Forma trigonometrica di un numero complesso

La forma trigonometrica di un numero complesso (o forma polare di un numero complesso) è una rappresentazione che consente di esprimere qualsiasi numero complesso mediante due valori detti modulo e argomento, nella forma z=r[cos(θ)+i·sin(θ)].

 

La forma trigonometrica di un numero complesso, detta anche forma polare, è una delle tre forme con cui è possibile rappresentare un numero complesso. In questa lezione vedremo quando un numero complesso si dice espresso in forma trigonometrica dandone la definizione e svariati esempi.

 

Inoltre, partendo dalla definizione di numero complesso come coppia ordinata di numeri reali, vi mostreremo come ricavarne la forma trigonometrica geometricamente e spiegheremo come affrontare le richieste degli esercizi quando avete a che fare con numeri complessi espressi in tale forma.

 

Definizione ed esempi di numeri complessi in forma trigonometrica

 

Sia z\in \mathbb{C} un numero complesso. z è in forma trigonometrica se si presenta nella forma

 

z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]

 

dove i indica l'unità immaginaria, r è un numero reale non negativo

 

r\geq 0

 

e \theta è un angolo tale da soddisfare una tra le seguenti condizioni

 

-\pi < \theta \le \pi\ \ \mbox{ oppure }\ \ 0\le\theta<2\pi

 

Il motivo per cui r \mbox{ e } \theta devono soddisfare tali richieste è semplice e lo spiegheremo da un punto di vista geometrico tra un istante; prima però vi forniamo alcuni esempi di numeri complessi in forma trigonometrica:

 

\\ 2\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]\\ \\ \\ 3\left[\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\right]\\ \\ \\ 2\sqrt{3}\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]

 

Ricavare la forma trigonometrica dalla definizione di numero complesso

 

Nella lezione introduttiva abbiamo dato la definizione di numero complesso come coppia ordinata di numeri reali. Se z\in \mathbb{C} è un numero complesso, allora è della forma

 

z=(a,b) \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

 

In virtù di tale definizione è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i punti di un particolare piano cartesiano, il cosiddetto piano di Argand-Gauss. Ad ogni numero complesso corrisponde uno ed un solo punto nel piano complesso, il punto P di coordinate cartesiane (a,b).

 

 

Forma trigonometrica di un numero complesso

Forma trigonometrica di un numero complesso e piano di Argand-Gauss.

 

 

Come potete osservare nella figura precedente, possiamo individuare il numero complesso z=(a,b) anche conoscendo la misura del segmento r=\overline{OP} e l'ampiezza dell'angolo \theta che il segmento \overline{OP} forma con il semiasse delle ascisse positive.

 

Ricordando i teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli risulta che:

 

\\ a=\overline{OA}=\overline{OP}\cdot \cos(\theta)=r\cos(\theta)\\ \\ b=\overline{OB}=\overline{OP}\cdot \sin(\theta)=r\sin(\theta)

 

Pertanto, partendo dalla forma algebrica di un numero complesso, possiamo scrivere

 

z=(a,b)=a+ib=r\cos(\theta)+i[r\sin(\theta)] = r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]

 

ed ottenere così la rappresentazione trigonometrica o polare di un numero complesso.

 

Il numero reale r si dice norma o modulo di z mentre l'angolo \theta è detto argomento o anomalia del numero complesso. Come anticipato all'inizio della lezione, modulo ed argomento di un numero complesso devono soddisfare alcune condizioni. Vediamo di capirne il motivo.

 

Condizioni su modulo ed argomento

 

Un numero complesso avente modulo r ed argomento \theta si presenta, in forma trigonometrica, come

 

z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]

 

Poiché r indica la misura di un segmento, il suo valore dovrà essere necessariamente positivo ad eccezione del segmento degenere di lunghezza nulla.

 

Inoltre, dal momento che la funzione seno così come la funzione coseno sono funzioni periodiche di periodo 2\pi, la corrispondenza tra un numero complesso e la sua forma trigonometrica non è biunivoca: vi sono infatti infiniti angoli (che differiscono per multipli di 2\pi) che hanno stesso seno e stesso coseno.

 

Per rendere biunivoca tale corrispondenza dobbiamo imporre che l'angolo \theta vari tra -\pi \mbox{ e } \pi oppure tra 0 \mbox{ e } 2\pi, includendo in entrambi i casi solo uno dei due estremi.

 

Negli esercizi e nelle applicazioni è possibile scegliere indifferentemente tra l'una e l'altra condizione, purché venga ben specificato e a patto che i successivi calcoli siano coerenti con la scelta effettuata.

 

Possiamo scegliere indistintamente l'uno o l'altro intervallo. Di solito è il testo dell'esercizio a dirci in quale intervallo dovremo lavorare ma, se così non fosse, saremo noi a sceglierlo.

 

Supponendo ad esempio di preferire l'intervallo (-\pi, \pi], diremo argomento principale il valore di \theta per cui -\pi<\theta\le \pi. Se al contrario scegliessimo di lavorare nell'intervallo [0,2\pi) chiameremo argomento principale il valore di \theta per cui 0\leq\theta<2\pi.

 

In una delle successive lezioni, dedicata a modulo ed argomento di un numero complesso, spiegheremo quali sono le implicazioni pratiche nello scegliere l'uno o l'altro intervallo in cui far variare l'angolo \theta.

 

 

Anomalia dell'origine del piano e degli assi

 

Il numero complesso z=0 rappresenta un unicum in termini di rappresentazione polare, infatti è l'unico valore per cui il modulo è nullo e l'anomalia non è definita

 

z=0\ \to\ r=0\ \ ;\ \not\exists \theta

 

Tale proprietà è frutto di una scelta imposta per far sì che la corrispondenza modulo-anomalia con i punti del piano cartesiano sia biunivoca; in alternativa il numero complesso z=0 corrisponderebbe ad un'infinità di valori \theta dell'argomento.

 

Riguardo ai semiassi del piano di Argand-Gauss vi sono dei valori di anomalie notevoli, i quali dipendono dalla scelta dell'intervallo in cui l'argomento \theta è libero di variare:

 

- se 0\leq\theta<2\pi, partendo dal semiasse delle ascisse positive e procedendo in senso antiorario

 

\theta=0\ \ ;\ \ \theta=\frac{\pi}{2}\ \ ;\ \ \theta=\pi\ \ ;\ \ \theta=\frac{3}{2}\pi

 

- se -\pi<\theta\leq \pi, partendo dal semiasse delle ordinate negative e procedendo in senso antiorario

 

\theta=-\frac{\pi}{2}\ \ ;\ \ \theta=0\ \ ;\ \ \theta=\frac{\pi}{2}\ \ ;\ \ \theta=\pi

 

Utilizzo dei numeri complessi in forma trigonometrica

 

Nota per i lettori: il prosieguo della lezione è dedicato a chi ha già avuto modo di affrontare alcuni esercizi sui numeri complessi. In particolare vedremo come approcciare le principali richieste quando i numeri complessi sono dati in forma trigonometrica; chi sta affrontando questo argomento per la prima volta può limitarsi a leggere per pura curiosità, dal momento che avremo modo di ritornarvi in seguito.

 

Avere un numero complesso espresso in forma trigonometrica ha diversi vantaggi e svantaggi in termini pratici. In alcuni casi è infatti più conveniente passare dalla forma trigonometrica alla forma algebrica o dalla forma trigonometrica alla forma esponenziale. Ovviamente sarà nostro compito scegliere la strada più comoda e tutto dipende da quello che è richiesto dall'esercizio.

 

 

1) Il complesso coniugato di z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)] è dato da

 

\overline{z}=r[\cos(\theta)-i\sin(\theta)]

 

 

2) Come abbiamo già avuto modo di dirvi nel paragrafo precedente, modulo ed argomento di un numero complesso espresso in forma trigonometrica si ottengono semplicemente con un rapido sguardo: r è infatti il modulo e \theta l'argomento.

 

 

3) Per quanto riguarda le operazioni tra numeri complessi procederemo nel modo seguente:

 

- volendo calcolare la somma tra due numeri complessi o la differenza tra due numeri complessi in forma trigonometrica consigliamo di passare prima alla forma cartesiana.

 

- Il prodotto tra due numeri complessi in forma trigonometrica

 

z_1=r_1[\cos(\theta_1)+i\sin(\theta_1)] \mbox{ e } z_2=r_2[\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2)]

 

è un numero complesso il cui modulo è dato dal prodotto dei moduli ed il cui argomento si ottiene dalla somma degli argomenti, ossia

 

z_1 z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]

 

Allo stesso modo

 

- la divisione tra due numeri complessi in forma trigonometrica (a patto che il divisore sia non nullo) è ancora un numero complesso il cui modulo è il rapporto tra i modulo ed il cui argomento è dato dalla differenza degli argomenti, ossia

 

\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]

 

 

4) Calcolare la potenza di un numero complesso espresso in forma trigonometrica è abbastanza semplice ma è ancor più immediato se il numero complesso è in forma esponenziale.

 

 

5) Le radici ennesime di un numero complesso in forma trigonometrica si ottengono in modo piuttosto agevole, come avremo modo di capire nelle lezioni successive.

 

 


 

Per il momento è tutto. Nella prossima lezione vedremo la terza ed ultima forma che si utilizza per rappresentare un numero complesso. Per tutto il resto vi rimandiamo alla barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati passo-passo. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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