all'identità di Eulero.

 

 

Significato geometrico della forma esponenziale

 

Si noti che, dando per assodata la precedente formula, il legame tra forma trigonometrica e la forma esponenziale è del tutto immediata. In particolare i valori di modulo e anomalia hanno sempre il medesimo significato geometrico: nel piano di Argand Gauss individuano rispettivamente la distanza del punto z dall'origine e l'angolo formato rispetto al semiasse delle ascisse positive.

 

 

Forma esponenziale di un numero complesso

Forma esponenziale di un numero complesso e piano di Argand-Gauss.

 

Con questa premessa preferiamo non dilungarci riguardo al significato di modulo e argomento nella forma esponenziale, perché finiremmo col ripetere quanto scritto nella lezione precedente. Sappiate inoltre che nelle lezioni successive avremo modo di tornare sui concetti di modulo e argomento, anche e soprattutto da un punto di vista operativo.

 

Utilizzo dei numeri complessi in forma esponenziale

 

Nota per i lettori: qui di seguito vediamo come approcciare le principali richieste negli esercizi sui numeri complessi quando essi si presentano in forma esponenziale; la lettura è quindi consigliata a chi ha già una certa dimestichezza con gli esercizi. Tutti gli altri lettori possono limitarsi ad una lettura superficiale o passare direttamente alla lezione successiva, poiché avremo modo di tornare sull'argomento nel prosieguo delle lezioni. ;)

 

In alcuni casi la forma esponenziale di un numero complesso ci permette di risparmiare tempo e fatica ma non sempre è così. A volte infatti è più conveniente passare dalla forma esponenziale alla forma algebrica o dalla forma esponenziale alla forma trigonometrica. A seconda dei casi sarà nostro preciso compito scegliere la strada più comoda da seguire, e in questo senso solo l'esperienza potrà aiutarci.

 

 

1) Il complesso coniugato di un numero complesso in forma esponenziale z=re^{i\theta} è dato da

 

\overline{z}=re^{-i\theta}

 

 

2) Modulo ed argomento di un numero complesso espresso in forma esponenziale si ottengono immediatamente: r è il modulo e \theta l'argomento.

 

 

3) Per svolgere le operazioni tra numeri complessi in forma esponenziale conviene procedere nel modo seguente:

 

- consigliamo di passare alla forma cartesiana per calcolare la somma tra due numeri complessi o la differenza tra due numeri complessi.

 

- Per calcolare il prodotto tra due numeri complessi o il rapporto tra due numeri complessi in forma esponenziale (a patto che il divisore sia non nullo) basta far ricorso alle proprietà delle potenze. Avremo infatti:

 

\\ z_1 z_2 = r_1e^{i \theta_1} r_2 e^{i \theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\\ \\ \\ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\theta_1-\theta_2)}

 

 

4) Trovare la potenza di un numero complesso in forma esponenziale è a dir poco immediato. Basta infatti ricordare come sono definite le potenze di potenze per avere

 

\left[r e^{i\theta}\right]^n=r^n e^{i n\theta} 

 

 

5) Per il calcolo delle radici ennesime di un numero complesso è più conveniente passare alla forma trigonometrica e procedere come spiegato nella lezione del link.

 

 


 

È tutto! In caso di dubbi, problemi o perplessità potete trovare le risposte che vi servono utilizzando la barra di ricerca interna, per il resto sappiate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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