Limite infinito per x tendente a un valore finito

Con l'espressione limite infinito per x tendente a un valore finito ci si riferisce al secondo tipo di definizione relativa al passaggio al limite per funzioni reali di variabile reale, che viene talvolta chiamata limite infinito al finito.

Passiamo a presentare il secondo dei quattro casi che si può manifestare nel definire l'operazione di passaggio al limite. Dopo aver dato la definizione di limite finito per x tendente a un valore finito vediamo come formalizzare la variante in cui la x continua a tendere a un valore finito, ma il risultato è infinito.

Per dare una definizione complessivamente consistente dovremo distinguere tra quattro possibili sottocasi, a seconda che la funzione diverga positivamente (a più infinito) o negativamente (a meno infinito) a sinistra e a destra del punto.

Premesse per la definizione di limite infinito per x tendente a un valore finito

Per introdurre il caso di limite infinito al finito considereremo una generica funzione reale di variabile reale f:Dom(f) ⊆ R → R, con espressione analitica y = f(x) e dominio Dom(f). Il nostro intento è dare un senso formale alle scritture

lim_(x → x_0)f(x) = -∞ ; lim_(x → x_0)f(x) = +∞

e per farlo ci appoggeremo all'unica ipotesi secondo cui x_0∈R sia un punto di accumulazione del dominio della funzione. La funzione può eventualmente non essere definita in tale punto, è irrilevante: come sappiamo il passaggio al limite esprime il comportamento della funzione nell'intorno del punto e non nel punto.

L'importante è che x_0 sia un punto di accumulazione per il dominio in modo tale che sia possibile effettuare il passaggio al limite. Come già sappiamo la scrittura x → x_0 denota l'avvicinarsi dei valori d'ascissa x al punto x_0, quindi deve essere possibile effettuare le valutazioni di f(x) man mano che x si avvicina progressivamente a x_0, senza raggiungere tale ascissa.

Esempio

Consideriamo il seguente limite

lim_(x → 1)f(x) = lim_(x → 1)(x+2)/((x-1)^2)

Come ben saprete non è possibile effettuare la valutazione della funzione f(x) nel punto x = 1 in quanto tale punto non appartiene al dominio. Risulta infatti

Dom(f) = (-∞,+1) U (+1,+∞)

Cionondimeno il passaggio al limite ci permetterà di studiare rigorosamente il comportamento della funzione nell'intorno bucato del punto x = 1. Più avanti, quando avremo tutte le premesse teoriche e avremo imparato a calcolare i limiti, saremo in grado di asserire in un batter d'occhio che

lim_(x → 1)(x+2)/((x-1)^2) = +∞

Definizione di limite infinito per x tendente ad un valore finito

Ci sono quattro possibili eventualità in cui si può manifestare un limite infinito per x tendente a un valore finito x_0∈R. I casi che formalizzeremo coprono tutta la gamma di possibilità e possono essere raggruppati nel modo seguente:

- la funzione tende all'infinito con lo stesso segno sia a sinistra che a destra del punto;

- la funzione tende all'infinito con segni opposti a sinistra e a destra del punto.

Definizione (limite +infinito a sinistra e a destra per x tendente ad un valore finito)

Diciamo che per x tendente a x_0 la funzione f(x) tende a +∞ se per ogni valore M > 0 esiste un valore δ > 0, dipendente da M, tale che comunque si consideri x∈ Dom(f) con

0 < |x-x_0| < δ

allora risulta che

f(x) > M

Volendo esprimere la definizione in linguaggio puramente simbolico:

lim_(x → x_0)f(x) = +∞

se ∀ M > 0 ∃ δ(M) > 0 ; per cui se x∈ Dom(f) e' tale che 0 < |x-x_0| < δ ; allora risulta che f(x) > M

e diremo che la funzione diverge positivamente per x → x_0, o ancora che essa tende a +infinito per x → x_0.

L'analisi grafica della definizione, con un esempio di supporto come nella seguente figura, aiuta a comprendere cosa richiede la definizione. Per poter dire che la funzione ha limite +infinito per x → x_0 deve valere la seguente condizione: comunque scegliamo un valore M di controllo per le distanze sulle ordinate, da intendersi "grande a piacere", deve esistere un corrispondente valore δ di controllo per le distanze sulle ascisse, da intendersi "piccolo", in modo tale che considerando x ≠ x_0 distante da x_0 meno di δ avremo un'immagine f(x) maggiore di M.

Attenzione a non sottovalutare la condizione 0 < |x-x_0| < δ: essa non impone solamente che x disti da x_0 meno di δ, ma ci impone anche di non considerare x_0 tra i possibili valori di x. Il valore assoluto infatti è nullo se e solo se il suo argomento è nullo. ;)

Esempio grafico limite infinito per x tendente a un valore finito

Definizione (limite -infinito a sinistra e a destra per x tendente ad un valore finito) 

Diciamo che per x tendente a x_0 la funzione f(x) tende a -∞ se per ogni valore M > 0 esiste un valore δ > 0, dipendente da M, tale che se si considera x∈ Dom(f) con

0 < |x-x_0| < δ

allora risulta che

f(x) < -M

In simboli:

lim_(x → x_0)f(x) = -∞

se ∀ M > 0 ∃ δ(M) > 0 ; per cui se x∈ Dom(f) e' tale che 0 < |x-x_0| < δ ; allora risulta che f(x) < -M

e diremo che la funzione diverge negativamente per x → x_0, o ancora che essa tende a -infinito per x → x_0.

Proviamo a rileggere la definizione con l'ausilio del seguente esempio grafico. Una funzione ha limite meno infinito per x → x_0 se vale la seguente condizione: comunque scegliamo un valore M, di controllo per le distanze sulle ordinate, deve esistere un corrispondente valore δ, di controllo per le distanze sulle ascisse, in modo tale che considerando x ≠ x_0 distante da x_0 meno di δ avremo un'immagine f(x) minore di -M.

Esempio di limite che vale meno infinito al tendere di x a un valore finito

Definizione (limite +infinito a sinistra, -infinito a destra per x tendente ad un valore finito)

Diciamo che per x tendente a x_0 la funzione f(x) tende a +∞ a sinistra e a -∞ a destra se:

- per ogni valore M_1 > 0 esiste un valore δ_1 > 0, dipendente da M_1, tale che se si considera x∈ Dom(f) con 0 < x_0-x < δ_1 (sinistra) allora risulta che f(x) > M_1;

- per ogni valore M_2 > 0 esiste un valore δ_2 > 0, dipendente da M_2, tale che se si considera x∈ Dom(f) con 0 < x-x_0 < δ_2 (destra) allora risulta che f(x) < -M_2.

In simboli:

lim_(x → x_0^-)f(x) = +∞ e lim_(x → x_0^+)f(x) = -∞

se ∀ M_1 > 0 ∃ δ_1(M_1) > 0, ∀ M_2 > 0 ∃ δ(M_2) > 0 ; per cui se x∈ Dom(f) e' t.c. 0 < x_0-x < δ_1 allora f(x) > M_1 ; per cui se x∈ Dom(f) e' t.c. 0 < x-x_0 < δ_2 allora f(x) < -M_2

in questo caso non possiamo esprimere il risultato con un unico limite, ma dobbiamo introdurre una notazione che distingua tra il comportamento a sinistra e il comportamento a destra di x_0

In altri termini, a differenza dei primi due casi, il limite per x → x_0 di f(x) non esiste come unico limite; possiamo limitarci a dire che la funzione diverge positivamente a sinistra di x_0 e negativamente a destra di x_0, o ancora che essa tende a +infinito a sinistra di x_0 e a -infinito a destra di x_0.

Passiamo all'interpretazione grafica della definizione. Una funzione ha limite +infinito a sinistra e -infinito a destra di x_0 se vale la seguente condizione: comunque scegliamo un valore M, di controllo per le distanze sulle ordinate, deve esistere un corrispondente valore δ, di controllo per le distanze sulle ascisse, in modo tale che:

- considerando x < x_0 e distante da x_0 meno di δ avremo un'immagine f(x) maggiore di M;

- considerando x > x_0 e distante da x_0 meno di δ avremo un'immagine f(x) minore di -M;

Notate come, nella definizione, le disequazioni relative al δ abbiano segni invertiti in modo da individuare rispettivamente le ascisse a sinistra e a destra di x_0. A sinistra x_0-x perché x < x_0, a destra x-x_0 perché x > x_0: in entrambi i casi tale differenza deve risultare positiva.

Esempio di limite infinito con segno più e meno a sinistra e a destra di un valore finito

Definizione (limite -infinito a sinistra, +infinito a destra per x tendente ad un valore finito)

Diciamo che per x tendente a x_0 la funzione f(x) tende a -∞ a sinistra e a +∞ a destra se:

- per ogni valore M_1 > 0 esiste un valore δ_1 > 0, dipendente da M_1, tale che se si considera x_0∈ Dom(f) con 0 < x_0-x < δ_1 (sinistra) allora risulta che f(x) < -M_1;

- per ogni valore M_2 > 0 esiste un valore δ_2 > 0, dipendente da M_2, tale che se si considera x_0∈ Dom(f) con 0 < x-x_0 < δ_2 (destra) allora risulta che f(x) > M_2.

 

In linguaggio simbolico:

lim_(x → x_0^-)f(x) = -∞ e lim_(x → x_0^+)f(x) = +∞

se ∀ M_1 > 0 ∃ δ_1(M_1) > 0, ∀ M_2 ∃ δ_2(M_2) > 0 ; per cui se x∈ Dom(f) e' t.c. 0 < x_0-x < δ_1 allora f(x) < -M_1 ; per cui se x∈ Dom(f) e' t.c. 0 < x-x_0 < δ_2 allora f(x) > M_2

Qui valgono considerazioni perfettamente analoghe ed opposte rispetto al caso precedente. Ribadiamo che anche in tale eventualità non possiamo trascrivere la definizione sotto forma di un unico limite, e dobbiamo porre una netta distinzione tra il comportamento a sinistra e a destra di x_0.

In sintesi il limite per x → x_0 di f(x) non esiste come unico limite.

Esempio di verifica di un limite infinito al finito mediante la definizione

Consideriamo la funzione logaritmica e verifichiamo che, in accordo con il suo grafico

lim_(x → 0^+)ln(x) = -∞

Innanzitutto osserviamo che possiamo solamente scrivere il limite da destra, poiché il dominio di f(x) = ln(x) è (0,+∞). Poniamoci la fatidica domanda su cui è incentrata la definizione: comunque scegliamo M > 0 possiamo trovare un corrispondente δ che soddisfa la proprietà richiesta?

Per scoprirlo partiamo dalla disequazione finale

ln(x) < -M

Tale disequazione logaritmica è di semplice risoluzione. Non dobbiamo nemmeno preoccuparci delle condizioni di esistenza, perché stiamo lavorando nel dominio

x < e^(-M)

Ricordando che qui è x_0 = 0 e che la funzione esponenziale è positiva per definizione, possiamo scrivere con notazione ridondante

0 < x-0 < e^(-M)

che sarebbe 0 < x-x_0 < δ. Abbiamo trovato il δ dipendente da M che verifica la definizione:

δ(M) = e^(-M)

ed è coerente con quanto ci aspettavamo: ad un valore di M > 0 grande corrisponde un valore e^(-M) molto piccolo in modulo, in accordo con l'andamento della funzione esponenziale.

Considerazioni sul limite infinito per x tendente a un valore finito 

Avete fatto caso che in questa lezione, per la prima volta, abbiamo avuto la necessità di distinguere tra il comportamento della funzione nell'intorno sinistro e destro del punto? Nella lezione successiva approfondiremo questo aspetto proponendo le definizioni formali di limite destro e sinistro e ne apprezzeremo la grande utilità, perché ci permetteranno di portare l'analisi del comportamento locale delle funzioni ad una maggiore profondità. ;)

Un'ultima osservazione di natura pratica: il tipo di limite che abbiamo formalizzato si manifesterà nella pratica in molti casi diversi. Tra questi in particolare quello di maggior rilievo riguarda l'andamento delle funzioni nei punti di frontiera limitati esclusi dal dominio. Per rendere l'idea, riusciremo a capire come si comporta una funzione in prossimità dei punti x = a, x = b, x = c del seguente dominio di esempio

(-∞,a) U (a,b) U (c,d] U [d,+∞)

Grazie ai limiti infiniti al finito saremo in grado, più avanti, di capire se e quando una funzione ammette un asintoto verticale, un vero e proprio caposaldo dello studio di funzione.

Nella scheda correlata di esercizi, svolti e proposti, potete trovare degli esempi di limiti infiniti per x tendente a valore finito verificati mediante la definizione. Per tutto il resto vi raccomandiamo come sempre l'uso della barra di ricerca interna. ;)

Zbohom, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Tags: definizione di limite infinito per x tendente a un valore finito, il secondo dei quattro tipi di limite. Lezione molto utile nel contesto di verifica dei limiti con la definizione e per impararne il significato geometrico - per ogni N esiste un delta.

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