Limiti fondamentali

I limiti fondamentali sono i limiti delle funzioni elementari calcolati negli estremi finiti del dominio in cui esse non sono definite, agli estremi illimitati del dominio e nei punti in cui esse non sono continue. Vengono ricavati una volta per tutte con il teorema dei limiti di funzioni monotone.

 

Nella precedente lezione abbiamo introdotto il teorema per i limiti di funzioni monotone, e abbiamo mostrato come usarlo per desumere importanti informazioni relative ai limiti di funzioni elementari che fin qui non siamo stati in grado di calcolare. Qui di seguito ci proponiamo di elencare tutti i più importanti limiti fondamentali, ricavati una volta per tutte con il suddetto teorema e tali da poter essere utilizzati nel calcolo dei limiti.

 

Nota bene: i limiti fondamentali non vanno confusi con i limiti notevoli, che tratteremo in una delle lezioni successive.

 
 
 

Cosa sono i limiti fondamentali

 

I limiti fondamentali non sono altro che i limiti delle funzioni elementari calcolati nei punti del dominio in cui non sussiste la condizione di continuità, nonché agli estremi non inclusi nel dominio.

 

Avete presente la lezione in cui abbiamo presentato i limiti di funzioni elementari? In quel frangente abbiamo sfruttato la continuità per capire come calcolare i limiti delle funzioni elementari nei punti in cui esse sono continue. Quell'elenco funziona alla perfezione per i punti in cui sussite la continuità, ma non ci dice nulla riguardo:

 

- agli estremi limitati del dominio in cui le funzioni elementari non sono definite;

 

- nei punti in cui sono definite ma non sono continue;

 

- agli estremi illimitati del dominio.

 

Grazie al teorema sui limiti di funzioni monotone, presentato nella precedente lezione, abbiamo visto che sfruttando opportunamente l'ipotesi di monotonia possiamo desumere i valori di parecchi limiti semplicemente osservando i grafici delle funzioni elementari, che a questo livello di studio dell'Analisi Matematica vengono dati per assodati.

 

Lo scopo di questa lezione consiste nel raccogliere tutti i limiti fondamentali relativi alle funzioni elementari di cui ancora non disponiamo, in modo da poterli usare serenamente nel prosieguo della teoria del calcolo dei limiti.

 

Attenzione: non è certamente richiesto che ricordiate tutti i valori a memoria! In generale vi basterà tenere a mente i grafici delle funzioni elementari e usarli per desumere, di volta in volta, i valori dei limiti.

 

Elenco dei limiti fondamentali

 

1) Funzione costante f(x)=k\in\mathbb{R}

 

 

\lim_{x\to -\infty}k=k\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}k=k

 

 

2) Funzione identità f(x)=x

 

 

\lim_{x\to -\infty}x=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}x=+\infty

 

 

3-A) Funzione esponenziale con base maggiore di 1 f(x)=a^x\mbox{ con }a>1

 

 

\lim_{x\to -\infty}a^x=0\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}a^x=+\infty\ \ \ \mbox{dove }a>1

 

 

3-B) Funzione esponenziale con base minore di 1 f(x)=a^x\mbox{ con }0<a<1

 

 

\lim_{x\to -\infty}a^x=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}a^x=0\ \ \ \mbox{dove }0<a<1

 

 

4-A) Funzione potenza con esponente pari f(x)=x^n\mbox{ con }n\mbox{ pari}

 

 

\lim_{x\to -\infty}x^n=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}x^n=+\infty\ \ \ \mbox{dove }n\mbox{ pari}

 

 

4-B) Funzione potenza con esponente dispari f(x)=x^n\mbox{ con }n\mbox{ dispari}

 

 

\lim_{x\to -\infty}x^n=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}x^n=+\infty\ \ \ \mbox{dove }n\mbox{ dispari}

 

 

4-C) Funzione radice con indice pari f(x)=\sqrt[n]{x}\mbox{ con }n\mbox{ pari}

 

 

\lim_{x\to +\infty}\sqrt[n]{x}=+\infty\ \ \ \mbox{dove }n\mbox{ pari}

 

 

4-D) Funzione radice con indice dispari f(x)=\sqrt[n]{x}\mbox{ con }n\mbox{ dispari}

 

 

\lim_{x\to -\infty}\sqrt[n]{x}=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\sqrt[n]{x}=+\infty\ \ \ \mbox{dove }n\mbox{ dispari}

 

 

5-A) Funzione logaritmica con base maggiore di 1 f(x)=\log_a(x)\mbox{ con }a>1

 

 

\lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\log_a(x)=+\infty\ \ \ \mbox{dove }a>1

 

 

5-B) Funzione logaritmica con base minore di 1 f(x)=\log_a(x)\mbox{ con }0<a<1

 

 

\lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\log_a(x)=-\infty\ \ \ \mbox{dove }0<a<1

 

 

6) Funzione segno f(x)=\mbox{sgn}(x)

 

 

\lim_{x\to 0^-}\mbox{sgn}(x)=-1\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 0^+}\mbox{sgn}(x)=1

 

 

7) Funzione valore assoluto f(x)=|x|

 

 

\lim_{x\to -\infty}|x|=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}|x|=+\infty

 

 

8) Funzione seno f(x)=\sin(x): il teorema non è applicabile (si può dimostrare che i limiti all'infinito non esistono).

 

 

9) Funzione coseno f(x)=\cos(x): il teorema non è applicabile (si può dimostrare che i limiti all'infinito non esistono).

 

 

10) Funzione tangente f(x)=\tan(x): il teorema non è applicabile all'infinito (si può dimostrare che i limiti all'infinito non esistono), ma permette di dimostrare che

 

 

\lim_{x\to \left(-\frac{\pi}{2}\right)^+}\tan(x)=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-}\tan(x)=+\infty

 

 

Più in generale si possono estendere tali risultati per periodicità

 

 

\lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)^-}\tan(x)=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)^+}\tan(x)=-\infty\ \ \ \mbox{dove }k\in\mathbb{Z}

 

 

11) Funzione cotangente f(x)=\cot(x): il teorema non è applicabile all'infinito (si può dimostrare che i limiti all'infinito non esistono), ma consente di dimostrare che

 

 

\lim_{x\to 0^+}\cot(x)=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to \pi^-}\cot(x)=-\infty

 

 

Più in generale si possono estendere tali risultati per periodicità

 

 

\lim_{x\to \left(k\pi\right)^-}\cot(x)=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to \left(k\pi\right)^+}\cot(x)=+\infty\ \ \ \mbox{dove }k\in\mathbb{Z}

 

 

12) Funzione secante f(x)=\sec(x): il teorema non è applicabile all'infinito (si può dimostrare che i limiti all'infinito non esistono), ma consente di dimostrare che

 

 

\\ \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-}{\sec(x)}=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^+}{\sec(x)}=-\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to \left(\frac{3\pi}{2}\right)^-}{\sec(x)}=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to \left(\frac{3\pi}{2}\right)^+}{\sec(x)}=+\infty

 

 

Tali risultati vengono estesi a tutti i punti della forma \frac{\pi}{2}+2k\pi\mbox{ e }\frac{3\pi}{2}+2k\pi per periodicità.

 

 

13) Funzione cosecante f(x)=\csc(x): il teorema non è applicabile all'infinito (si può dimostrare che i limiti all'infinito non esistono), ma permette di dimostrare che

 

 

\\ \lim_{x\to 0^+}\csc(x)=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to \pi^-}\csc(x)=+\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to \pi^+}\csc(x)=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to (2\pi)^-}\csc(x)=-\infty

 

 

Tali risultati vengono estesi a tutti i punti della forma \pi+2k\pi\mbox{ e }2k\pi per periodicità.

 

 

14) Funzione arcoseno f(x)=\arcsin(x)

 

 

\lim_{x\to (-1)^+}\arcsin(x)=-\frac{\pi}{2}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 1^-}\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}

 

 

15) Funzione arcocoseno f(x)=\arccos(x)

 

 

\lim_{x\to (-1)^+}\arccos(x)=\pi\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 1^-}\arccos(x)=0

 

 

16) Funzione arcotangente f(x)=\arctan(x)

 

 

\lim_{x\to -\infty}\arctan(x)=-\frac{\pi}{2}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2}

 

 

17) Funzione arcocotangente f(x)=\mbox{arccot}(x)

 

 

\lim_{x\to -\infty}\mbox{arccot}(x)=\pi\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\mbox{arccot}(x)=0

 

 

18) Funzione arcosecante f(x)=\mbox{arcsec}(x)

 

 

\\ \lim_{x\to -\infty}\mbox{arcsec}(x)=\frac{\pi}{2}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to (-1)^-}\mbox{arcsec}(x)=\pi\\ \\ \\ \lim_{x\to 1^+}\mbox{arcsec}(x)=0\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\mbox{arcsec}(x)=\frac{\pi}{2}

 

 

19) Funzione arcocosecante f(x)=\mbox{arccsc}(x)

 

 

\\ \lim_{x\to -\infty}\mbox{arccsc}(x)=0\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to (-1)^-}\mbox{arccsc}(x)=-\frac{\pi}{2}\\ \\ \\ \lim_{x\to 1^+}\mbox{arccsc}(x)=\frac{\pi}{2}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\mbox{arccsc}(x)=0

 

 

Le restanti funzioni elementari sono oggetto di studio solamente nei corsi universitari.

 

 

20) Funzione seno iperbolico f(x)=\sinh(x)

 

 

\lim_{x\to -\infty}\sinh(x)=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\sinh(x)=+\infty

 

 

21) Funzione coseno iperbolico f(x)=\cosh(x)

 

 

\lim_{x\to -\infty}\cosh(x)=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\cosh(x)=+\infty

 

 

22) Funzione tangente iperbolica f(x)=\tanh(x)

 

 

\lim_{x\to -\infty}\tanh(x)=-1\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\tanh(x)=1

 

 

23) Funzione cotangente iperbolica f(x)=\mbox{coth}(x)

 

 

\\ \lim_{x\to -\infty}\mbox{coth}(x)=-1\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 0^-}\mbox{coth}(x)=-\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to 0^+}\mbox{coth}(x)=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\mbox{coth}(x)=1

 

 

24) La funzione secante iperbolica f(x)=\mbox{sech}(x)

 

 

\lim_{x\to -\infty}\mbox{sech}(x)=0\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\mbox{sech}(x)=0

 

 

25) La funzione cosecante iperbolica f(x)=\mbox{csch}(x)

 

 

\\ \lim_{x\to -\infty}\mbox{csch}(x)=0\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 0^-}\mbox{csch}(x)=-\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to 0^+}\mbox{csch}(x)=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\mbox{csch}(x)=0

 

 

26) Funzione parte intera f(x)=[x]

 

 

\\ \lim_{x\to z_0^-}[x]=z_0-1\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to z_0^+}[x]=z_0\ \ \ \mbox{per }z_0\in\mathbb{Z}\\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty}[x]=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}[x]=+\infty

 

 

27) La funzione mantissaf(x)=\mbox{mant}(x): il teorema non è applicabile all'infinito (si può dimostrare che i limiti all'infinito non esistono), ma consente di dimostrare che

 

 

\lim_{x\to z_0^-}\mbox{mant}(x)=1\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to z_0^+}\mbox{mant}(x)=0\ \ \ \mbox{per }x_0\in\mathbb{Z}

 

 


 

Nella lezione successiva tratteremo l'algebra di infiniti e infinitesimi che, come vedrete, riprenderà abbondantemente i risultati sopraelencati. I lettori impazienti possono divertirsi sin da subito usando il tool per i limiti online come strumento di autoverifica; tutti gli altri sappiano che qui su YM ci sono tantissime risorse ed esercizi svolti, facilmente reperibili con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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