Limiti per sostituzione - limite della funzione composta

Il calcolo dei limiti per sostituzione è una tecnica che si basa sul teorema per i limiti di funzioni composte, il quale sotto opportune ipotesi permette di calcolare il limite di una composizione di funzioni calcolando i limiti delle funzioni componenti.

 

In questa lezione spieghiamo un metodo di calcolo dei limiti di fondamentale importanza e che useremo spessissimo nella risoluzione degli esercizi sui limiti. Stiamo parlando del calcolo dei limiti per sostituzione, una tecnica talmente tanto essenziale e così ricorrente che finiremo per usarla senza rendercene conto. ;)

 

Avvertimento: prima di proseguire nella lettura è necessario avere una buona dimestichezza con la nozione di funzione composta.

 

Teorema per il limite della funzione composta

 

Il fondamento teorico su cui si basano i limiti per sostituzione della variabile è il teorema del limite della funzione composta, detto anche teorema di sostituzione, che enunciamo qui di seguito e di cui omettiamo la dimostrazione.

 

Anche se l'enunciato vi sembrerà difficile, non spaventatevi. Come vedremo nella seconda parte della lezione, l'utilizzo del teorema di sostituzione è estremamente intuitivo e pratico, tant'è che il più delle volte alle scuole superiori viene presentato senza menzionare l'enunciato. Gli studenti universitari al contrario lo devono leggere con attenzione e comprenderlo a fondo. ;)

 

Enunciato del teorema sul limite della funzione composta

 

Sia f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} e sia c\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} un punto di accumulazione del dominio, finito o infinito. Supponiamo che esista finito o infinito il

 

\lim_{x\to c}f(x)=\ell\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}

 

e supponiamo che g sia una funzione definita in un intorno bucato I^*(\ell) (intorno di infinito se \ell è infinito). Se valgono le seguenti condizioni:

 

1) esiste finito o infinito il

 

\lim_{y\to \ell}g(y)

 

2) g è una funzione continua in \ell oppure esiste un intorno I(c) tale per cui f(x)\neq \ell per ogni x nell'intorno bucato di c;

 

allora risulta che

 

\lim_{x\to c}g(f(x))=\lim_{y\to \ell}g(y)

 

L'enunciato continua a valere se g è definita in un intorno sinistro o in un intorno destro di \ell, nel qual caso l'ipotesi di continuità in 2) si riduce alla sola continuità da sinistra o da destra.

 

Dimostrazione: viene omessa in questa sede.

 

 

Analisi delle ipotesi del teorema e osservazioni

 

Riguardo all'ipotesi 2), essa richiede la continuità oppure una condizione più debole, per la quale è necessario che nell'intorno bucato di c la funzione non assuma mai il valore \ell.

 

Notate che l'alternativa dell'ipotesi 2) vale automaticamente se il limite della funzione interna è infinito, perché f(x) non può assumere un valore infinito. Al contrario, nel caso in cui \ell sia finito, richiedere che f(x) non assuma tale valore in un intorno bucato di c è essenziale per evitare la non esistenza del limite della funzione composta.

 

Un controesempio (piuttosto avanzato, a dire il vero) a tal proposito è fornito dalla funzione z(x)=\mbox{sgn}\left(x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right). Lasciamo agli studenti volenterosi il compito di verificarlo. ;)

 

Da ultimo, attenzione a non confondere il teorema di sostituzione con il teorema di composizione delle funzioni continue. Quest'ultimo stabilisce che la composizione di due funzioni continue è una funzione continua e richiede ipotesi ben più forti del teorema sul limite della funzione composta.

 

Come calcolare i limiti per sostituzione di variabile

 

La tesi del teorema fornisce direttamente il metodo di calcolo dei limiti per sostituzione di variabile. Vediamo di parafrasare l'enunciato in modo da semplificarlo: se dobbiamo calcolare il limite di una funzione composta z(x)=g(f(x)) per x tendente a un valore c finito o infinito

 

\lim_{x\to c}g(f(x))

 

dobbiamo innanzitutto calcolare il limite della funzione interna

 

\lim_{x\to c}f(x)=\ell

 

Se tale limite esiste finito o infinito, passiamo a calcolare il limite della funzione più esterna per y\to\ell

 

\lim_{y\to \ell}g(y)=\mbox{risultato}

 

A questo punto dobbiamo fare un piccolo controllo:

 

- se il limite della funzione interna \ell è infinito, allora il limite della funzione composta vale esattamente quanto il risultato dell'ultimo limite;

 

- se il limite della funzione interna \ell è finito e se g è una funzione continua in \ell, il risultato dell'ultimo limite è ancora una volta il risultato del limite della funzione composta;

 

- se il limite della funzione interna \ell è finito e se la funzione interna f(x) non assume il valore \ell nell'intorno di c, allora il risultato dell'ultimo limite coincide con quello della funzione composta.

 

Nella pratica il metodo dei limiti per sostituzione si traduce in termini molto semplici. Dato il limite di una funzione composta

 

\lim_{x\to c}g(f(x))

 

effettuiamo il seguente cambio di variabile

 

y=f(x)

 

e riscriviamo il limite sostituendo y in luogo dell'espressione analitica di f(x). Per farlo dobbiamo sostituire anche la variabile e il valore sotto il simbolo di limite, per cui calcoliamo

 

\lim_{x\to x}f(x)=\ell

 

e quindi possiamo scrivere

 

\lim_{y\to \ell}g(y)

 

La comodità del metodo è che la verifica delle ipotesi del teorema di sostituzione avviene passo dopo passo man mano che si applica il metodo stesso.

 

Attenzione: molto spesso alle scuole superiori le ipotesi del teorema vengono snobbate molto allegramente, perché i professori tendono ad assegnare solamente limiti per i quali sussistono le ipotesi del metodo di sostituzione. D'altra parte le ipotesi non sono affatto complicate, come abbiamo appena visto nella loro versione parafrasata, dunque è bene abituarsi ad effettuare un rapido controllo di sicurezza. Gli universitari invece non hanno scuse. :P

 

Esempi sui limiti per sostituzione

 

A) \lim_{x\to +\infty}\sin\left(\frac{1}{x}\right)

 

Cerchiamo di capire se il metodo di sostituzione è applicabile e, in caso affermativo, di applicarlo contemporaneamente. Prima di questa lezione non saremmo stati in grado di calcolare tale limite, ma ora possiamo effettuare il cambio di variabile

 

y=\frac{1}{x}

 

e osservare che y\to 0^+ quando x\to +\infty, grazie all'algebra di infiniti e infinitesimi

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0^+

 

Effettuiamo la sostituzione nel limite della funzione composta (attenzione alla variabile!)

 

\lim_{y\to 0^+}\sin(y)

 

Il calcolo del limite per sostituzione ci ha permesso di riscrivere il limite in una forma ben più accessibile, inoltre sappiamo che la funzione seno \sin(y) è continua in y=0 e dunque in particolare è ivi continua da destra. In conclusione

 

\lim_{y\to 0^+}\sin(y)=0

 

e tale è il valore del limite originario

 

\lim_{x\to +\infty}\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0

 

 

B) \lim_{x\to 0^+}e^{\log(x)}

 

No, non vi stiamo prendendo in giro... ;) Sappiamo bene che le proprietà dei logaritmi ci permettono di scrivere e^{\log(x)}=x per x>0, e quindi

 

\lim_{x\to 0^+}e^{\log(x)}=\lim_{x\to 0^+}x=0

 

Cionondimeno può essere utile calcolare tale limite per sostituzione, ammesso che sia possibile. Poniamo

 

y=\log(x)

 

e grazie ai limiti fondamentali sappiamo che y\to -\infty al tendere di x\to 0^+, infatti

 

\lim_{x\to 0^+}\log(x)=-\infty

 

Poiché la funzione esponenziale è definita su tutto \mathbb{R}, è ovviamente in un intorno di -infinito. Di conseguenza il limite

 

\lim_{y\to -\infty}e^y=0

 

coincide con il limite della funzione composta e si conclude che

 

\lim_{x\to 0^+}e^{\log(x)}=0

 

 

C) \lim_{x\to 1^-}\arctan\left(\frac{1}{x-1}\right)

 

Applichiamo la seguente sostituzione di variabile

 

y=\frac{1}{x-1}

 

per cui ricaviamo che y\to -\infty al tendere di x\to 1^-, infatti basta calcolare il limite da sinistra

 

\lim_{x\to 1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty

 

Dato che l'arcotangente è definita su tutto \mathbb{R}, essa è definita in particolare in un intorno di -infinito, cosicché il limite della funzione composta coincide con

 

\lim_{y\to -\infty}\arctan(y)=-\frac{\pi}{2}

 

dove il risultato viene ricavato dalla tabella dei limiti fondamentali.

 

Quando calcolare i limiti per sostituzione

 

Nella risoluzione degli esercizi il calcolo dei limiti per sostituzione si rivela utile in presenza di composizioni di funzioni di ogni tipo. Chi è agli esordi con il calcolo dei limiti si troverà ad applicare questo metodo scrivendo esplicitamente le sostituzioni, anche in presenza di limiti semplici come quelli proposti nei precedenti esempi.

 

Col passare del tempo, e con una buona dose di esercizi svolti, si prende confidenza con il metodo di sostituzione e lo si applica automaticamente per risolvere gli esercizi facili, vale a dire senza scrivere esplicitamente le sostituzioni e limitandosi a pensarle. In pratica il procedimento di sostituzione diventano un vero e proprio automatismo.

 

Se provate a chiedere ad uno studente ben allenato di calcolare

 

\lim_{x\to +\infty}\log\left(\frac{1}{e^{x^2+1}}\right)

 

riceverete la risposta in due secondi netti: il limite vale -infinito.

 

In buona sostanza, nel calcolo pratico dei limiti il teorema di sostituzione verrà utilizzato una miriade di volte ed il più delle volte senza nemmeno rendersene conto. Ciò non toglie che, in presenza di limiti con funzioni composte molto complicate, anche agli studenti più esperti può capitare di applicare esplicitamente il metodo di sostituzione, ossia di scrivere esplicitamente le sostituzioni effettuate. È quello che succede ad esempio in presenza di funzioni con un termine ripetuto nell'espressione analitica, come nel caso di

 

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)^{\frac{2}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}\ln\left(3\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\right)

 

Anche se allo stato attuale non disponiamo degli strumenti per calcolarlo, è facilmente intuibile che varrebbe la pena di tentare con la sostituzione y=\frac{\pi}{2}-x. ;)

 


 

La lezione termina qui. Un'avvertenza: la tecnica di calcolo dei limiti per sostituzione è trasversale, nel senso che può essere utilizzata ad ogni livello nel calcolo dei limiti. Il più delle volte essa viene usata esplicitamente con finalità propedeutiche in modo da mettersi nella condizione di applicare altri metodi di calcolo, come evidenziato nella scheda di esercizi risolti. Per questo motivo, a meno che non stiate ripassando, vi raccomandiamo di non affrontare la scheda correlata di esercizi: fatelo solo se avete già un'infarinatura generale su tutte le tecniche di calcolo dei limiti.

 

Ora è davvero tutto. Non perdetevi le lezioni successive e che il tool per i limiti online sia sempre con voi! ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

Tags: limiti per sostituzione di variabile e teorema di sostituzione per i limiti.

 
pba1