Introduzione ai numeri complessi

In questa prima lezione sui numeri complessi vedremo cos'è un numero complesso e il legame che c'è tra l'insieme dei numeri complessi e l'insieme dei numeri reali.

 

A seconda del libro di testo che vi è stato consigliato potrete trovare due diverse definizioni di numero complesso. Nessun problema, le vedremo entrambe! ;) Prima però è interessante sapere qual è stata l'esigenza matematica che ha portato all'introduzione dei numeri complessi, quindi procediamo con calma e ordine. ;)

 

Come nascono i numeri complessi

 

Nell'insieme \mathbb{R} dei numeri reali, definito come l'unione tra gli insiemi dei numeri razionali e dei numeri irrazionali, tutto sembrerebbe funzionare al meglio; a prima vista sembrerebbe un insieme in cui possiamo svolgere qualsiasi tipo di operazione.

 

Se però vi chiedessimo, a titolo di esempio:

 

- di calcolare la radice quadrata di -1;

 

- di trovare gli zeri del polinomio p(x)=x^2+1

 

ecco che spunterebbero i primi problemi: uno dei grandi limiti dell'insieme dei numeri reali consiste nell'impossibilità di estrarre la radice ennesima con indice pari di un numero negativo, e tra le varie conseguenze risulta impossibile risolvere le equazioni di secondo grado con delta negativo.

 

Volendo essere più precisi l'operazione di estrazione di radice ennesima non è un'operazione interna all'insieme dei numeri reali, nel senso che in generale l'estrazione della radice ennesima di un numero reale non è necessariamente un numero reale.

 

Un ulteriore aspetto da prendere in considerazione è il seguente: ammesso di lavorare in \mathbb{R}, non è detto che un polinomio di grado n\ge 2 a coefficienti reali abbia esattamente n radici (ciascuna contata con la relativa molteplicità), così come assicurato da un corollario del teorema fondamentale dell'Algebra.

 

Proprio per questi motivi i matematici hanno sentito l'esigenza di espandere i propri orizzonti e di definire l'insieme dei numeri complessi che, storicamente, nasce tra il sedicesimo ed il diciassettesimo secolo grazie agli studi dei matematici Bombelli e Cardano, anche se le vere basi teoriche furono gettate da Eulero e De Moivre nel Diciottesimo secolo. Fu però solo con le pubblicazioni di Gauss che i numeri complessi entrarono a tutti gli effetti a far parte del mondo matematico.

 

Definizione di numero complesso

 

Come abbiamo già avuto modo di dirvi è molto probabile che, a seconda del libro di testo utilizzato, si trovino due diverse definizioni di numero complesso; questo perché il modo di definirli varia a seconda del livello di preparazione dello studente o del corso di studi che sta seguendo. Qui di seguito ve le proponiamo entrambe partendo dalla definizione che solitamente si dà alle scuole superiori.

 

Numeri complessi come estensione dei numeri reali

 

Abbiamo già detto che in \mathbb{R} non è possibile trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado

 

x^2+1=0 \iff x^2=-1

 

Convincersi di ciò è relativamente semplice. Basta infatti osservare che il quadrato di un qualsiasi numero reale è una quantità positiva o al più nulla; dunque non esiste alcun numero reale che elevato al quadrato dia -1.

 

Partendo da tale equazione si introduce il valore i, detto unità immaginaria e definito come la radice quadrata di -1.

 

i:=\sqrt{-1}

 

dove il simbolo := si legge uguale per definizione.

 

Ecco quindi che l'equazione di secondo grado x^2+1=0 ammette soluzioni. In particolare ammetterà le due radici complesse distinte x_1=i, \ x_2=-i, infatti:

 

x^2+1=0 \iff x^2=-1 \iff x=\pm \sqrt{-1} \iff x=\pm i

 

Dopo aver introdotto l'unità immaginaria possiamo definire l'insieme dei numeri complessi, che d'ora in poi indicheremo con la lettera \mathbb{C}, come l'insieme di tutti e soli i numeri della forma

 

a+ib\ \ \mbox{ con } a,b\in\mathbb{R}

 

Quella appena scritta si dice forma algebrica di un numero complesso (che analizzeremo nel dettaglio in una delle lezioni successive).

 

Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso

 

Sia z=a+ib un qualsiasi numero complesso.

 

Il numero reale a prende il nome di parte reale e si indica con \mbox{Re}(z), mentre b si dice parte immaginaria del numero complesso e viene indicata con \mbox{Im}(z).

 

z=a+ib\ \to\ \begin{cases}\mbox{Re}(z)=a\ \ \ \mbox{parte reale}\\ \\ \mbox{Im}(z)=b\ \ \ \mbox{parte immaginaria}\end{cases}

 

Ad esempio 2+3i è il numero complesso avente parte reale uguale a 2 e parte complessa uguale a 3, mentre 1+i ha parte reale e parte complessa uguali ad 1.

 

I numeri complessi aventi parte reale nulla, ossia i numeri della forma z=ib, \mbox{ con } b \in \mathbb{R} si dicono immaginari puri. Lo sono ad esempio 2i, \ -3i \mbox{ e } \sqrt{5}i.

 

Di contro, i numeri complessi con parte immaginaria nulla, vale a dire quelli della forma z=a \mbox{ con } a\in \mathbb{R}, sono tutti e soli i numeri reali.

 

Risulta allora evidente che l'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme proprio dell'insieme dei numeri complessi.

 

Piano di Argand-Gauss

 

Fin da bambini ci hanno insegnato a rappresentare i numeri naturali su una retta e, col passare degli anni, abbiamo capito che esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali ed i punti di quella che si dice retta reale.

 

Per quanto riguarda i numeri complessi, è possibile individuare una corrispondenza biunivoca tra gli elementi dell'insieme \mathbb{C} e i punti del piano, detto piano complesso o piano di Argand-Gauss.

 

Più precisamente al numero complesso z=a+ib si associa il punto del piano di coordinate cartesiane (a,b)=(Re(z), Im(z))

 

a+ib\ \leftrightarrow\ (a,b)

 

In parole povere il piano di Argand-Gauss è un piano cartesiano leggermente modificato: l'asse x infatti è chiamato asse reale, l'asse y è detto asse immaginario.

 

Dato il numero complesso

 

z=a+ib

 

sull'asse reale riporteremo la parte reale del numero complesso Re(z)=a, mentre sull'asse immaginario individueremo la parte immaginaria Im(z)=b.

 

Giusto per fare un esempio, al numero complesso z=-3+2i corrisponde il punto di coordinate cartesiane (-3,2) così come mostrato in figura

 

 

Piano complesso

Rappresentazione di un numero complesso nel piano di Argand-Gauss.

 

 

Questa corrispondenza tra numeri complessi e punti del piano è alla base di un'altra definizione di numero complesso solitamente usata in ambito universitario o nei licei scientifici.

 

Numeri complessi come coppia ordinata

 

Indicato con \mathbb{R} l'insieme dei due reali, possiamo definire l'insieme dei numeri complessi \mathbb{C} come l'insieme ottenuto dal prodotto cartesiano di \mathbb{R} con se stesso.

 

In simboli scriveremo

 

\mathbb{C}:=\mathbb{R} \times \mathbb{R}=\mathbb{R}^2=\{(a,b) \ | \ a,b \in \mathbb{R}\}

 

Ne segue allora che ogni numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali, ossia

 

z\in \mathbb{C} \iff z=(a,b)\ \ \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

 

I numeri complessi della forma (a,0) coincidono con i numeri reali, mentre i numeri del tipo (0,b) sono gli immaginari puri.

 

L'unità immaginaria i è il numero complesso immaginario puro che si identifica con la coppia ordinata i=(0,1).

 

Si definiscono somma e prodotto di due numeri complessi z=(a,b) \mbox{ e } w=(c,d) nel modo seguente:

 

\\ z+w=(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)\\ \\ zw=(a,b)(c,d)=(ac-bd, bc+ad)

 

ma avremo modo di parlarne nel dettaglio nella lezione sulle operazioni con i numeri complessi.

 

Elemento neutro, opposto, inverso di un numero complesso e coniugato

 

Nell'insieme dei numeri reali sappiamo che 0 e 1 sono gli elementi neutri rispetto alla somma ed al prodotto e che, se a è un numero reale diverso da zero, -a è il suo opposto e \frac{1}{a}=a^{-1} è il suo inverso (o reciproco).

 

Anche nell'insieme dei numeri complessi possiamo definire tali quantità. In particolare:

 

(0,0) è l'elemento neutro rispetto alla somma; graficamente coincide con l'origine degli assi del piano complesso.

 

(-a,-b) è l'opposto del numero complesso (a,b); graficamente l'opposto di un numero complesso è il simmetrico rispetto all'origine degli assi.

 

(1,0) è l'elemento neutro rispetto al prodotto;

 

z^{-1}=\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right) è l'inverso moltiplicativo di z=(a,b) \ \mbox{con} \ a\ne0\wedge b\ne 0.

 

Infine, dato il numero complesso z=(a,b) si definisce complesso coniugato di z e si indica con \overline{z} il numero complesso

 

\overline{z}=(a,-b)

 

Da un punto di vista grafico il coniugato di un numero complesso è il suo simmetrico rispetto all'asse delle ascisse.

 

Confronto tra numeri complessi

 

Due numeri complessi si dicono uguali se la parte reale e la parte immaginaria coincidono, ossia

 

(a,b)=(c,d) \iff a=c \mbox{ e } b=d

 

D'altra parte, a differenza di quanto accadeva per l'insieme dei numeri reali, non è possibile confrontare due numeri complessi. In altri termini in \mathbb{C} non è possibile stabilire se un numero è maggiore o minore di un altro. Tale proprietà si esprime dicendo che l'insieme dei numeri complessi non è un insieme ordinato.

 

Campo dei numeri complessi

 

Chiudiamo questa lezione introduttiva sui numeri complessi con un piccolo paragrafo dedicato a chi ha già avuto modo di studiare un po' di Algebra astratta. Gli studenti delle scuole superiori e dei corsi universitari di Analisi 1 sono esonerati dalla lettura. ;)

 

Dopo aver introdotto l'insieme \mathbb{C}=\mathbb{R}^2 dei numeri complessi, abbiamo definito le due operazioni interne di somma e prodotto che d'ora innanzi indicheremo rispettivamente con + \mbox{ e } \cdot. Osserviamo che:

 

\bullet \ (\mathbb{C},+) è un gruppo abeliano, infatti la somma tra numeri complessi gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa. Inoltre esistono l'elemento neutro (0,0) e l'opposto (-a,-b) di ogni numero complesso (a,b).

 

\bullet \ (\mathbb{C}-\{(0,0)\},\cdot) è anch'esso un gruppo abeliano;

 

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma, ossia

 

\bullet \ (a,b)\cdot [(c,d)+(e,f)]=[(a,b)\cdot (c,d)]+[(a,b)\cdot (e,f)]

 

Tutto questo ci porta a concludere che (\mathbb{C},+,\cdot) è un campo, detto campo dei numeri complessi.

 

In un campo ordinato tutti i quadrati devono essere maggiori o uguali a zero, mentre in \mathbb{C} vale l'uguaglianza i^2=-1. Ciò giustifica quanto scritto in precedenza, ossia che l'insieme dei numeri complessi non è un insieme ordinato.

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Se è la prima volta che sentite parlare di numeri complessi avrete di sicuro le idee un po' confuse. Niente paura, è normale che sia così. Per aiutarvi a prendere maggiore confidenza con i tanti concetti visti in questa lezione vi proponiamo una scheda correlata di esercizi svolti che potete raggiungere con un click sull'icona sottostante. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Esercizi correlati.....Lezione successiva

 

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