Calcolo di limiti da sinistra e da destra

Nella precedente lezione abbiamo introdotto le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi, e abbiamo visto come estendere le regole di calcolo dei limiti per sostituzione diretta quando dobbiamo calcolare limiti per tendente all'infinito o limiti infiniti per tendente a un valore finito.

Abbiamo già mostrato alcuni esempi di calcolo, ma ora è giunto il momento di approfondire il discorso e di concentrarci su un caso particolare che genera parecchie difficoltà per chi è alle prime armi. Come si calcolano i limiti da sinistra e da destra?

Abbiamo già studiato le definizioni formali di limite destro e sinistro in una delle precedenti lezioni, e nel farlo abbiamo rimandato la spiegazione sui metodi di calcolo. Sappiamo infatti che le definizioni sui limiti hanno una valenza prevalentemente teorica e che non si prestano per calcolare i limiti, quanto al più per verificarne i risultati. Qui è giunto il momento di passare alla pratica e di avere pazienza: l'argomento è piuttosto delicato. ;)

Premesse sul calcolo dei limiti da sinistra e da destra

Dopo aver visto le regole su infiniti e infinitesimi abbiamo capito come comportarci in presenza di operazioni non definite nell'insieme dei numeri reali. L'algebra di infiniti e infinitesimi fornisce nuovi strumenti per calcolare manualmente i limiti per x tendente al finito o all'infinito; ma se da una parte il calcolo dei limiti per x tendente all'infinito non sembra destare preoccupazioni, dall'altro nei limiti per x tendente a un valore finito ci sono ulteriori insidie che è meglio non sottovalutare.

Le domande che gli studenti si pongono tipicamente sono due:

- nel calcolo di un limite, quando devo preoccuparmi di porre la distinzione da sinistra e da destra?

- Dovendo calcolare un limite solo da sinistra o solo da destra, come devo comportarmi all'atto pratico?

Per rispondere a queste domande procederemo dapprima con una panoramica sui casi possibili per i limiti con x tendente a un valore finito, evidenziando i casi in cui bisogna separare il calcolo dei limiti da sinistra e da destra. Fatto ciò passeremo alle regole operative per il calcolo dei limiti sinistri e destri.

Quando e perché calcolare i limiti da sinistra e da destra

Prima di tutto è importante capire quando è necessario calcolare i limiti da sinistra e/o da destra e come comportarsi di conseguenza. Per fare chiarezza divideremo la spiegazione in diversi casi.

1) Calcolo di limiti da sinistra e da destra per funzioni continue

Sappiamo che nell'ipotesi di continuità di una funzione in un punto di accumulazione del suo dominio non sussiste alcun problema: l'ipotesi di continuità ci permette di calcolare il limite per sostituzione diretta, infatti

$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

Se vi ricordate le definizioni equivalenti di continuità, saprete sicuramente che una funzione è continua in un punto di accumulazione $x_0\in Dom(f)$ se i due limiti sinistro e destro esistono finiti, coincidono ed il loro comune valore è uguale a quello della valutazione della funzione nel punto

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)$

Da qui deduciamo che, da un punto di vista pratico, in caso di funzioni continue in un punto non ci sono problemi. Trovandoci di fronte a un limite sinistro o destro, prima di tutto stabiliremo se la funzione è continua nel punto usando le semplici regole di calcolo dei limiti; in caso affermativo calcoleremo il limite da sinistra o da destra per sostituzione diretta, ossia tramite valutazione della funzione nel punto.

Esempio

Calcolare il limite da destra

$\lim_{x\to 3^+}e^x\log(x)\sin(x)$

Svolgimento: non ci sono problemi perché abbiamo un prodotto tra tre funzioni continue in , che è a sua volta una funzione continua, quindi il limite può essere calcolato per semplice sostituzione diretta

$\lim_{x\to 3^+}e^x\log(x)\sin(x)=e^3\log(3)\sin(3)$

È chiaro quindi che nell'ipotesi di continuità è irrilevante procedere al calcolo da sinistra o da destra.

2) Calcolo di limiti da sinistra / da destra per funzioni continue solo da sinistra / solo da destra

Se abbiamo una funzione e un punto di accumulazione $x_0\in Dom(f)$ in cui la funzione è continua da destra o da sinistra, ma non entrambe le cose, allora vale un discorso analogo al precedente. In tale circostanza:

2.1) se dobbiamo calcolare il limite da sinistra di una funzione continua da sinistra, sappiamo per ipotesi che

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$

dunque procederemo per semplice sostituzione diretta.

2.2) Se dobbiamo calcolare il limite da destra di una funzione continua da destra, sappiamo che

$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$

e quindi effettueremo una semplice sostituzione diretta.

Per capire se le funzioni in gioco sono continue da sinistra o da destra nei punti considerati è sufficiente ricorrere ai soliti teoremi sulle funzioni continue, i quali valgono sia per la continuità, sia per la continuità da sinistra, sia per la continuità da destra.

Esempio

Calcolare il limite da destra

$\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}$

Svolgimento: il dominio di una radice con indice pari è $[0,+\infty)$ e, dalla continuità delle funzioni elementari, sappiamo che $f(x)=\sqrt{x}$ è continua da destra in . Per questo motivo possiamo calcolare il limite da destra per sostituzione diretta

$\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=\sqrt{0}=0$

3) Calcolo di limiti da sinistra e da destra per funzioni non definite nel punto

Se abbiamo una funzione che non è definita in un punto di accumulazione e di frontiera del dominio, ossia in un punto $x_0\not\in Dom(f)$ che è di accumulazione e di frontiera per il dominio, non possiamo certamente procedere per sostituzione diretta perché non è possibile calcolare .

In un'eventualità del genere dobbiamo capire se la funzione è definita a destra, a sinistra o in un intorno bucato del punto .

3.1) Se la funzione è definita sia a sinistra che a destra ma non in , ossia in un intorno bucato di , ha senso calcolare

$\lim_{x\to x_0}f(x)$

ma per farlo dobbiamo calcolare separatamente i due limiti sinistro e destro

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to x_0^+}f(x)$

Se i due limiti sinistro e destro esistono entrambi finiti o entrambi infiniti e presentano lo stesso valore, questo sarà il valore del limite per $x\to x_0$ (in accordo con la definizione di limite finito per x tendente a un valore finito e con la definizione di limite infinito per x tendente a un valore finito).

In qualsiasi altro caso concluderemo che il limite non esiste e ci limiteremo ad esprimerci sul risultato dei due limiti sinistro e destro.

3.2) Se la funzione è definita solamente in un intorno sinistro di , dovremo limitarci a calcolare

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)$

3.3) Se la funzione è definita solamente in un intorno destro di , dovremo limitarci a calcolare

$\lim_{x\to x_0^+}f(x)$

Al termine della classificazione dei possibili casi spiegheremo i metodi pratici di calcolo, prima però vediamo di intenderci. ;)

Esempi

3.1) La funzione

$f(x)=\frac{1}{x-1}$

non è definita nel punto e ha dominio $Dom(f)=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$ . In questo caso dobbiamo calcolare separatamente

$\\ \lim_{x\to 1^-}\frac{1}{x-1}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1}$

Immaginando di saperli calcolare e di averli calcolati, se i due limiti presentano lo stesso valore finito o infinito allora tale valore sarà il risultato del limite

$\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}$

In caso contrario ci limiteremo a riportare i risultati dei due limiti sinistro e destro, separatamente.

3.2) e 3.3) Nel caso della funzione

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

il dominio è . In riferimento al punto possiamo solamente calcolare il limite da destra

$\lim_{x\to (-1)^+}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

mentre per il punto possiamo solamente calcolare il limite da sinistra

$\lim_{x\to 1^-}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

4) Calcolo di limiti da sinistra e da destra in tutti gli altri casi

Come ultima eventualità consideriamo una funzione , definita in un punto $x_0\in Dom(f)$ di accumulazione per il dominio, e supponiamo di non essere in grado di stabilire a priori se la funzione è continua nel punto .

In altri termini supponiamo di non essere in grado di applicare i teoremi sulle funzioni continue né i risultati relativi alla continuità delle funzioni elementari.

In tale circostanza non disponiamo dell'ipotesi di continuità: la funzione potrebbe essere continua o non continua in , ma noi non lo sappiamo e dunque non possiamo calcolare il limite per $x\to x_0$ per sostituzione diretta.

4.1) Calcoleremo separatamente i due limiti da sinistra e da destra se la funzione è definita in un intorno completo di

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to x_0^+}f(x)$

Bonus: se i due limiti sinistro e destro esistono finiti e coincidono, e se il loro valore coincide con la valutazione della funzione nel punto, allora la funzione è continua nel punto. Avremmo potuto calcolare il limite per sostituzione diretta, ma non potevamo saperlo a priori!

4.2) Calcoleremo solamente il limite da sinistra se la funzione è definita solamente in un intorno sinistro di

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)$

Bonus: se il limite da sinistra esiste finito e coincide con la valutazione della funzione nel punto, allora la funzione è continua da sinistra nel punto. Avremmo potuto calcolare il limite per sostituzione diretta, ma non potevamo saperlo a priori!

4.3) Calcoleremo solamente il limite da destra se la funzione è definita solamente in un intorno destro di

$\lim_{x\to x_0^+}f(x)$

Bonus: se il limite da destra esiste finito e coincide con la valutazione della funzione nel punto, allora la funzione è continua da destra nel punto. Avremmo potuto calcolare il limite per sostituzione diretta, ma non potevamo saperlo a priori!

Esempio (4.1)

Data la funzione

$f(x)=\begin{cases}x\mbox{ se }x\leq 0\\ \log(x+1)\mbox{ se }x>0\end{cases}$

essa è definita su tutto $\mathbb{R}$ e in particolare nel punto di raccordo . Se ci venisse richiesto di calcolare il limite per $x\to 0$ dovremmo necessariamente calcolare a parte il limite sinistro e il limite destro

$\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}x\\ \\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\log(x+1)$

Nota: le funzioni definite a tratti forniscono un tipico esempio di funzioni che impongono il calcolo separato dei limiti da sinistra e da destra nei cosiddetti punti di raccordo. Non commettete l'errore di pensare che quest'ultimo esempio sia "artificiale", perché le funzioni definite a tratti sono a tutti gli effetti funzioni è si manifestano in tantissime circostanze nello studio dell'Analisi Matematica. ;)

Come calcolare i limiti da sinistra e da destra

Ora che abbiamo capito quando dobbiamo preoccuparci dei limiti sinistro e destro passiamo al metodo pratico per calcolarli.

Immaginiamo che ci venga richiesto sin dal principio di calcolare un limite sinistro o destro, o che ci venga assegnato un limite che richiede il calcolo separato dei limiti sinistro e destro secondo la scaletta vista in precedenza.

Se possiamo applicare sin da subito i teoremi sulla continuità e i risultati sulla continuità delle funzioni elementari, non abbiamo problemi: procediamo per sostituzione diretta secondo le regole stabilire dall'algebra dei limiti.

In tutti gli altri casi come gestiamo concretamente il fatto che $x\to x_0^-$ o che $x\to x_0^+?$ Quali sono le conseguenze per cui si avvicina a da sinistra o da destra nel calcolo del limite?

La tecnica di calcolo prevede di effettuare una pseudo-sostituzione diretta:

- nei limiti per $x\to x_0^-$ immagineremo di effettuare una sostituzione diretta con un valore poco più piccolo di

- nei limiti per $x\to x_0^+$ immagineremo di effettuare una sostituzione diretta con un valore poco più grande di

In questo modo potremo ricondurci all'usuale logica della sostituzione diretta prestando attenzione alle parti dell'espressione analitica della funzione che generano infiniti e infinitesimi.

Da un lato svolgeremo le eventuali somme e differenze prestando attenzione ai termini che generano infinitesimi e in particolare al segno degli infinitesimi che vengono generati: oppure .

Per "valutare" le funzioni elementari a sinistra o a destra di presteremo attenzione a quei termini che generano infiniti o infinitesimi, e faremo riferimento ai loro grafici (che sono noti!) per conoscere il comportamento di tali termini a sinistra e a destra di .

In tutto questo adotteremo le notazioni dell'algebra di infiniti e infinitesimi e applicheremo le relative regole pseudo-algebriche, che ci permetteranno di giungere al risultato.

Esempi di calcolo dei limiti da sinistra e da destra

A) $\lim_{x\to 1}\frac{x+2}{x-1}$

Dato che la funzione non è definita in non possiamo effettuare una sostituzione diretta. Dobbiamo necessariamente distinguere tra il limite sinistro e il limite da destra

$\lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1}$

Immaginiamo di valutare la funzione a sinistra di , cioè per un valore poco più piccolo di 1.

Il numeratore non genera alcun infinitesimo e possiamo tagliare corto dicendo che restituisce 3.

Il denominatore invece genera un infinitesimo e dobbiamo individuarne correttamente il segno. Immaginando di sottrarre 1 ad un numero poco più piccolo di 1, otteniamo un valore poco più piccolo di 0. In parole povere otteniamo un infinitesimo di segno negativo: . In questo frangente, se siete alle prime armi e se può aiutarvi, potete immaginare di calcolare 0,999-1 ma vi raccomandiamo di abbandonare questo approccio il prima possibile e di prediligere il ragionamento astratto.

Dall'algebra di infiniti e infinitesimi sappiamo che il rapporto tra un numero positivo e un infinitesimo negativo restituisce -infinito: $\frac{c>0}{0^-}=-\infty$

$\lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1}=-\infty$

Notate che non abbiamo scritto formalmente alcuno dei passaggi indicati, vi ricordiamo infatti che le operazioni tra infiniti e infinitesimi non sono vere e proprie regole algebriche. ;)

Riguardo al limite da destra

$\lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1}$

ragioniamo in modo analogo. Il numeratore restituirà ancora una volta 3; per il denominatore immaginiamo di calcolare la differenza tra un numero poco più grande di 1 e 1, per cui ricaviamo come risultato un numero poco più grande di zero: .

Il rapporto tra un numero positivo ed un infinitesimo positivo è +infinito: $\frac{c>0}{0^+}=+\infty$ .

$\lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1}=+\infty$

B) Vediamo un esempio con un approccio simile a quello di A) ma più rigoroso, in modo da interpretare i limiti da sinistra e da destra in un'ottica posizionale e non quantitativa.

$\lim_{x\to -2}\frac{x-5}{x^2-4}$

Anche in questo caso la funzione non è definita in , dunque calcoliamo separatamente il limite sinistro e quello destro.

$\lim_{x\to (-2)^-}\frac{x-5}{x^2-4}$

Grazie alla regola per la differenza di due quadrati possiamo scomporre il denominatore

$\lim_{x\to (-2)^-}\frac{x-5}{(x-2)(x+2)}$

Effettuiamo una pseudo-valutazione per tendente a -2 da sinistra.

Il termine non crea problemi perché non genera alcun infinitesimo, e possiamo concludere che restituisce -7.

Con un ragionamento analogo, il termine varrà -4.

Il termine genera un infinitesimo. Per dedurne il segno immaginiamo di trovarci a sinistra di -2 e di sommare 2, dunque di spostarci a destra di 2 unità. Il risultato sarà un infinitesimo di segno negativo, $0^{-}$ .

Ricomponendo il tutto nell'ottica dell'algebra di infiniti e infinitesimi, otteniamo

$\frac{-7}{(-4)\cdot 0^-}=\frac{-7}{0^+}=-\infty$

e dunque

$\lim_{x\to (-2)^-}\frac{x-5}{(x-2)(x+2)}=-\infty$

Se invece calcoliamo il limite da destra, ragionando in modo analogo capirete subito che

$\lim_{x\to (-2)^+}\frac{x-5}{(x-2)(x+2)}=+\infty$

C) Un ultimo esempio per mettere in luce la gestione delle pseudo-valutazioni da sinistra e da destra in presenza di funzioni elementari.

$\lim_{x\to 0^+}\frac{e^x}{\ln(x)}$

La funzione non è ovviamente definita in , e più in generale è definita solamente per (motivo per il quale non possiamo calcolare il limite da sinistra).

La funzione esponenziale presente a numeratore non genera alcun infinitesimo né infinito se valutata in . Essendo ivi continua, possiamo immaginare che in una pseudo-valutazione il numeratore restituisca il valore .

Per il denominatore il discorso cambia, perché la funzione logaritmica non è definita in . Rifacendoci al suo grafico notiamo che essa tende a -infinito per $x\to 0^+$ .

In conclusione per determinare il risultato del limite dobbiamo ricorrere alla regola su infiniti e infinitesimi $\frac{c>0}{-\infty}=0^-$ , e concludere che

$\lim_{x\to 0^+}\frac{e^x}{\ln(x)}=0$

dove nel risultato non è necessario specificare il segno dell'infinitesimo: il limite da destra esiste e vale zero.

Se volete consultare altri esempi potete passare alla scheda di esercizi svolti, in cui proponiamo diversi limiti da calcolare da sinistra e/o da destra e che coinvolgono gli infiniti e gli infinitesimi. Ci rendiamo conto che la lezione sia molto lunga ma è bene non omettere alcun dettaglio: che ne dite, è meglio leggere un riassuntino in due minuti e avere l'illusione di aver capito oppure leggere per 15 minuti e togliersi ogni possibile dubbio?... ;)

Per il resto vi suggeriamo di fare quanto più esercizio possibile e di aiutarvi in tal senso con la scheda correlata, eventualmente con la barra di ricerca interna (abbiamo migliaia di esercizi risolti) e con il tool per il calcolo dei limiti online, grazie al quale potrete verificare i vostri risultati.

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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