Cosa sono i limiti di funzioni?

Il limite di una funzione è un'operazione, o meglio un operatore, che permette di studiare il comportamento di una funzione nell'intorno di un punto, e grazie al quale possiamo stabilire a quale valore tende la funzione man mano che i valori della variabile indipendente si approssimano a quel punto.

 

Questa lezione si propone un semplice obiettivo: mostrare, mediante una spiegazione informale e poco rigorosa, come il limite non sia nient'altro che un nuovo tipo di operazione. Cercheremo di spiegare come l'operazione di passaggio al limite fornisca informazioni sul comportamento di una funzione nell'intorno di un punto, anche e soprattutto per particolari tipi di punti in cui la funzione non è definita.

 

Il concetto di limite di una funzione

 

Lo ribadiamo a scanso di equivoci: qui non daremo alcuna definizione rigorosa (lo faremo nelle lezioni successive), perché ci interessa spiegare in cosa consiste il concetto di limite di una funzione reale ad una variabile reale.

 

Studiando le nozioni relative alle funzioni, abbiamo introdotto in particolare la nozione di dominio e abbiamo visto che ogni funzione è caratterizzata da un insieme di punti in cui è definita: Dom(f)

 

f:Dom(f)\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R}

 

Non ci siamo mai posti particolari problemi. Avendo una funzione, abbiamo sempre distinto tra i punti in cui essa è definita e i punti in cui non è definita. Se x\in Dom(f) ha senso calcolare la valutazione y=f(x); se invece x\notin Dom(f), sappiamo che la valutazione y=f(x) è priva di qualsiasi significato.

 

Questa analisi è assolutamente corretta, ma nella vita di un matematico giunge sempre il momento di ampliare i propri orizzonti. ;) E dato che a noi interessa trasmettervi prima di tutto l'esigenza dello studio della Matematica, piuttosto che appiopparvi un insieme di nozioni apparentemente sterili, ancor prima di spiegarvi il concetto di limite vogliamo mostrarvi un paio di esempi in cui nasce l'esigenza di espandere il bagaglio di strumenti dell'Analisi Matematica.

 

Due esempi che inducono a definire il concetto di limite

 

Abbiamo una funzione

 

f:Dom(f)\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R}

 

definita su un dominio Dom(f), e supponiamo che sia della forma

 

\\ Dom(f)=(a_1,a_2)\cup[a_3,a_4)\cup[a_5,a_6]

 

Come facciamo a sapere come si comporta la funzione nei punti di frontiera del dominio? L'insieme dei punti di frontiera (o più brevemente frontiera) in questo caso è data dai punti \{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\} sulla retta reale.

 

In accordo con le notazioni degli intervalli, per i punti x=a_3,\ x=a_5,\ x=a_6 non c'è alcun problema, perché essi appartengono al dominio della funzione f(x) e possiamo procedere con valutazioni dirette. Possiamo cioè calcolare y=f(a_3),\ y=f(a_5),\ y=f(a_6).

 

Ma come facciamo a sapere qual è il comportamento della funzione in prossimità dei punti di frontiera del dominio in cui non è definita, ossia x=a_1,\ x=a_2,\ x=a_4\ ?

 

Un altro esempio. Se avessimo una funzione definita sull'intero asse reale

 

Dom(f)=(-\infty,+\infty)

 

come potremmo conoscerne il comportamento all'infinito? Certo, potremmo metterci a calcolare infinite valutazioni per valori crescenti (+\infty) o per valori decrescenti (-\infty), ma - hey - non sarebbe molto pratico!

 

Cos'è il limite di una funzione e a cosa serve

 

Entrambi gli esempi mettono bene in luce l'esigenza che porta a definire la nozione di limite: studiare il comportamento di una funzione in prossimità di un certo tipo di punti in cui non è definita. Il bello è che l'operazione di passaggio al limite che definiremo nelle lezioni successive non si limita ad esaudire questa esigenza, bensì permette all'Analisi Matematica di raggiungere profondità abissali.

 

Cos'è

 

L'operazione di passaggio al limite è una vera e propria operazione che ha come entrate due elementi: una funzione f(x) e il punto x_0 in prossimità del quale vogliamo studiarne il comportamento. In Matematica l'operazione di passaggio al limite si scrive nel modo seguente:

 

\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)

 

e si legge: limite per x che tende a "x-con-zero" di f(x).

 

f(x) è la funzione di cui vogliamo conoscere il comportamento, mentre x_0 è il punto in cui vogliamo calcolare il limite. x_0 può essere un valore reale, ma in accordo con le definizioni che forniremo potrà essere anche +\infty oppure -\infty (che non sono valori reali).

 

A cosa serve

 

L'operazione di passaggio al limite per una funzione f(x) al tendere di x\to x_0 permette di analizzare il comportamento di f(x) man mano che si considerano valori di x che si avvicinano a x_0. Inoltre, nelle ipotesi per cui tale operazione risulterà lecita, essa restituirà un valore finito o infinito come risultato.

 

Il risultato del limite avrà il potere di dirci come si comporta la funzione f(x) quando i valori della variabile x si avvicinano a x_0.

 

In altri termini, il risultato del limite ci dirà a quale valore tendono le valutazioni di f(x) man mano che x si avvicina a x_0.

 

È per questo motivo che l'operazione di passaggio al limite si legge limite per x che tende a "x-con-zero" e non limite per x uguale a "x-con-zero": il senso dell'operazione di passaggio al limite non consiste nel valutare la funzione in un punto, ma nell'individuare un valore a cui la funzione si avvicina man mano che  tende a x-con-zero.

 

Attenzione, concentrazione: abbiamo scritto un valore a cui si avvicina, che non è necessariamente un valore che assume. ;)

 

Domande preliminari sul concetto di limite di una funzione

 

Siamo consapevoli che senza definizioni il discorso possa sembrare un po' fumoso. Tempo al tempo, vi abbiamo solo servito un antipasto. ;) I più curiosi potrebbero essersi già posti alcune domande preliminari, per le quali anticipiamo una risposta che verrà giustificata ampiamente dalle definizioni che seguiranno.

 

1. A quali punti dell'asse reale possiamo far tendere x per calcolare il limite di una funzione?

 

Risposta: x_0 può essere un qualsiasi valore reale e può anche essere più infinito o meno infinito, a patto che sia un punto di accumulazione per il dominio della funzione.

 

2. Quali risultati può restituire l'operazione di limite?

 

Risposta: la particolarità dei limiti di funzioni è che possono restituire come risultato sia un numero reale che \pm\infty.

 

3. Quante definizioni servono per fornire una panoramica rigorosa e completa sull'operazione di passaggio al limite? In altri termini, con quali tipi di limite possiamo avere a che fare?

 

Risposta: esistono quattro tipi di limiti.

 

I) Limite per x che tende a un valore finito e che dà un risultato finito

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=c

 

II) Limite per x che tende a un valore finito e che dà un risultato infinito

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty

 

III) Limite per x che tende a infinito e che dà un risultato finito

 

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=c

 

IV) Limite per x che tende a infinito e che dà un risultato infinito

 

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty

 

 


 

Potete trovare definizioni rigorose, esempi e ulteriori spiegazioni per ciascun tipo di limite nelle lezioni successive. A meno che non stiate ripassando vi suggeriamo la semplice lettura sequenziale:

 

I) Limite finito per x tendente a un valore finito

 

II) Limite infinito per x tendente a un valore finito

 

III) Limite finito per x tendente all'infinito

 

IV) Limite infinito per x tendente all'infinito

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione successiva

 

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