Parte principale con Taylor

In questa lezione vedremo come determinare la parte principale di una funzione con gli sviluppi di Taylor e quali sono le sue caratteristiche, distinguendo il caso per x che tende a un valore finito e il caso per x che tende a infinito. Forniremo inoltre alcuni esempi sul calcolo della parte principale di una funzione con lo sviluppo in serie di Taylor.

 

In riferimento alla teoria dei limiti analizzeremo inoltre le situazioni in cui la parte principale può tornarci utile, prime fra tutte il calcolo dei limiti e l'estensione delle tecniche per determinare le equivalenze asintotiche di una funzione assegnata f.

 

Nota: la parte principale di una funzione e lo sviluppo di Taylor sono argomenti che vengono esclusivamente presentati nei corsi universitari di Analisi Matematica. Per questo motivo gli studenti delle Scuole Superiori possono fare a meno di proseguire la lettura. Come vedremo nella lezione successiva, l'argomento che ci accingiamo a studiare è propedeutico per il calcolo dei limiti con Taylor.

 
 
 

Parte principale con lo sviluppo di Taylor

 

Nella lezione su infinitesimi e confronto tra infinitesimi abbiamo avuto modo di introdurre il concetto di parte principale di una funzione (o infinitesimo di ordine principale) ed abbiamo fornito le prime regole per determinarla sfruttando il principio di eliminazione degli infinitesimi.

 

Esistono però delle situazioni in cui il principio di eliminazione può non bastare. Fortunatamente abbiamo a disposizione un ulteriore strumento con cui calcolare la parte principale di una funzione nel momento in cui il principio di eliminazione fallisce: lo sviluppo in serie di Taylor associato alla funzione.

 

Come vedremo, il calcolo della parte principale risulterà essere molto semplice, a patto di avere dimestichezza con le derivate e di sapere come si calcolano gli sviluppi di Taylor. Siamo consci che questo argomento è tutt'altro che banale, perciò vi chiediamo di pazientare ed esercitarvi sul calcolo degli sviluppi in serie. Fatte le dovute raccomandazioni, iniziamo con le definizioni.

 

Parte principale rispetto all'infinitesimo x-x0

 

Consideriamo una funzione f(x) definita su un intervallo (a,b) e sia x_0\in (a,b). Supponiamo che f(x):

 

Hp-1) sia una funzione infinitesima per x\to x_0, ossia

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=0

 

Se questa condizione non venisse soddisfatta allora non avrebbe senso calcolare la parte principale di infinitesimo della funzione, non essendo essa infinitesima nel punto considerato.

 

Hp-2) Ammetta sviluppo di Taylor centrato in x_0. In altri termini f(x) deve potersi esprimere come somma tra il polinomio di Taylor associato ad f(x) e un certo resto che può essere espresso nella forma di Peano o ancora nella forma di Lagrange.

 

f(x)=f(x_0)+f'(x_0) (x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+...\\ \\ ...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_{n}(x)

 

 

Sotto tali ipotesi la parte principale di f(x) rispetto all'infinitesimo campione g(x)=x-x_0 coincide con il primo termine non nullo dello sviluppo di Taylor di f(x) centrato in x_0.

 

Nelle precedenti condizioni la parte principale p(x) della funzione f(x) sarà una potenza del binomio x-x_0 moltiplicata per una costante reale non nulla. In altri termini si presenterà nella forma

 

p(x)=C (x-x_0)^{k} \ \ \ \mbox{ con }k\in\mathbb{N}-\{0\}\mbox{ e }C\in\mathbb{R}-\{0\}

 

dove:

 

- l'intero positivo k è l'ordine di infinitesimo della funzione f(x)\mbox{ per }x\to x_0 rispetto all'infinitesimo campione g(x)=x-x_0;

 

- il valore della costante C dipende dal valore che la derivata k-esima di f(x) assume nel centro di sviluppo:

 

C=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \mbox{ con }k\in\mathbb{N}

 

In base alla definizione si ha inoltre che la funzione f(x) è asintoticamente equivalente alla sua parte principale per x\to x_0, ossia sussite l'equivalenza asintotica

 

f(x)\sim_{x\to x_0}C(x-x_{0})^{k}

 

che è estremamente utile nel calcolo dei limiti e non solo.

 

In sintesi, per calcolare la parte principale di una funzione infinitesima f(x) per x\to x_0 è sufficiente determinare lo sviluppo di Taylor centrato in x_0 di f(x), e considerarne il primo termine non nullo. Osserviamo che nella risoluzione degli esercizi la difficoltà risiede essenzialmente nell'individuare correttamente lo sviluppo, il resto del procedimento è banale.

 

Parte principale di una funzione rispetto all'infinitesimo 1/x per x divergente

 

Possiamo adattare la precedente definizione per calcolare la parte principale di una funzione infinitesima con x tendente a + infinito o a - infinito rispetto all'infinitesimo campione g(x)=\frac{1}{x}.

 

Consideriamo una funzione f(t) definita in un intorno di t_0=0 che sia infinitesima per t\to 0 e che ammetta lo sviluppo di Taylor-McLaurin

 

f(t)=f(0)+f'(0)t+\frac{f''(0)t^2}{2}+...+\frac{f^{(n)}(0) t^n}{n!}+R_{n}(t)

 

La parte principale della funzione composta F(x)=f\left(\frac{1}{x}\right) per x\to \pm\infty coincide con il primo termine non nullo dello sviluppo asintotico associato ad F(x), ottenuto sostituendo ad ogni occorrenza di t nello sviluppo di f(t) il termine \frac{1}{x}.

 

Esplicitamente:

 

F\left(x\right)=f\left(\frac{1}{x}\right)=f(0)+\frac{f'(0)}{x}+\frac{f''(0)}{x^2}+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!x^{n}}+R_{n}\left(\frac{1}{x}\right) \ \ \ (\spadesuit)

 

In tal caso la parte principale associata ad F(x) per x\to \pm\infty si presenterà nella forma

 

p(x)=C\cdot\frac{1}{x^{k}} \mbox{ con }k\in\mathbb{N}-\{0\}\mbox{ e }C\in\mathbb{R}-\{0\}

 

dove:

 

- l'esponente k coincide con l'ordine di infinitesimo della funzione F(x) rispetto all'infinitesimo campione g(x)=\frac{1}{x};

 

- la costante C dipende dal valore che la derivata k-esima di f(x) (attenzione!) assume in 0:

 

C=\frac{f^{(k)}(0)}{k!} \ \ \ \mbox{ con }k\in\mathbb{N}-\{0\}

 

Come nel caso precedente esiste una relazione asintotica che lega la funzione F(x) con la sua parte principale:

 

F(x)\sim_{x\to \pm\infty}C\cdot\frac{1}{x^{k}} 

 

 

Questioni di nomenclatura

 

L'espressione (\spadesuit) viene a volte indicata come lo sviluppo di Taylor associato alla funzione F(x)\mbox{ per }x\to \pm\infty. Riteniamo opportuno evidenziare che questa nomenclatura è inesatta: per definizione lo sviluppo di Taylor associato a una funzione è la somma tra un polinomio e un resto, mentre nell'espressione (\spadesuit) non compare alcun polinomio. In tali occasioni è preferibile usare la locuzione sviluppo asintotico.

 

Come si calcola la parte principale con Taylor

 

Ora che sappiamo cos'è la parte principale secondo Taylor, proponiamo due esempi di calcolo sfruttando lo sviluppo di Taylor. L'idea di fondo prevede di ricondursi agli sviluppi di Taylor notevoli mediante delle opportune sostituzioni, oppure operando i celeberrimi trucchetti algebrici (sommare e sottrarre, moltiplicare e dividere, ...). 

 

 

Calcolo della parte principale con Talor per x che tende a un valore finito

 

Iniziamo con un esempio sul calcolo della parte principale di una funzione per x che tende a un valore finito; in particolare ci proponiamo di determinare la parte principale e l'ordine di infinitesimo della funzione

 

f(x)=e^{\sin(x)}-1-x \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

Prima di determinare lo sviluppo di Taylor associato ad f(x) controlliamo cosa succede se provassimo ad utilizzare le equivalenze asintotiche.

 

Grazie all'equivalenza asintotica notevole dell'esponenziale (per intenderci, quella che discende dai limiti notevoli)

 

e^{h(x)}-1\sim_{h(x)\to 0}h(x)

 

e a quella della funzione seno

 

\sin(h(x))\sim_{h(x)\to 0}h(x)

 

deduciamo che

 

e^{\sin(x)}-1\sim_{x\to 0}\sin(x)\sim_{x\to 0}x

 

Se però provassimo a sostituire le espressioni asintotiche in f(x), non riusciremmo a trarre alcuna informazione giacché giungeremmo ad un'equivalenza asintotica errata

 

e^{\sin(x)}-1-x\sim_{x\to 0}x-x=0 \ \ \ \mbox{NO}

 

Quando le equivalenze asintotiche notevoli non sono sufficienti interviene prontamente lo sviluppo di Taylor. Facendo riferimento alla tabella degli sviluppi di Taylor notevoli:

 

\\ e^{t}=1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2) \ \ \mbox{ per }t\to 0 \\ \\ \\ \sin(x)=x+o(x^2) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

e componendo i due sviluppi otteniamo

 

\\ e^{\sin(x)}=1+x+o(x^2)+\frac{(x+o(x^2))^2}{2}+o(x^2)= \\ \\ \\ = 1+x+o(x^2)+\frac{x^2+2x\cdot o(x^2)+o(x^4)}{2}+o(x^2)=

 

Grazie alle proprietà degli o-piccolo possiamo scrivere lo sviluppo nella seguente forma

 

=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)

 

mediante la quale deduciamo che la funzione asintotica a f(x) per x\to 0 è

 

f(x)=e^{\sin(x)}-1-x= 1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-1-x= \frac{x^2}{2}+o(x^2)

 

Ora non ci resta che trarre le dovute conclusioni: la parte principale rispetto all'infinitesimo campione g(x)=x è

 

p(x)=\frac{x^2}{2}

 

e l'ordine di infinitesimo associato alla funzione f(x) è k=2.

 

 

Calcolo della parte principale con Taylor per x tendente a infinito

 

Consideriamo un ulteriore esempio in cui evidenzieremo come comportarci nel caso in cui ci venisse chiesto di determinare la parte principale e l'ordine di infinitesimo di una funzione f(x) per x\to +\infty.

 

Calcoliamo la parte principale e l'ordine di infinitesimo della funzione

 

f(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin\left(\frac{1}{x}\right) \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

 

Preliminarmente vediamo cosa succede applicando le equivalenze asintotiche notevoli. Per x\to +\infty sappiamo che \frac{1}{x}\to 0, pertanto siamo autorizzati ad utilizzare le stime asintotiche notevoli associate alla funzione logaritmica e alla funzione seno

 

\\ \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\sim_{x\to +\infty}\frac{1}{x} \\ \\ \\ \sin\left(\frac{1}{x}\right)\sim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}

 

Con le informazioni a disposizione deduciamo un'equivalenza asintotica errata

 

f(x)\sim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0 \ \ \ \mbox{NO}

 

In questo caso le stime asintotiche falliscono nell'intento di fornire la parte principale e l'ordine di infinitesimo, sicché è necessario cambiare approccio e utilizzare le maniere forti. Calcoliamo lo sviluppo asintotico associato alla funzione f(x) sfruttando gli sviluppi di Taylor McLaurin associati alla funzione seno e alla funzione logaritmica, arrestati al secondo ordine:

 

\\ \sin(t)=t-o(t^2) \\ \\ \ln\left(1+t\right)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)

 

Sostituiamo al posto di t il termine \frac{1}{x}

 

\\ \sin\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x^2}\right) \\ \\ \\ \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)

 

e infine sottraiamo tra loro gli sviluppi

 

\\ f(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin\left(\frac{1}{x}\right)= \\ \\ \\ =\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)= \\ \\ \\ = -\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)

 

Deduciamo che la parte principale di f(x) per x\to +\infty è

 

p(x)=-\frac{1}{2x^2}

 

mentre l'ordine di infinitesimo è k=2.

 

 


 

Siamo quasi giunti al termine dello studio dei limiti: manca solamente una lezione! Non perdetevi la scheda di esercizi correlati, e se non fossero sufficienti vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna: potrete trovare numerose discussioni ed esercizi svolti passaggio per passaggio.

 

PS: se avete dubbi riguardo ai risultati dei vostri esercizi potete servirvi del tool per gli sviluppi di Taylor online, che vi permetterà di individuare la parte principale di infinitesimo in un click. Non dovete fare altro che scegliere il centro di sviluppo corretto. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione precedente .........Esercizi correlati..........Lezione successiva


Tags: parte principale di infinitesimo con Taylor-Mac Laurin.

 

pba1