Limiti con Taylor

Per concludere la panoramica dei metodi per il calcolo dei limiti ci manca la tecnica più avanzata, nonché la più importante ed utile. I limiti con Taylor si calcolano facendo uso degli sviluppi in serie di Taylor, che sono richiesti solamente nei corsi di Analisi Matematica all'università.

 

Questa lezione si rivolge quindi esclusivamente agli studenti universitari e può essere considerata come il punto di arrivo della teoria dei limiti di funzioni reali di una variabile reale. Gli studenti delle scuole superiori sono esonerati dalla lettura e possono stare tranquilli, perché nel corso della propria carriera scolastica non dovranno mai affrontare esercizi sui limiti da calcolare con Taylor. Gli universitari invece sappiano sin da subito che negli esami scritti di Analisi Matematica i limiti con Taylor grandinano dal cielo. ;)

 

Per tutti coloro ai quali potrebbe essere richiesto di calcolare i limiti con gli sviluppi di Taylor, premettiamo che tale tecnica richiede la piena conoscenza delle derivate e di saper calcolare gli sviluppi di Taylor di una qualsiasi funzione (per la quale sussistano le necessarie ipotesi).

 

Come calcolare i limiti con Taylor

 

Per capire come si calcolano i limiti con Taylor è bene aver letto e digerito le seguenti lezioni:

 

- sviluppi di Taylor;

 

- tabella degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin;

 

- come calcolare gli sviluppi di Taylor.

 

L'idea di base è che il limite di una funzione, ad esempio per x\to x_0, si calcola considerando la variabile x per valori "sempre più vicini a x_0", vale a dire nell'intorno di x_0. D'altra parte quando calcoliamo un limite

 

\lim_{x\to x_0}f(x)

 

se la funzione y=f(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Taylor nel punto x_0, sappiamo che possiamo fornirne una rappresentazione polinomiale. Più precisamente possiamo descrivere la funzione come somma di un polinomio di grado finito e di un resto, ed in particolare possiamo servirci del resto di Peano:

 

\begin{align*}f(x)=&f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\\ &+o((x-x_0)^n)\end{align}

 

f^{(n)}(x_0) indica la valutazione della derivata n-esima di f(x) in x_0. Il resto o((x-x_0)^n) denota una qualsiasi funzione g(x) tale che

 

\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{(x-x_0)^n}=0

 

ossia un infinitesimo di ordine superiore a (x-x_0)^n per x\to x_0, che altro non è se non la definizione di o-piccolo di (x-x_0)^n.

 

Tecnica di calcolo dei limiti con Taylor

 

Se sussistono le ipotesi del teorema di Taylor possiamo calcolare il limite per x\to x_0 di f(x) sostituendo ad f(x) l'espressione del suo sviluppo in serie, centrato in x_0, ad un qualsiasi ordine n\geq 0:

 

\\ \lim_{x\to x_0}[f(x)]=f(x_0)\\ \\ \lim_{x\to x_0}[f(x)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)]=f(x_0)\\ \\ \lim_{x\to x_0}\left[f(x)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)\right]=f(x_0)

 

e così via. La sostituzione è perfettamente legittima ed avviene per uguaglianza; nel caso venga omesso il resto, si può effettuare comunque la sostituzione per equivalenza asintotica.

 

Sembra troppo semplice fin qui, vero? Ora arriva la parte delicata. ;)

 

Quando si calcolano i limiti con Taylor?

 

Abbiamo detto che se valgono le ipotesi del teorema di Taylor possiamo calcolare

 

\lim_{x\to x_0}f(x)

 

sostituendo f(x) con il suo sviluppo in x=x_0, arrestato ad un ordine qualsiasi.

 

Nella stragrande maggioranza dei casi calcolare i limiti ricorrendo agli sviluppi di Taylor è totalmente inutile (se non addirittura sbagliato). Se abbiamo una funzione continua o se abbiamo limiti che possiamo calcolare con qualsiasi altra tecnica a noi nota, come ad esempio l'algebra di infiniti e infinitesimi, a che pro perdersi in sviluppi e calcolo di derivate?

 

Ad esempio: se vogliamo risolvere

 

\lim_{x\to 0}(\sin{(x)}+5)

 

procediamo per sostituzione diretta e ricaviamo come risultato

 

\lim_{x\to 0}(\sin{(x)}+5)=0+5=5

 

Pur essendo un procedimento corretto, non avrebbe senso sviluppare la funzione seno in x_0=0 fino al terzo ordine

 

\sin{(x)}=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)

 

e sostituire lo sviluppo nel limite

 

\lim_{x\to 0}(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)+5)=0+5=5

 

perché otterremmo lo stesso risultato ma dovremmo effettuare una maggiore quantità di calcoli.

 

Quando ha senso calcolare i limiti con Taylor

 

C'è solo uno specifico caso in cui ha senso procedere con il metodo di Taylor nel calcolo di un limite, e c'è un solo caso in cui è obbligatorio calcolare i limiti con Taylor.

 

Se abbiamo una discreta visione d'insieme sulle casistiche che si presentano nel contesto dei limiti, intuiamo subito che l'unico caso in cui converrebbe usare gli sviluppi in serie è quello in cui ci troviamo di fronte a una forma indeterminata; quantomeno una forma di indecisione in cui le funzioni coinvolte permettono di scriverne lo sviluppo in serie di Taylor.

 

Per dare un'idea, una forma indeterminata del tipo zero su zero

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\left[\frac{0}{0}\right]

 

può prestarsi bene per sviluppare f(x)\mbox{ e }g(x) nell'intorno di x_0.

 

 

Esempio

 

Supponiamo di voler calcolare il limite

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}}{e^{2x}-1}=\left[\frac{0}{0}\right]

 

Sviluppiamo le funzioni

 

\\ f(x)=\sin{(x)}\\ \\ g(x)=e^{2x}-1

 

nell'intorno di x_0, arrestandoci al terzo ordine

 

\\ \sin{(x)}=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ \\ e^{2x}-1=2x+2x^2+\frac{4}{3}x^3+o(x^3)

 

Mediante sostituzione nel limite otteniamo:

 

\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{2x+2x^2+\frac{4}{3}x^3+o(x^3)}=\frac{1}{2}

 

Abbiamo così modo di constatare che la forma di indecisione si riduce ad un semplice confronto tra infinitesimi: ci limitiamo a considerare gli infinitesimi di ordine inferiore (ossia gli infinitesimi principali) sia a numeratore che a denominatore, e tralasciamo tutto il resto.

 

Ha senso. ;)

 

Attenzione: quale sarebbe stato il procedimento alternativo con cui, prima di questa lezione, avremmo calcolato il limite dell'esempio? Avremmo certamente fatto ricorso ai limiti notevoli:

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}}{e^{2x}-1}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}

 

La domanda successiva sorge spontanea.

 

Qual è il rapporto tra Taylor e i limiti notevoli?

 

Proprio perché non abbiamo imposto alcun vincolo nell'ordine degli sviluppi, proviamo a risolvere il precedente limite sviluppando le due funzioni al primo ordine:

 

\\ \sin{(x)}=x+o(x)\\ \\ g(x)=e^{2x}-1=2x+o(x)

 

e sostituiamo le due espressioni polinomiali nel limite

 

\lim_{x\to 0}\frac{x+o(x)}{2x+o(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}

 

Notate nulla di strano? I limiti notevoli e gli sviluppi in serie di Taylor arrestati al primo ordine si assomigliano tantissimo.

 

In realtà non si tratta di un caso fortuito, ed è sintomo di ciò che succede in generale: i limiti notevoli della forma

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(s(x))}{s(x)}=c\ \ \ (\mbox{con }c\neq 0)

 

forniscono proprio lo sviluppo in serie di f(x) al primo ordine in x_0. Tale sviluppo è dato da

 

f(s(x))=c\cdot s(x)+o(s(x))

 

Ad esempio:

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}=1\ \ \ \to\ \ \ \ln{(1+x)}=x+o(x)\\ \\ \\ \lim_{x\to 1}\frac{e^{x-1}-1}{x-1}=1\ \to\ e^{x-1}-1=(x-1)+o(x-1)\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^c-1}{x}=c\ \to\ (1+x)^c-1=cx+o(x)

 

Provate per esercizio a verificare quanto appena scritto sviluppando le funzioni di qualche limite notevole, e osservate cosa succede. :)

 

Fin qui la morale della favola è che i limiti notevoli costituiscono un caso particolare dell'utilizzo degli sviluppi di Taylor nel calcolo dei limiti, ove compaiono funzioni sviluppabili nell'intorno dei vari punti.

 

Quando si devono calcolare i limiti con Taylor?

 

Tale domanda potrebbe essere scritta in una forma alternativa: quando dobbiamo usare Taylor e non possiamo usare i limiti notevoli?

 

Cominciamo col definire "primo ordine di sviluppo non nullo" il primo termine non nullo che compare in uno sviluppo di Taylor. Ad esempio, se consideriamo gli sviluppi

 

\\ \sin{(x)}=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ \\ \sin{(x^6)}=x^6-\frac{x^{18}}{6}+o(x^{18})

 

nei rispettivi casi il primo ordine non nullo di sviluppo è x\mbox{ e }x^6.

 

Capire quando dobbiamo obbligatoriamente calcolare un limite con Taylor significa capire quando l'applicazione dei limiti notevoli fallisce. Ciò succede nei casi di forme di indecisione in cui compaiono differenze o somme in cui i primi ordini di sviluppo non nulli si annullano a vicenda.

 

Poco importa quale sia la forma indeterminata in questione: la condizione è che, da qualche parte nell'espressione della funzione, ci sia almeno una somma algebrica in cui gli addendi coincidono al primo ordine non nullo di sviluppo, e sono tali da cancellare reciprocamente il primo ordine non nullo di sviluppo nella somma algebrica.

 

Inoltre, lo sviluppo è richiesto solamente per le funzioni coinvolte nella somma/differenza che comporta l'annullamento dei primi ordini non nulli di sviluppo. Per tutti gli altri termini che compaiono nell'espressione analitica della funzione possiamo limitarci alle equivalenze asintotiche imposte dai limiti notevoli.

 

Esempi

 

1) \lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}-\ln{(1+x^2)}}{1-\cos{(x)}}

 

A numeratore abbiamo una differenza e la forma di indecisione è \left[\frac{0}{0}\right], dunque controlliamo i primi ordini non nulli di sviluppo. In parole povere consideriamo i corrispondenti limiti notevoli

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\ \ \to\ \ \sin{(x)}=x+o(x)\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}=1\ \ \to\ \ \ln{(1+x^2)}=x^2+o(x^2)

 

Qui la differenza non annulla i primi ordini non nulli

 

x-x^2\neq 0

 

dunque possiamo ricorrere in tutta tranquillità al calcolo del limite con i limiti notevoli

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}-\ln{(1+x^2)}}{1-\cos{(x)}}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x^2}{\frac{1}{2}x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\frac{1}{2}x^2}=\pm\infty.

 

 

2) \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin{(x)}}{x^3}

 

Vediamo subito che i primi ordini non nulli si annullano a numeratore

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\ \ \to\ \ \sin(x)=x+o(x)\ \ \ \to\ \ \ x-x=0

 

quindi, stando a quanto detto in precedenza, non possiamo usare i limiti notevoli. Vogliamo provarci lo stesso?

 

\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin{(x)}}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{0}{x^3}=0

 

A numeratore avremmo uno zero esatto, dunque non avremmo nemmeno una forma indeterminata.

 

Se invece procediamo con Taylor e sviluppiamo le funzioni della differenza fino al terzo ordine (l'unica da sviluppare è il seno)

 

\sin{(x)}=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)

 

otteniamo

 

\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin{(x)}}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x+\frac{x^3}{6}-o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x^3}{6}}{x^3}=\frac{1}{6}

 

Come potete vedere i limiti notevoli falliscono in questo caso, mentre Taylor ci porta sulla retta via. ;)

 

 

3) Se le funzioni coincidono al primo ordine non nullo, ma la somma/differenza non annulla i primi ordini non nulli di sviluppo, non ci sono problemi.

 

In questi casi il primo ordine non nullo di sviluppo sopravvive e possiamo ricorrere tranquillamente alle equivalenze asintotiche dettate dai limiti notevoli

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}+e^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x+x}{x}=2

 

 

4) \lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)-\log(1+x)}{\arctan(x)}

 

A numeratore abbiamo una differenza sospetta, quindi controlliamo i primi ordini non nulli di sviluppo facendo riferimento ai limiti notevoli

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)}{x}=1\ \ \to\ \ \tan(x)=x+o(x)\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)}{x}=1\ \ \to\ \ \log(1+x)=x+o(x)

 

Come sospettavamo, i primi ordini non nulli di sviluppo si cancellano a vicenda

 

x-x=0

 

ed è necessario calcolare il limite con Taylor. Scriviamo gli sviluppi delle sole funzioni coinvolte nella differenza, arrestandoci al terzo ordine

 

\\ \tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ \\ \log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)

 

Per il denominatore possiamo limitarci all'equivalenza asintotica data dal limite notevole dell'arcotangente. In questo modo otteniamo

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)-\log(1+x)}{\arctan(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)-\left[x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right]}{x}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^3)}{x}=0

 

A proposito: non dimentichiamoci dell'algebra degli o-piccolo perché in questo contesto si rende necessaria per fare i calcoli.

 

Limiti con Taylor sì, limiti notevoli no: perché?

 

Perché, quando si manifesta l'annullamento dei primi ordini non nulli di sviluppo, si rende necessario l'uso di Taylor?

 

Ciò accade perché in questi casi tutti gli altri metodi non ci permettono di cogliere le differenze qualitative che sussistono e che scavalcano il primo ordine non nullo di sviluppo. L'unico metodo in grado di coglierle prevede l'uso degli sviluppi di Taylor. I limiti notevoli sono destinati a fallire perché non vedono nulla oltre il primo ordine non nullo di sviluppo.

 

Ordine minimo di sviluppo per i limiti con Taylor

 

Quando dobbiamo usare Taylor nei limiti possiamo scegliere un qualsiasi ordine di sviluppo che superi il primo ordine non nullo, per ciascuna delle funzioni coinvolte nella somma/differenza.

 

Grazie tante, ma ci sarà pure una scelta ottimale che ci permetta di arrivare al risultato e di minimizzare gli sforzi, o no?

 

Sì, c'è: è sufficiente fermare tutti gli sviluppi al secondo ordine di sviluppo non nullo, cioè al primo ordine che sopravvive nella somma/differenza. Questo è l'ordine minimo di arresto per gli sviluppi che compaiono nelle somme e nelle differenze incriminate, ed è naturalmente anche l'ordine cui conviene arrestare tutti gli sviluppi.

 

Ad esempio se vogliamo calcolare

 

\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-\sinh(x)}{1-\cos^2(x)}

 

possiamo sviluppare le funzioni coinvolte nella differenza

 

\\ f(x)=e^{x}-1\\ \\ g(x)=\sinh(x)

 

anche fino al ventisettesimo ordine, ma non gioverebbe granché alla nostra salute... Al contrario se ci fermiamo separatamente al secondo ordine non nullo di sviluppo

 

\\ e^{x}-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ \\ \sinh{(x)}=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)

 

da un lato abbiamo la garanzia di vedere le differenze qualitative tra le funzioni coinvolte nella somma algebrica; dall'altro riduciamo al minimo gli sforzi, evitando di calcolare ordini superiori che risulterebbero irrilevanti ai fini del calcolo del limite.

 

Caveat sui limiti con Taylor

 

La tecnica di calcolo dei limiti con Taylor è meravigliosa, perché ove applicabile funziona sempre e non ha... limiti. Essa però comporta anche dei rischi di natura computazionale:

 

- nei casi in cui non è obbligatoria va sempre evitata, perché il calcolo degli sviluppi richiede conti e tempo. Certo, ricordare gli sviluppi delle funzioni elementari è di grande aiuto, ma perché fare calcoli che non sono necessari? Alla luce di ciò bisogna sempre prestare attenzione alla condizione che rende l'applicazione di Taylor obbligatoria.

 

- nei casi in cui il calcolo dei limiti con Taylor è l'unica strada percorribile è fondamentale fermarsi al secondo ordine di sviluppo non nullo nella somma algebrica. Procedendo oltre non sbaglieremmo di certo, ma faremmo parecchi calcoli inutili.

 

Come potete vedere è tutta una questione di equilibrio che fortunatamente non richiede doti artistiche né di intuizione: ci sono condizioni ben precise e altrettanto precise regole da seguire.

 

Quando si impara per la prima volta a calcolare i limiti con Taylor è del tutto naturale procedere per tentativi sugli ordini di sviluppo, ma grazie al continuo esercizio si riesce a sviluppare una buona sensibilità che permette di capire molto velocemente quale sia l'ordine minimo di sviluppo.

 

 


 

È tutto! Per eventuali dubbi o domande sappiate che abbiamo trattato l'argomento in lungo e in largo, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

 

A partire dalla scheda correlata potete consultare parecchi esercizi svolti sui limiti con Taylor, inoltre in caso di necessità potete correggere i risultati dei vostri esercizi con il tool per calcolare i limiti online e con quello per calcolare gli sviluppi di Taylor online. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati

 

Tags: come calcolare i limiti con gli sviluppi in serie di Taylor.

 

pba1