Definizione di limite finito per x tendente a un valore finito

La definizione di limite finito per x tendente a una valore finito è la prima delle quattro definizioni che consentono di definire l'operazione di passaggio al limite per funzioni reali di una variabile reale.

 

In questa lezione spieghiamo la definizione di limite nel primo dei quattro casi che abbiamo presentato nell'introduzione sul concetto di limite di funzione, e nel frattempo cerchiamo di prendere confidenza con questa nuova operazione. In particolare daremo un senso alla scrittura di limite per x tendente ad un valore finito e che assume un valore finito

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=c

 

e per farlo proporremo una definizione simbolica che si baserà sull'uso di due parametri di controllo delle distanze per le ascisse e le ordinate, rispettivamente delta ed epsilon. Nel leggere la definizione raccomandiamo moltissima pazienza ai lettori alle prime armi. ;)

 

Premesse per la definizione di limite finito con x tendente a un valore finito

 

Prima di scrivere la definizione di limite finito per x tendente a un valore finito è opportuno fare alcune premesse. Come abbiamo già anticipato il limite che intendiamo definire è il seguente

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=c

 

dove f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} è una funzione reale di variabile reale. C'è una sola condizione che ci serve per poter definire il limite appena scritto: x_0\in\mathbb{R} deve essere un punto di accumulazione per il dominio della funzione f.

 

Cosa indica la scrittura x\to x_0\ ? Significa che consideriamo valori di x sempre più vicini al punto x_0 e che, man mano che i valori di x si avvicinano ad x_0, stiamo considerando le corrispondenti valutazioni f(x).

 

Obiezione: non si fa prima a calcolare direttamente la valutazione della funzione nel punto, cioè f(x_0)? Dipende, ma in generale la risposta è no.

 

Da un lato dobbiamo ricordare ciò che abbiamo detto nella lezione introduttiva: il passaggio al limite fornisce un risultato che esprime il valore cui la funzione tende in prossimità del punto, il che non necessariamente coincide con il valore assunto dalla funzione nel punto.

 

Inoltre, in accordo con la condizione che abbiamo premesso, x_0 deve essere un punto di accumulazione per il dominio della funzione: ciò significa che x_0 può appartenere come non appartenere al dominio, e dunque la funzione potrebbe non essere ivi valutabile.

 

Esempio 1

 

Anche se (per ora) non sapreste giustificarlo, sappiate che

 

\lim_{x\to -2}x^2=4

 

e calcolare tale limite è la stessa identica cosa che valutare la funzione nel punto x=-2, vale a dire f(-2)=4.

 

Esempio 2

 

Sempre sulla fiducia:

 

\lim_{x\to 0}\frac{x}{\ln(x)}=0

 

Tale limite vale zero. Riuscite a calcolare la valutazione della funzione f(x)=\frac{x}{\ln(x)} nel punto x=0? Assolutamente no, perché il logaritmo naturale non è definito in zero.

 

Torniamo a noi. Quando abbiamo di fronte un limite del tipo

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=c

 

abbiamo detto che il significato intuitivo è quello di effettuare valutazioni di f(x) immaginando che x si avvicini via via al punto x_0, sia arrivando da sinistra che da destra di x_0

 

x tendente a x con 0

 

Ricordatevi sempre che, nella pratica, x_0 sarà uno specifico valore: 3, -6, 1, 11121...

 

A cosa serve la nozione di limite finito per x tendente a un valore finito x0? Serve a studiare il comportamento della funzione man mano che si considerano ascisse sempre più vicini a x_0. Più precisamente, serve a calcolare il valore cui tendono i valori assunti dalla funzione man mano che le ascisse si avvicinano a x_0, e lo consente indipendentemente che la funzione sia definita o non definita in x_0. L'unica richiesta è che x_0 sia un punto di accumulazione per il dominio della funzione, in modo che sia effettivamente possibile considerare ascisse sempre più vicine a x_0.

 

Definizione di limite finito per x tendente a un valore finito

 

Consideriamo una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}, dall'espressione analitica y=f(x), e sia x_0 un punto di accumulazione per il dominio della funzione. Diciamo la funzione f(x) tende al valore c al tendere di x ad x_0, e scriviamo

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=c

 

se, comunque si sceglie un valore