Calcolo di limiti da sinistra e da destra

Nella precedente lezione abbiamo introdotto le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi, e abbiamo visto come estendere le regole di calcolo dei limiti per sostituzione diretta quando dobbiamo calcolare limiti per x tendente all'infinito o limiti infiniti per x tendente a un valore finito.

 

Abbiamo già mostrato alcuni esempi di calcolo, ma ora è giunto il momento di approfondire il discorso e di concentrarci su un caso particolare che genera parecchie difficoltà per chi è alle prime armi. Come si calcolano i limiti da sinistra e da destra?

 

Abbiamo già studiato le definizioni formali di limite destro e sinistro in una delle precedenti lezioni, e nel farlo abbiamo rimandato la spiegazione sui metodi di calcolo. Sappiamo infatti che le definizioni sui limiti hanno una valenza prevalentemente teorica e che non si prestano per calcolare i limiti, quanto al più per verificarne i risultati. Qui è giunto il momento di passare alla pratica e di avere pazienza: l'argomento è piuttosto delicato. ;)

 

Premesse sul calcolo dei limiti da sinistra e da destra

 

Dopo aver visto le regole su infiniti e infinitesimi abbiamo capito come comportarci in presenza di operazioni non definite nell'insieme dei numeri reali. L'algebra di infiniti e infinitesimi fornisce nuovi strumenti per calcolare manualmente i limiti per x tendente al finito o all'infinito; ma se da una parte il calcolo dei limiti per x tendente all'infinito non sembra destare preoccupazioni, dall'altro nei limiti per x tendente a un valore finito ci sono ulteriori insidie che è meglio non sottovalutare.

 

Le domande che gli studenti si pongono tipicamente sono due:

 

- nel calcolo di un limite, quando devo preoccuparmi di porre la distinzione da sinistra e da destra?

 

- Dovendo calcolare un limite solo da sinistra o solo da destra, come devo comportarmi all'atto pratico?

 

Per rispondere a queste domande procederemo dapprima con una panoramica sui casi possibili per i limiti con x tendente a un valore finito, evidenziando i casi in cui bisogna separare il calcolo dei limiti da sinistra e da destra. Fatto ciò passeremo alle regole operative per il calcolo dei limiti sinistri e destri.

 

Quando e perché calcolare i limiti da sinistra e da destra

 

Prima di tutto è importante capire quando è necessario calcolare i limiti da sinistra e/o da destra e come comportarsi di conseguenza. Per fare chiarezza divideremo la spiegazione in diversi casi.

 

1) Calcolo di limiti da sinistra e da destra per funzioni continue

 

Sappiamo che nell'ipotesi di continuità di una funzione f in un punto di accumulazione x_0 del suo dominio non sussiste alcun problema: l'ipotesi di continuità ci permette di calcolare il limite per sostituzione diretta, infatti

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

 

Se vi ricordate le definizioni equivalenti di continuità, saprete sicuramente che una funzione è continua in un punto di accumulazione x_0\in Dom(f) se i due limiti sinistro e destro esistono finiti, coincidono ed il loro comune valore è uguale a quello della valutazione della funzione nel punto

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)

 

Da qui deduciamo che, da un punto di vista pratico, in caso di funzioni continue in un punto x_0 non ci sono problemi. Trovandoci di fronte a un limite sinistro o destro, prima di tutto stabiliremo se la funzione è continua nel punto usando le semplici regole di calcolo dei limiti; in caso affermativo calcoleremo il limite da sinistra o da destra per sostituzione diretta, ossia tramite valutazione della funzione nel punto.

 

 

Esempio

 

Calcolare il limite da destra

 

\lim_{x\to 3^+}e^x\log(x)\sin(x)

 

Svolgimento: non ci sono problemi perché abbiamo un prodotto tra tre funzioni continue in x_0=3, che è a sua volta una funzione continua, quindi il limite può essere calcolato per semplice sostituzione diretta

 

\lim_{x\to 3^+}e^x\log(x)\sin(x)=e^3\log(3)\sin(3)

 

È chiaro quindi che nell'ipotesi di continuità è irrilevante procedere al calcolo da sinistra o da destra.

 

2) Calcolo di limiti da sinistra / da destra per funzioni continue solo da sinistra / solo da destra

 

Se abbiamo una funzione f e un punto di accumulazione x_0\in Dom(f) in cui la funzione è continua da destra o da sinistra, ma non entrambe le cose, allora vale un discorso analogo al precedente. In tale circostanza:

 

2.1) se dobbiamo calcolare il limite da sinistra di una funzione continua da sinistra, sappiamo per ipotesi che

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)

 

dunque procederemo per semplice sostituzione diretta.

 

2.2) Se dobbiamo calcolare il limite da destra di una funzione continua da destra, sappiamo che

 

\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)

 

e quindi effettueremo una semplice sostituzione diretta.

 

Per capire se le funzioni in gioco sono continue da sinistra o da destra nei punti considerati è sufficiente ricorrere ai soliti teoremi sulle funzioni continue, i quali valgono sia per la continuità, sia per la continuità da sinistra, sia per la continuità da destra.

 

 

Esempio

 

Calcolare il limite da destra

 

\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}

 

Svolgimento: il dominio di una radice con indice pari è [0,+\infty) e, dalla continuità delle funzioni elementari, sappiamo che f(x)=\sqrt{x} è continua da destra in x_0=0. Per questo motivo possiamo calcolare il limite da destra per sostituzione diretta

 

\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=\sqrt{0}=0

 

3) Calcolo di limiti da sinistra e da destra per funzioni non definite nel punto

 

Se abbiamo una funzione f che non è definita in un punto di accumulazione e di frontiera del dominio, ossia in un punto x_0\not\in Dom(f) che è di accumulazione e di frontiera per il dominio, non possiamo certamente procedere per sostituzione diretta perché non è possibile calcolare f(x_0).

 

In un'eventualità del genere dobbiamo capire se la funzione è definita a destra, a sinistra o in un intorno bucato del punto x_0.

 

3.1) Se la funzione è definita sia a sinistra che a destra ma non in x_0, ossia in un intorno bucato di x_0, ha senso calcolare

 

\lim_{x\to x_0}f(x)

 

ma per farlo dobbiamo calcolare separatamente i due limiti sinistro e destro

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to x_0^+}f(x)

 

Se i due limiti sinistro e destro esistono entrambi finiti o entrambi infiniti e presentano lo stesso valore, questo sarà il valore del limite per x\to x_0 (in accordo con la definizione di limite finito per x tendente a un valore finito e con la definizione di limite infinito per x tendente a un valore finito).

 

In qualsiasi altro caso concluderemo che il limite non esiste e ci limiteremo ad esprimerci sul risultato dei due limiti sinistro e destro.

 

3.2) Se la funzione è definita solamente in un intorno sinistro di x_0, dovremo limitarci a calcolare

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)

 

3.3) Se la funzione è definita solamente in un intorno destro di x_0, dovremo limitarci a calcolare

 

\lim_{x\to x_0^+}f(x)

 

Al termine della classificazione dei possibili casi spiegheremo i metodi pratici di calcolo, prima però vediamo di intenderci. ;)

 

 

Esempi

 

3.1) La funzione

 

f(x)=\frac{1}{x-1}

 

non è definita nel punto x_0=1 e ha dominio Dom(f)=(-\infty,1)\cup(1,+\infty). In questo caso dobbiamo calcolare separatamente

 

\\ \lim_{x\to 1^-}\frac{1}{x-1}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1}

 

Immaginando di saperli calcolare e di averli calcolati, se i due limiti presentano lo stesso valore finito o infinito allora tale valore sarà il risultato del limite

 

\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}

 

In caso contrario ci limiteremo a riportare i risultati dei due limiti sinistro e destro, separatamente.

 

 

3.2) e 3.3) Nel caso della funzione

 

f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

 

il dominio è Dom(f)=(-1,+1). In riferimento al punto x_0=-1 possiamo solamente calcolare il limite da destra

 

\lim_{x\to (-1)^+}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

 

mentre per il punto x_0=+1 possiamo solamente calcolare il limite da sinistra

 

\lim_{x\to 1^-}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

 

4) Calcolo di limiti da sinistra e da destra in tutti gli altri casi

 

Come ultima eventualità consideriamo una funzione f, definita in un punto x_0\in Dom(f) di accumulazione per il dominio, e supponiamo di non essere in grado di stabilire a priori se la funzione è continua nel punto x_0.

 

In altri termini supponiamo di non essere in grado di applicare i teoremi sulle funzioni continue né i risultati relativi alla continuità delle funzioni elementari.

 

In tale circostanza non disponiamo dell'ipotesi di continuità: la funzione potrebbe essere continua o non continua in x_0, ma noi non lo sappiamo e dunque non possiamo calcolare il limite per x\to x_0 per sostituzione diretta.

 

4.1) Calcoleremo separatamente i due limiti da sinistra e da destra se la funzione è definita in un intorno completo di x_0

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to x_0^+}f(x)

 

Bonus: se i due limiti sinistro e destro esistono finiti e coincidono, e se il loro valore coincide con la valutazione f(x_0) della funzione nel punto, allora la funzione è continua nel punto. Avremmo potuto calcolare il limite per sostituzione diretta, ma non potevamo saperlo a priori!

 

4.2) Calcoleremo solamente il limite da sinistra se la funzione è definita solamente in un intorno sinistro di x_0

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)

 

Bonus: se il limite da sinistra esiste finito e coincide con la valutazione f(x_0) della funzione nel punto, allora la funzione è continua da sinistra nel punto. Avremmo potuto calcolare il limite per sostituzione diretta, ma non potevamo saperlo a priori!

 

4.3) Calcoleremo solamente il limite da destra se la funzione è definita solamente in un intorno destro di x_0

 

\lim_{x\to x_0^+}f(x)

 

Bonus: se il limite da destra esiste finito e coincide con la valutazione f(x_0) della funzione nel punto, allora la funzione è continua da destra nel punto. Avremmo potuto calcolare il limite per sostituzione diretta, ma non potevamo saperlo a priori!

 

 

Esempio (4.1)

 

Data la funzione

 

f(x)=\begin{cases}x\mbox{ se }x\leq 0\\ \log(x+1)\mbox{ se }x>0\end{cases}

 

essa è definita su tutto \mathbb{R} e in particolare nel punto di raccordo x_0=0. Se ci venisse richiesto di calcolare il limite per x\to 0 dovremmo necessariamente calcolare a parte il limite sinistro e il limite destro

 

\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}x\\ \\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\log(x+1)

 

Nota: le funzioni definite a tratti forniscono un tipico esempio di funzioni che impongono il calcolo separato dei limiti da sinistra e da destra nei cosiddetti punti di raccordo. Non commettete l'errore di pensare che quest'ultimo esempio sia "artificiale", perché le funzioni definite a tratti sono a tutti gli effetti funzioni è si manifestano in tantissime circostanze nello studio dell'Analisi Matematica. ;)

 

Come calcolare i limiti da sinistra e da destra

 

Ora che abbiamo capito quando dobbiamo preoccuparci dei limiti sinistro e destro passiamo al metodo pratico per calcolarli.

 

Immaginiamo che ci venga richiesto sin dal principio di calcolare un limite sinistro o destro, o che ci venga assegnato un limite che richiede il calcolo separato dei limiti sinistro e destro secondo la scaletta vista in precedenza.

 

Se possiamo applicare sin da subito i teoremi sulla continuità e i risultati sulla continuità delle funzioni elementari, non abbiamo problemi: procediamo per sostituzione diretta secondo le regole stabilire dall'algebra dei limiti.

 

In tutti gli altri casi come gestiamo concretamente il fatto che x\to x_0^- o che x\to x_0^+? Quali sono le conseguenze per cui x si avvicina a x_0 da sinistra o da destra nel calcolo del limite?

 

La tecnica di calcolo prevede di effettuare una pseudo-sostituzione diretta:

 

- nei limiti per x\to x_0^- immagineremo di effettuare una sostituzione diretta con un valore poco più piccolo di x_0

 

- nei limiti per x\to x_0^+ immagineremo di effettuare una sostituzione diretta con un valore poco più grande di x_0

 

In questo modo potremo ricondurci all'usuale logica della sostituzione diretta prestando attenzione alle parti dell'espressione analitica della funzione che generano infiniti e infinitesimi.

 

Da un lato svolgeremo le eventuali somme e differenze prestando attenzione ai termini che generano infinitesimi e in particolare al segno degli infinitesimi che vengono generati: 0^- oppure 0^+.

 

Per "valutare" le funzioni elementari a sinistra o a destra di x_0 presteremo attenzione a quei termini che generano infiniti o infinitesimi, e faremo riferimento ai loro grafici (che sono noti!) per conoscere il comportamento di tali termini a sinistra e a destra di x_0.

 

In tutto questo adotteremo le notazioni dell'algebra di infiniti e infinitesimi e applicheremo le relative regole pseudo-algebriche, che ci permetteranno di giungere al risultato.

 

Esempi di calcolo dei limiti da sinistra e da destra

 

A) \lim_{x\to 1}\frac{x+2}{x-1}

 

Dato che la funzione non è definita in x=1 non possiamo effettuare una sostituzione diretta. Dobbiamo necessariamente distinguere tra il limite sinistro e il limite da destra

 

\lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1}

 

Immaginiamo di valutare la funzione a sinistra di x=1, cioè per un valore poco più piccolo di 1.

 

Il numeratore non genera alcun infinitesimo e possiamo tagliare corto dicendo che restituisce 3.

 

Il denominatore invece genera un infinitesimo e dobbiamo individuarne correttamente il segno. Immaginando di sottrarre 1 ad un numero poco più piccolo di 1, otteniamo un valore poco più piccolo di 0. In parole povere otteniamo un infinitesimo di segno negativo: 0^-. In questo frangente, se siete alle prime armi e se può aiutarvi, potete immaginare di calcolare 0,999-1 ma vi raccomandiamo di abbandonare questo approccio il prima possibile e di prediligere il ragionamento astratto.

 

Dall'algebra di infiniti e infinitesimi sappiamo che il rapporto tra un numero positivo e un infinitesimo negativo restituisce -infinito: \frac{c>0}{0^-}=-\infty

 

\lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1}=-\infty

 

Notate che non abbiamo scritto formalmente alcuno dei passaggi indicati, vi ricordiamo infatti che le operazioni tra infiniti e infinitesimi non sono vere e proprie regole algebriche. ;)

 

Riguardo al limite da destra

 

\lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1}

 

ragioniamo in modo analogo. Il numeratore restituirà ancora una volta 3; per il denominatore immaginiamo di calcolare la differenza tra un numero poco più grande di 1 e 1, per cui ricaviamo come risultato un numero poco più grande di zero: 0^+.

 

Il rapporto tra un numero positivo ed un infinitesimo positivo è +infinito: \frac{c>0}{0^+}=+\infty.

 

\lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1}=+\infty

 

 

B) Vediamo un esempio con un approccio simile a quello di A) ma più rigoroso, in modo da interpretare i limiti da sinistra e da destra in un'ottica posizionale e non quantitativa.

 

\lim_{x\to -2}\frac{x-5}{x^2-4}

 

Anche in questo caso la funzione non è definita in x=-2, dunque calcoliamo separatamente il limite sinistro e quello destro.

 

\lim_{x\to (-2)^-}\frac{x-5}{x^2-4}

 

Grazie alla regola per la differenza di due quadrati possiamo scomporre il denominatore

 

\lim_{x\to (-2)^-}\frac{x-5}{(x-2)(x+2)}

 

Effettuiamo una pseudo-valutazione per x tendente a -2 da sinistra.

 

Il termine x-5 non crea problemi perché non genera alcun infinitesimo, e possiamo concludere che restituisce -7.

 

Con un ragionamento analogo, il termine x-2 varrà -4.

 

Il termine x+2 genera un infinitesimo. Per dedurne il segno immaginiamo di trovarci a sinistra di -2 e di sommare 2, dunque di spostarci a destra di 2 unità. Il risultato sarà un infinitesimo di segno negativo, 0^{-}.

 

Ricomponendo il tutto nell'ottica dell'algebra di infiniti e infinitesimi, otteniamo

 

\frac{-7}{(-4)\cdot 0^-}=\frac{-7}{0^+}=-\infty

 

e dunque

 

\lim_{x\to (-2)^-}\frac{x-5}{(x-2)(x+2)}=-\infty

 

Se invece calcoliamo il limite da destra, ragionando in modo analogo capirete subito che

 

\lim_{x\to (-2)^+}\frac{x-5}{(x-2)(x+2)}=+\infty

 

 

C) Un ultimo esempio per mettere in luce la gestione delle pseudo-valutazioni da sinistra e da destra in presenza di funzioni elementari.

 

\lim_{x\to 0^+}\frac{e^x}{\ln(x)}

 

La funzione non è ovviamente definita in x=0, e più in generale è definita solamente per x>0 (motivo per il quale non possiamo calcolare il limite da sinistra).

 

La funzione esponenziale presente a numeratore non genera alcun infinitesimo né infinito se valutata in x=0. Essendo ivi continua, possiamo immaginare che in una pseudo-valutazione il numeratore restituisca il valore e^0=1.

 

Per il denominatore il discorso cambia, perché la funzione logaritmica non è definita in x=0. Rifacendoci al suo grafico notiamo che essa tende a -infinito per x\to 0^+.

 

In conclusione per determinare il risultato del limite dobbiamo ricorrere alla regola su infiniti e infinitesimi \frac{c>0}{-\infty}=0^-, e concludere che

 

\lim_{x\to 0^+}\frac{e^x}{\ln(x)}=0

 

dove nel risultato non è necessario specificare il segno dell'infinitesimo: il limite da destra esiste e vale zero.

 

 


 

Se volete consultare altri esempi potete passare alla scheda di esercizi svolti, in cui proponiamo diversi limiti da calcolare da sinistra e/o da destra e che coinvolgono gli infiniti e gli infinitesimi. Ci rendiamo conto che la lezione sia molto lunga ma è bene non omettere alcun dettaglio: che ne dite, è meglio leggere un riassuntino in due minuti e avere l'illusione di aver capito oppure leggere per 15 minuti e togliersi ogni possibile dubbio?... ;)

 

Per il resto vi suggeriamo di fare quanto più esercizio possibile e di aiutarvi in tal senso con la scheda correlata, eventualmente con la barra di ricerca interna (abbiamo migliaia di esercizi risolti) e con il tool per il calcolo dei limiti online, grazie al quale potrete verificare i vostri risultati.

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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