Numeri complessi

I numeri complessi costituiscono un insieme che estende l'insieme dei numeri reali ed in cui, a partire dalla definizione di unità immaginaria, è possibile estrarre le radici ad indice pari di numeri negativi e risolvere le equazioni di secondo grado con discriminante negativo.

 

Serve aiuto con la teoria e con gli esercizi sui numeri complessi? In questa sezione ci occupiamo di un argomento che spesso viene trattato in maniera superficiale: se siete al triennio delle scuole superiori, o se state seguendo il corso di Analisi Matematica all'università, potrebbe capitarvi di dover risolvere esercizi con i numeri complessi a fronte di spiegazioni frettolose...

 

Purtroppo alcuni docenti delle scuole superiori hanno la tendenza ad incastrare le spiegazioni teoriche qui e là, e come ben si sa all'università il tempo è sempre poco. Risultato: gli studenti tendono a credere che i numeri complessi abbiano poca rilevanza nello studio della Matematica e, quel che è peggio, finiscono col capirci poco o nulla. :(

 
 
 

 

Fortunatamente gli studi di base riguardano argomenti, formule e teoremi sui numeri complessi che non sono affatto complicati. Si tratta per lo più di una base algebrica che però non va sottovalutata sia dal punto di vista pratico, perché sbagliare un esercizio in sede di verifica/esame non è il massimo, sia per proseguire gli studi senza intoppi.

 

Noi abbiamo convenuto di collocare le lezioni sui numeri complessi alla fine della sezione di Analisi 1, ma la scelta è del tutto arbitraria. In ogni caso sappiate che qui vi proponiamo un'infarinatura irrinunciabile per un corso di Analisi Matematica e che ciò che tratteremo in questa sezione è l'anticamera per studi ben più approfonditi e impegnativi, vale a dire i corsi universitari di Analisi Complessa che si affrontano nei corsi di Matematica, Fisica e Ingegneria.

 

Una breve panoramica prima di cominciare. La lezione [1] propone un'introduzione storica e matematica sul campo dei numeri complessi e sul piano di Argand-Gauss, dopodiché nel gruppo [2-4] presentiamo le possibili rappresentazioni dei numeri complessi, le cosiddette forma algebrica, forma trigonometrica (o polare) e forma esponenziale (o euleriana).

 

Il blocco di lezioni [5-8] riguarda la definizione di modulo e argomento di un numero complesso e una serie di metodi operativi per passare da una rappresentazione alle altre. E con ciò, signore e signori, comincia la festa! :) Passiamo infatti [9-12] a definire e ad imparare a calcolare le principali operazioni in campo complesso: somma, differenza, prodotto, rapporto, coniugato complesso, elevamento a potenza (formula di De Moivre) e calcolo delle radici n-esime di un numero complesso.

 

Nelle lezioni successive [13-14] ci occupiamo di un importantissimo teorema della Matematica, il cosiddetto Teorema Fondamentale dell'Algebra, e vediamo come risolvere le disequazioni con i numeri complessi.

 

Da ultimo [15-16] prepareremo il terreno per chi dovrà studiare l'Analisi Complessa e introdurremo le principali funzioni da \mathbb{C} a \mathbb{C}: esponenziale complesso, logaritmo complesso, seno complesso e coseno complesso. Queste ultime lezioni si rivolgono solamente agli studenti universitari di Matematica, Fisica e Ingegneria.

 

Nota bene: se ci avete fatto caso le lezioni non contemplano le equazioni con i numeri complessi. Ce ne occupiamo in una guida nella sezione di esercizi. ;)

 

Leggere potrebbe non bastare, e noi vogliamo risolvere i vostri problemi. Le lezioni sono corretate da schede di esercizi svolti sui numeri complessi, classificati per argomento e ordinati per difficoltà.

 

Inoltre in caso di dubbi potrete chiedere consulenza allo Staff di YouMath nel Forum e leggere le domande e le risposte di chi ha già risolto il proprio problema. A tal proposito sappiate che da quando YM è nato abbiamo risposto a migliaia e migliaia di domande, e si è parlato parecchio di numeri complessi. Qualche utente con ogni probabilità ha fatto domande sullo specifico argomento o esercizio che vi interessa, dunque potete:

 

- ricorrere alla barra di ricerca presente in cima ad ogni pagina;

 

- sfogliare le discussioni sulle funzioni del Forum di Analisi 1 lato Università;

 

- dare un'occhiata alle D&R della categoria "Uni - Analisi" e "Superiori - Analisi".

 

Chi vuole passare subito alla pratica può mettersi alla prova con gli esercizi sui numeri complessi e usare i tools per risolvere gli esercizi sui numeri complessi online. ;)