Definizione di limite finito per x tendente a un valore finito

La definizione di limite finito per x tendente a una valore finito è la prima delle quattro definizioni che consentono di definire l'operazione di passaggio al limite per funzioni reali di una variabile reale.

 

In questa lezione spieghiamo la definizione di limite nel primo dei quattro casi che abbiamo presentato nell'introduzione sul concetto di limite di funzione, e nel frattempo cerchiamo di prendere confidenza con questa nuova operazione. In particolare daremo un senso alla scrittura di limite per x tendente ad un valore finito e che assume un valore finito

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=c

 

e per farlo proporremo una definizione simbolica che si baserà sull'uso di due parametri di controllo delle distanze per le ascisse e le ordinate, rispettivamente delta ed epsilon. Nel leggere la definizione raccomandiamo moltissima pazienza ai lettori alle prime armi. ;)

 
 
 

Premesse per la definizione di limite finito con x tendente a un valore finito

 

Prima di scrivere la definizione di limite finito per x tendente a un valore finito è opportuno fare alcune premesse. Come abbiamo già anticipato il limite che intendiamo definire è il seguente

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=c

 

dove f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} è una funzione reale di variabile reale. C'è una sola condizione che ci serve per poter definire il limite appena scritto: x_0\in\mathbb{R} deve essere un punto di accumulazione per il dominio della funzione f.

 

Cosa indica la scrittura x\to x_0\ ? Significa che consideriamo valori di x sempre più vicini al punto x_0 e che, man mano che i valori di x si avvicinano ad x_0, stiamo considerando le corrispondenti valutazioni f(x).

 

Obiezione: non si fa prima a calcolare direttamente la valutazione della funzione nel punto, cioè f(x_0)? Dipende, ma in generale la risposta è no.

 

Da un lato dobbiamo ricordare ciò che abbiamo detto nella lezione introduttiva: il passaggio al limite fornisce un risultato che esprime il valore cui la funzione tende in prossimità del punto, il che non necessariamente coincide con il valore assunto dalla funzione nel punto.

 

Inoltre, in accordo con la condizione che abbiamo premesso, x_0 deve essere un punto di accumulazione per il dominio della funzione: ciò significa che x_0 può appartenere come non appartenere al dominio, e dunque la funzione potrebbe non essere ivi valutabile.

 

Esempio 1

 

Anche se (per ora) non sapreste giustificarlo, sappiate che

 

\lim_{x\to -2}x^2=4

 

e calcolare tale limite è la stessa identica cosa che valutare la funzione nel punto x=-2, vale a dire f(-2)=4.

 

Esempio 2

 

Sempre sulla fiducia:

 

\lim_{x\to 0}\frac{x}{\ln(x)}=0

 

Tale limite vale zero. Riuscite a calcolare la valutazione della funzione f(x)=\frac{x}{\ln(x)} nel punto x=0? Assolutamente no, perché il logaritmo naturale non è definito in zero.

 

Torniamo a noi. Quando abbiamo di fronte un limite del tipo

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=c

 

abbiamo detto che il significato intuitivo è quello di effettuare valutazioni di f(x) immaginando che x si avvicini via via al punto x_0, sia arrivando da sinistra che da destra di x_0

 

x tendente a x con 0

 

Ricordatevi sempre che, nella pratica, x_0 sarà uno specifico valore: 3, -6, 1, 11121...

 

A cosa serve la nozione di limite finito per x tendente a un valore finito x0? Serve a studiare il comportamento della funzione man mano che si considerano ascisse sempre più vicini a x_0. Più precisamente, serve a calcolare il valore cui tendono i valori assunti dalla funzione man mano che le ascisse si avvicinano a x_0, e lo consente indipendentemente che la funzione sia definita o non definita in x_0. L'unica richiesta è che x_0 sia un punto di accumulazione per il dominio della funzione, in modo che sia effettivamente possibile considerare ascisse sempre più vicine a x_0.

 

Definizione di limite finito per x tendente a un valore finito

 

Consideriamo una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}, dall'espressione analitica y=f(x), e sia x_0 un punto di accumulazione per il dominio della funzione. Diciamo la funzione f(x) tende al valore c al tendere di x ad x_0, e scriviamo

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=c

 

se, comunque si sceglie un valore \varepsilon>0 esiste un valore \delta>0, dipendente dal \varepsilon scelto, tale che comunque si consideri x\in Dom(f) in modo che

 

0<\left|x-x_0\right|<\delta

 

ne consegue che

 

|f(x)-c|<\varepsilon

 

In simboli

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=c

 

\begin{align*}&\mbox{se }\forall \varepsilon>0\ \exists \delta(\varepsilon)>0 \mbox{ per cui se } x\in Dom(f)\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ tale che }0<\left|x-x_0\right|<\delta\\ \\ &\mbox{allora risulta che }\left|f(x)-c\right|<\varepsilon\end{align}

 

In questo frangente si suole dire che al tendere di x\to x_0 la funzione converge al valore c.

 

Se avete letto questa definizione tre o quattro volte e siete alle prime armi, vi leviamo subito dall'imbarazzo: è normale che non ci abbiate capito nulla. Che ne dite di passare ad analizzarla nel dettaglio? ;)

 

Analisi della definizione di limite finito per x tendente a un valore finito

 

Vediamo cosa significa la precedente definizione analizzandola parola per parola e appoggiandoci a qualche esempio. Innanzitutto scomponiamo la definizione: centriamo ogni singola parte e commentiamola nel dettaglio.

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=c

 

Il limite per x che tende ad x_0, punto di accumulazione per Dom(f), di f(x) vale c.

 

... se, comunque si sceglie un valore \varepsilon>0 ...

 

Il valore \varepsilon è arbitrario ed da intendersi come un valore "piccolo a piacere". È un parametro che usiamo per controllare la differenza sulle ordinate y, cioè sui valori assunti dalla funzione f. Iniziamo quindi con lo scegliere un valore \varepsilon positivo e a piacere.

 

... esiste un valore \delta=\delta(\varepsilon)>0, dipendente dal \varepsilon scelto ...

 

La proprietà di esistenza del limite finito per x tendente al valore finito x_0 è vincolata all'esistenza di un valore \delta da intendersi "piccolo" e che qui non è preso a caso, perché viene determinato dal \varepsilon inizialmente scelto.

 

Attenzione: la proprietà che ci richiede la definizione è che ad una scelta libera di \varepsilon corrisponda in automatico un valore \delta correlato al \varepsilon scelto.

 

Che ce ne facciamo del \delta? Ci servirà per effettuare un controllo di distanza tra i valori delle ascisse.

 

... tale che comunque si consideri x\in Dom(f) in modo che 0<\left|x-x_0\right|<\delta ...

 

Ora stiamo dicendo che comunque prendiamo un'ascissa x\neq x_0 con una distanza da x_0 minore del \delta ottenuto in precedenza...

 

... ne consegue che \left|f(x)-c\right|<\varepsilon.

 

... allora avremo un'ordinata f(x) corrispondente a quella x che disterà dal valore c meno di \varepsilon.

 

Riassumendo

 

Diciamo che c, valore finito, è il limite per x\to x_0 di f(x) se comunque scegliamo una distanza \varepsilon esiste una distanza \delta, vincolata da \varepsilon, per la quale comunque scegliamo una x\in Dom(f) distante da x_0 meno di \delta, allora l'ordinata f(x) dista da c meno di \varepsilon.

 

Analisi grafica della definizione di limite finito per x tendente a un valore finito

 

Ecco come si presenta la situazione con un esempio grafico.

 

Limite finito per x tendente a un valore finito

 

Notate che il processo logico per la definizione di limite finito per x tendente a un valore finito x_0 prevede i seguenti passaggi:

 

1) comunque consideriamo una distanza di controllo delle ordinate

 

2) otteniamo una corrispondente distanza di controllo sulle ascisse, per cui

 

3) comunque prendiamo una x\in Dom(f) entro la distanza di controllo delle ascisse rispetto al punto x_0 e diversa da x_0

 

4) otteniamo un'immagine f(x) entro la distanza di controllo delle ordinate rispetto al valore c.

 

Se la definizione viene soddisfatta, allora scriviamo

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=c

 

e diciamo che f(x)\to c quando x\to x_0.

 

Notate in particolare che:

 

- nella definizione le distanze compaiono con il valore assoluto perchè la x può trovarsi sia a sinistra che a destra di x_0, e il valore f(x) può trovarsi sia sopra che sotto c;

 

- comunque scegliamo x in modo tale che 0<|x-x_0|<\delta, non possiamo scegliere x=x_0

 

Definizione equivalente di limite finito per x tendente a un valore finito mediante gli intorni

 

Tranquilli, qui non aggiungiamo nulla. ;) Vogliamo solo proporvi una formulazione equivalente della definizione facendo uso della nozione di intorno di un punto.

 

Sia x_0 un punto di accumulazione per Dom(f). Diciamo che f(x)\to c per x\to x_0 se, comunque scegliamo \varepsilon>0, esiste un \delta=\delta(\varepsilon)>0 per cui, comunque si scelga x\in Dom(f) nell'intorno bucato con centro x_0 e raggio \delta, ne consegue che f(x) appartiene all'intorno con centro c e raggio \varepsilon.

 

Ancora! La stessa definizione scritta con le notazioni simboliche degli intorni.

 

f(x)\to_{x\to x_0}c

 

\begin{align*}&\mbox{ se }\forall \varepsilon>0\ \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0\mbox{ tale che se } x\in Dom(f)\cap B_{\delta}(x_0)-\{x_0\}\\ \\ & \mbox{allora risulta che }f(x)\in B_{\varepsilon}(c)\end{align}

 

Esempio di verifica di un limite mediante la definizione

 

Passiamo finalmente dalla teoria alla pratica e vediamo di prendere confidenza con la definizione di limite che abbiamo introdotto, usandola per verificare la validità di un limite finito per x tendente a un valore finito.

 

Vogliamo verificare che

 

\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2

 

Intanto notiamo che la funzione in esame ha come dominio Dom(f)=(-\infty,1)\cup(1,+\infty) e che x=1 è un punto di accumulazione per Dom(f).

 

Comunque scegliamo un valore \varepsilon>0, esiste un corrispondente \delta che soddisfa la definizione? Ricordiamo che il \delta dipenderà da \varepsilon, per questo si è soliti indicare \delta(\varepsilon).

 

Per vederlo, imponiamo la disequazione finale

 

\left|\frac{x^2-1}{x-1}-2\right|<\varepsilon

 

che si traduce in

 

\left|\frac{x^2-1-2x+2}{x-1}\right|<\varepsilon

 

Passiamo al denominatore comune

 

\left|\frac{x^2-2x+1}{x-1}\right|<\varepsilon

 

scomponiamo il numeratore con la regola del quadrato di un binomio e, tenendo presente la condizione x\neq 1, semplifichiamo

 

|x-1|<\varepsilon\ \ \ \mbox{con }x\neq 1

 

Ricordando che il valore assoluto è nullo se e solo se l'argomento è nullo, possiamo riassumere la precedente condizione nella forma

 

0<|x-1|<\varepsilon

 

Cosa abbiamo scoperto? Comunque scegliamo \varepsilon, esiste un corrispondente \delta che rende vera la proprietà richiesta nella definizione? Ebbene sì, basta prendere \delta=\varepsilon. :)

 

 


 

Nella scheda correlata di esercizi proponiamo altri esempi svolti sulla verifica mediante la definizione. Gli altri tre casi sui limiti, di cui abbiamo accennato nell'articolo introduttivo, verranno presentati nelle lezioni successive; più avanti forniremo inoltre un'ulteriore condizione per il limite finito al finito introducendo i concetti di limite da destra e da sinistra.

 

Per chi se lo stesse domandando, sappiate che dopo aver fornito le definizioni presenteremo delle tecniche di calcolo dei limiti che non richiederanno di usare le definizioni. Vale inoltre la solita regola: non abbiate la pretesa di capire tutto e subito. Il più delle volte non si riesce a capire un concetto perchè ci si distrae, pensando ai suoi utilizzi oppure perchè si vuole arrivare la traguardo senza seguire il dovuto percorso: non è così che si fa e non è così che funziona. ;)

 

 

Hwyl fawr, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: definizione di limite finito per x tendente a un valore finito, il quarto dei quattro tipi di limite. Lezione molto utile nel contesto di verifica dei limiti con la definizione e per impararne il significato geometrico - per ogni epsilon esiste un delta.

 

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