Non esistenza di un limite

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Un limite che non esiste, per x tendente a un valore finito o infinito, è un limite per il quale non è soddisfatta né la definizione di limite finito né quella di limite infinito. La non esistenza di un limite si manifesta quando non sussiste alcuna delle definizioni di limite.

Ora che abbiamo introdotto le quattro possibili definizioni di limite e che abbiamo definito i limiti da sinistra e da destra vogliamo proporvi qualche esempio concreto di limiti che non esistono.

Questa lezione ha un intento puramente informativo e non ci soffermeremo su aspetti troppo tecnici: il nostro intento consiste solamente nel mettervi in guardia e darvi un'idea di come possa manifestarsi la non esistenza di un limite.

Non esistenza di un limite al finito

Consideriamo un limite per x tendente a un valore finito. Possiamo fare riferimento a due definizioni:

A) limite finito per x tendente a un valore finito;

B) limite infinito per x tendente a un valore finito.

Più precisamente, consideriamo una funzione $f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ e consideriamo un punto di accumulazione $x_0\in\mathbb{R}$ per il dominio. Scrivendo $x_0\in\mathbb{R}$ stiamo intendendo che sia finito.

Supponiamo che la funzione sia definita nell'intorno sinistro e destro di . In questo contesto può essere o non essere definita in , dunque non è necessario che $x_0\in Dom(f)$ .

Originariamente abbiamo espresso le definizioni 1) e 2) con il linguaggio simbolico degli epsilon-delta, ma dopo aver introdotto le definizioni di limite sinistro e destro sappiamo che essere possono essere scritte in una forma equivalente:

A) limite finito per x tendente a un valore finito

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)$

B) limite infinito per x tendente a un valore finito

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty\ \ \mbox{ e }\ \ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty$

oppure

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty\ \ \mbox{ e }\ \ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty$

In entrambi i casi l'esistenza del limite complessivo prevede che il limite sinistro e destro esistano entrambi finiti e con lo stesso valore (A) oppure che il limite sinistro e destro esistano infiniti con lo stesso segno (B). Vi ricordiamo in particolare che la scrittura

$\lim_{x\to x_0}f(x)$

comprende in un colpo solo sia il limite da sinistra che quello da destra, e viene denominata limite (bilatero) per $x\to x_0$ di .

Ci sono diversi modi in cui un limite per x tendente a un valore finito può non esistere, perché il comportamento della funzione a sinistra del punto può essere completamente scorrelato rispetto all'andamento che assume a destra del punto. Vediamo di classificare tutti i casi possibili.

1) Se i due limiti da sinistra e da destra esistono finiti ma assumono valori diversi

$\begin{cases}\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\ell_1\in\mathbb{R}\\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=\ell_2\in\mathbb{R}\\ \ell_1\neq \ell_2\end{cases}\ \ \ \Rightarrow \not\exists\lim_{x\to x_0}f(x)$

allora il limite per $x\to x_0$ non esiste perché non è possibile attribuirgli un unico valore. Di contro i limiti sinistro e destro esistono separatamente, e sono finiti.

Limite sinistro e destro finiti ma diversi

2) Se i due limiti da sinistra e da destra esistono infiniti ma presentano segni opposti

$\\ \begin{cases}\lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty\\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty\end{cases}\ \ \ \Rightarrow \not\exists\lim_{x\to x_0}f(x)\\ \\ \\ \mbox{oppure}\\ \\ \begin{cases}\lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty\\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty\end{cases}\ \ \ \Rightarrow \not\exists\lim_{x\to x_0}f(x)$

allora il limite per $x\to x_0$ non esiste perché non è possibile attribuirgli un unico valore, in tal caso infatti non si può scrivere che il limite per $x\to x_0$ vale più infinito o meno infinito. Possiamo però affermare che il limite sinistro e destro esistono infiniti separatamente.

Limite sinistro e destro infiniti e discordi

3) Se i due limiti da sinistra e da destra esistono uno finito e l'altro infinito

$\\ \begin{cases}\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\pm\infty\\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=\ell\in\mathbb{R}\end{cases}\ \ \ \Rightarrow \not\exists\lim_{x\to x_0}f(x)\\ \\ \\ \mbox{oppure}\\ \\ \begin{cases}\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\ell\in\mathbb{R}\\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=\pm\infty\end{cases}\ \ \ \Rightarrow \not\exists\lim_{x\to x_0}f(x)$

in tale eventualità il limite per $x\to x_0$ non esiste. Di contro i due limiti sinistro e destro esistono separatamente e sono uno finito e l'altro infinito.

Limite sinistro finito, limite destro infinito

4) Se almeno uno dei due limiti sinistro o destro non esiste (l'altro può esistere finito, infinito o non esistere)

$\\ \begin{cases}\lim_{x\to x_0^-}f(x)\ \not\exists\\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=\ell\in\mathbb{R}\end{cases}\ \ \ \Rightarrow \not\exists\lim_{x\to x_0}f(x)\\ \\ \\ \mbox{oppure}\\ \\ \begin{cases}\lim_{x\to x_0^-}f(x)\ \not\exists\\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=\pm\infty\end{cases}\ \ \ \Rightarrow \not\exists\lim_{x\to x_0}f(x) \\ \\ \\ \mbox{oppure}\\ \\ \begin{cases}\lim_{x\to x_0^-}f(x)\ \not\exists\\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)\ \not\exists\end{cases}\ \ \ \Rightarrow \not\exists\lim_{x\to x_0}f(x)\\ \\ \\ \mbox{oppure}\\ \\ \begin{cases}\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\ell\in\mathbb{R}\\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)\ \not\exists\end{cases}\ \ \ \Rightarrow \not\exists\lim_{x\to x_0}f(x)\\ \\ \\ \mbox{oppure}\\ \\ \begin{cases}\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\pm\infty\\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)\ \not\exists\end{cases}\ \ \ \Rightarrow \not\exists\lim_{x\to x_0}f(x)$

allora il limite complessivo non esiste.

Notate che in ciascuno dei casi considerati possiamo esprimerci a due livelli: da un lato possiamo parlare di (non) esistenza del limite complessivo, dall'altro possiamo parlare di (non) esistenza del limite da sinistra e di (non) esistenza del limite da destra.

Limite sinistro finito, limite destro non esiste

: limite sinistro finito, non esistenza del limite destro.

In ciascuno dei casi considerati diremo che la funzione non converge né diverge per $x\to x_0$ , o più semplicemente che non esiste il limite bilatero per $x\to x_0$ .

Ora che abbiamo una panoramica completa è lecito domandarsi: concretamente quando un limite sinistro o destro non esiste?

Tale eventualità si verifica quando non è possibile applicare nessuna tra le definizioni di limite finito o di limite infinito. Si procede cioè per negazione delle definizioni epsilon-delta che ben conosciamo e si dimostra che entrambe le definizioni vengono negate.

Esempio (non esistenza del limite sinistro e del limite destro)

Consideriamo la funzione

$f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

la quale ha dominio $Dom(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ ed il cui grafico è riportato in figura

Non esistenza di un limite

Se consideriamo il punto si intuisce subito che esso non appartiene al dominio della funzione, ma ne è comunque un punto di accumulazione. In questo caso non esistono né il limite per $x\to 0^-$ (da sinistra), né il limite per $x\to 0^+$ (da destra)

$\lim_{x\to 0^-}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\ \not\exists\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 0^-}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\ \not\exists$

Innanzitutto osserviamo che è una funzione dispari, quindi possiamo concentrarci su uno solo dei due limiti.

Ragioniamo sul limite da destra: poiché la funzione seno è una funzione limitata a valori in il limite per $x\to 0^+$ non può essere infinito. Consideriamo la definizione di limite finito per x tendente a un valore finito da destra, e chiamiamo il valore del presunto limite finito

$\forall \varepsilon>0\ \exists\delta>0\mbox{ t.c. se }0<x-x_0<\delta\mbox{ allora }|f(x)-c|<\varepsilon$

Ragioniamo per negazione e dimostriamo che

$\exists \varepsilon>0\mbox{ per cui }\forall\delta>0\mbox{ se }0<x-x_0<\delta\mbox{ allora }|f(x)-c|\geq\varepsilon$

$\varepsilon$ è il valore di controllo per la distanza delle ordinate. Poiché la funzione seno compie oscillazioni tra i valori $y=-1\mbox{ e }y=+1$ sempre più ravvicinate man mano che $x\to 0^+$ , possiamo considerare

$\varepsilon=1$

A prescindere dal valore $c\in [-1,+1]$ che consideriamo, con $\varepsilon=1$ avremo la garanzia che, comunque considereremo un valore $\delta>0$ , troveremo sempre un'ascissa che dista da meno di $\delta$ e tale per cui

$\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)-c\right|\geq 1$

In definitiva il limite da destra $\lim_{x\to 0^+}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ non esiste, e per disparità non esiste nemmeno quello da sinistra.

Non esistenza di un limite all'infinito

Ora passiamo ad analizzare un limite per x tendente all'infinito. Noi disponiamo di due definizioni

C) limite finito per x tendente all'infinito

D) limite infinito per x tendente all'infinito

Per fissare le idee ragioniamo nel caso $x\to +\infty$ . Per $x\to -\infty$ varranno considerazioni del tutto analoghe.

Fortunatamente qui la trattazione è molto più semplice perché non abbiamo l'impiccio della distinzione tra limite sinistro e limite destro. Di conseguenza la non esistenza di un limite all'infinito può manifestarsi in un unico modo: il limite

$\lim_{x\to +\infty}f(x)$

non deve esistere finito e non deve esistere infinito.

In questo caso diremo che la funzione non converge né diverge per $x\to +\infty$ , o più semplicemente che non esiste il limite (bilatero) per $x\to +\infty$ .

Esempio (non esistenza di un limite all'infinito)

Consideriamo la semplice funzione seno

$f(x)=\sin(x)$

che ha dominio $Dom(f)=(-\infty,+\infty)$ e grafico come in figura

Non esistenza di un limite all'infinito

In questo caso il limite per $x\to +\infty$ non esiste

$\lim_{x\to +\infty}\sin(x)\ \not\exists$

e, come si intuisce facilmente per simmetria

$\lim_{x\to -\infty}\sin(x)\ \not\exists$

Per dimostrarlo è sufficiente osservare che né la definizione di limite finito all'infinito né la definizione di limite infinito all'infinito sono soddisfatte. Per la seconda il compito è banale, perché la funzione seno è limitata e dunque non può divergere all'infinito per $x\to +\infty$ .

Per mostrare che il limite per $x\to +\infty$ non è finito partiamo dalla definizione. Chiamiamo il presupposto valore del limite finito

$\forall\varepsilon>0\ \exists M>0\mbox{ t.c. se }x>M\mbox{ allora risulta che }|f(x)-c|<\varepsilon$

e dimostriamo che la sua negazione viene soddisfatta

$\exists\varepsilon>0\ \mbox{per cui }\forall M>0\mbox{ se }x>M\mbox{ allora risulta che }|f(x)-c|\geq\varepsilon$

Ancora una volta le indefinite oscillazioni del grafico vengono in nostro soccorso. Se consideriamo

$\varepsilon=1$

allora i vede subito che, a prescindere dal valore di limite $c\in [-1,+1]$ che si considera, comunque prendiamo potremo sempre trovare un'ascissa la cui immagine dista da almeno $\varepsilon=1$

$|\sin(x)-c|\geq 1$

Ciò è garantito dalla periodicità della funzione seno, infatti essa assume tutti i valori compresi tra in un qualsiasi intervallo di ampiezza $2\pi$ .

Come avrete intuito la non esistenza di un limite per funzioni che non sono definite a tratti si manifesta spesso e volentieri nel caso delle funzioni periodiche, ma non solo...

Possiamo fermarci qui. Ribadiamo che lo scopo di questa lezione era puramente informativo: abbiamo voluto mostrarvi che il mondo delle funzioni è grande e che tutto può succedere. Non spaventatevi comunque: un modo salutare per studiare la Matematica prevede di studiare le definizioni alla lettera, digerirne il significato e non dare mai nulla per scontato. :)

Nella lezione successiva presenteremo il teorema di unicità del limite. Niente esercizi qui, ma se siete in cerca di risposte ad eventuali dubbi vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna; se poi avete voglia di divertirvi, sappiate che su YM è disponibile un tool per il calcolo dei limiti online. ;)

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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