Teorema dei valori intermedi

Il teorema dei valori intermedi, detto anche teorema di connessione, stabilisce che se una funzione continua in un intervallo assume due valori distinti nell'intervallo, allora assumerà tutti i valori tra essi compresi.

Questa lezione ha come protagonista il teorema dei valori intermedi, che costituisce un ulteriore tassello da aggiungere alla teoria delle funzioni continue. Oltre al suo enunciato, ne analizzeremo una possibile dimostrazione in cui ricorreremo al teorema degli zeri, di cui consigliamo un ripasso prima di continuare la lettura. ;)

Nella seconda parte ci occuperemo del corollario del teorema dei valori intermedi, e naturalmente di una sua dimostrazione. Solo all'apparenza sembra essere un risultato privo di applicazioni pratiche; vedremo, invece, che ricopre un ruolo di tutto rispetto nella risoluzione degli esercizi.

Teorema dei valori intermedi

Il teorema dei valori intermedi possiede diverse formulazioni, alcune delle quali hanno delle ipotesi più restrittive. A seconda delle preferenze del vostro docente potrebbe capitarvi di studiare un enunciato del teorema in una forma meno generale: un'eventuale scelta del genere dipenderebbe dall'impostazione che il professore ha adottato per le proprie spiegazioni, e dall'ordine con cui ha spiegato i vari teoremi.

Al fine di venire incontro alle esigenze di tutti, di seguito scriveremo l'enunciato del teorema dei valori intermedi riducendo all'osso le restrizioni, con l'intento di fornire l'enunciato del teorema nella sua forma più generale.

Sia $I\subset \mathbb{R}$ un intervallo e sia una funzione continua in . Se assume due valori distinti in , allora assume tutti i valori compresi tra $y_1\mbox{ e }y_2$ .

In termini un po' più tecnici:

$\forall y_0\ \ :\ \ y_1\le y_0\le y_2\ \ \exists x_0\in I\mbox{ tale che }f(x_0)=y_0$

Dimostrazione del teorema dei valori intermedi

Poiché assume i valori $y_1\mbox{ e }y_2$ allora esistono $x_1\mbox{ e }x_2\in I$ tali che $f(x_1)=y_1\mbox{ e }f(x_2)=y_2$ . Senza perdita di generalità possiamo supporre che .

Grazie ai valori possiamo costruire un intervallo chiuso e limitato , contenuto in . Per ipotesi sappiamo che è continua in , di conseguenza sarà continua anche in .

Sia un valore compreso tra $y_1\mbox{ e }y_2$ :

Dalla doppia disuguaglianza segue che:

$\\ y_1<y_0\implies y_1-y_0<0\\ \\ y_0<y_2\implies y_2-y_0>0$

condizioni che ci torneranno utili a breve.

Consideriamo la funzione ausiliaria:

$g(x)=f(x)-y_0\mbox{ con }x\in [x_1, x_2]$

Essa è una funzione continua in quanto differenza tra le funzioni continue e la funzione costante . Inoltre:

$\\ g(x_1)=f(x_1)-y_0= y_1-y_0<0\\ \\ g(x_2)=f(x_2)-y_0=y_2-y_0>0$

La funzione ausiliaria soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri, pertanto esiste $x_0\in (x_1, x_2)$ tale che:

$g(x_0)=0\mbox{ ossia }f(x_0)-y_0=0\implies f(x_0)=y_0$

Abbiamo dimostrato che comunque si fissi compreso tra $y_1\mbox{ e }y_2$ esiste $x_0\in I$ la cui immagine tramite la funzione coincide con .

Dalla generalità di segue che la funzione assume tutti i valori compresi tra $y_1\mbox{ e }y_2$ , ossia la tesi.

Corollario del teorema dei valori intermedi

Attenzione: dato lo strettissimo legame tra il teorema ed il corollario del teorema dei valori intermedi che stiamo per enunciare, molti insegnanti promuovono quest'ultimo a teorema dei valori intermedi. Fortunatamente, ciò non crea ripercussioni teoriche: è solo una questione di nomenclatura.

Grazie al teorema dei valori intermedi possiamo dimostrare un risultato che, come vedremo, ha delle conseguenze notevoli sia teoriche che pratiche. Tale risultato è spesso identificato come un corollario del teorema dei valori intermedi ed afferma che se una funzione è continua in un intervallo allora assumerà tutti i valori compresi tra il suo estremo inferiore e estremo superiore.

In termini prettamente matematici l'enunciato si esprime come segue: sia un intervallo reale, e sia una funzione continua in . Indichiamo con

$\bullet\ \ell_1=\inf_{x\in I} f(x)$ l'estremo inferiore che la funzione assume su , finito o infinito che sia;

$\bullet\ \ell_2=\sup_{x\in I}f(x)$ l'estremo superiore che la funzione assume su , finito o infinito che sia.

Allora per ogni $\ell_1<y_0<\ell_2$ esiste $x_0\in I$ tale che

Osservazioni preliminari

Prima di avventurarci nella dimostrazione, è opportuno effettuare alcune osservazioni importanti. Il corollario assicura che:

1) l'immagine di un intervallo mediante una funzione continua è ancora un intervallo. In altri termini, una funzione continua manda intervalli in intervalli.

2) Il grafico di una funzione continua in un intervallo può essere disegnanto "senza staccare la matita dal foglio". In realtà, tale espressione è una banalizzazione del fatto che il grafico di una funzione continua in un intervallo è connesso. Attenzione a non sottointendere la parola intervallo... Qualche docente particolarmente pignolo potrebbe giustamente arrabbiarsi. ;)

Dimostrazione del corollario del teorema dei valori intermedi

Sia un qualsiasi numero reale compreso tra l'estremo inferiore e l'estremo superiore della funzione sull'intervallo $I:\ \ell_1<y_0<\ell_2$ .

Osserviamo che non coincide con $\ell_1$ e che, per definizione di estremo inferiore di una funzione, esiste $x_1\in I$ tale che la sua immagine sia compresa tra l'estremo inferiore e :

$\ell_1<f(x_1)<y_0$

Simmetricamente, poiché $y_0\ne \ell_2$ , esiste $x_2\in I$ tale che:

$y_0<f(x_2)<\ell_2$

Le relazioni trovate ci assicurano che è compreso tra i valori $f(x_1)\mbox{ e }f(x_2)$ , di conseguenza per il teorema del valori intermedi esiste $x_0\in I$ tale che .

In definitiva, ogni valore compreso tra l'estremo superiore e l'estremo inferiore di una funzione continua in un intervallo è immagine di qualche valore dell'intervallo.

Teorema dei valori intermedi per funzioni continue con massimo e minimo assoluti

Merita una menzione speciale un caso particolare del corollario del teorema dei valori intermedi. Esso continua a valere quando l'estremo superiore e l'estremo inferiore sono in particolare massimo e minimo assoluti per la funzione.

In tal caso possiamo riformulare il corollario come segue: se una funzione continua in un intervallo ammette massimo e minimo assoluti, allora assumerà tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo assoluti.

A cosa serve il teorema dei valori intermedi

Nel momento in cui il teorema dei valori intermedi viene presentato, non è chiaro come possa essere utile ai fini pratici. Ad uno sguardo superficiale, sembra proprio uno di quei teoremi che hanno risvolti esclusivamente teorici... Ma è davvero così? Ovviamente, no. ;)

Il teorema dei valori intermedi e il suo corollario permettono di determinare l'immagine di una funzione, e di conseguenza consentono di studiare elegantemente (leggi senza fare molti conti) la suriettività di una funzione.

Di riflesso, i due risultati semplificano notevolmente l'analisi e lo studio di tutti quei concetti legati in un modo o nell'altro alla suriettività: l'invertibilità di una funzione e ancora l'esistenza di soluzioni di un equazione costituiscono solo due esempi.

Esempi sull'uso del teorema dei valori intermedi

1) Dimostrare che

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\ \ \, \ \ \ f(x)=x^3+x^2+1$

è una funzione suriettiva.

Per mostrare la suriettività della funzione proviamo a determinare i limiti agli estremi del dominio:

$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}(x^3+x^2+1)$

Poiché è un infinito di ordine superiore rispetto a $x^2\mbox{ e }1$ , possiamo tranquillamente trascurare queste due quantità.

$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}x^3=-\infty$

$-\infty$ è l'estremo inferiore della funzione nel suo dominio. Ragionando allo stesso modo per il limite al secondo estremo otterremo:

$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}x^3=+\infty$

$+\infty$ è l'estremo superiore della funzione nel suo dominio. La funzione è continua perché somma di funzioni continue in $\mathbb{R}$ , di conseguenza il corollario del teorema dei valori intermedi ci assicura che la funzione assume tutti i valori compresi tra l'estremo inferiore e l'estremo superiore, ossia $Im(f)=(-\infty, +\infty)$ dunque la funzione è suriettiva.

2) Dire per quali valori di $\alpha\in \mathbb{R}$ l'equazione

$e^{x}+2^x=\alpha$

ammette un'unica soluzione.

Consideriamo la funzione $f(x)=e^{x}+2^x$ . Essa è naturalmente una funzione continua in $\mathbb{R}$ , perché somma di due funzioni esponenziali, notoriamente continue.

Inoltre, è una funzione monotona strettamente crescente, perché somma di funzioni strettamente crescenti.

Poiché

$\lim_{x\to -\intfy}e^{x}+2^{x}=0 \ \ \ , \ \ \ \lim_{x\to +\infty}e^{x}+2^{x}=+\infty$

allora $\ell_1=0\mbox{ e }\ell_2=+\infty$ sono rispettivamente l'estremo inferiore e l'estremo superiore della funzione . Per il teorema dei valori intermedi la funzione assume tutti i valori compresi tra $\ell_1=0\mbox{ e }\ell_2= +\infty$ , ossia $f(x)\in (0, +\infty)$ .

L'equazione ammette almeno una soluzione se e solo se $\alpha$ assume uno dei valori che la funzione assume, e affinché ciò succeda dobbiamo richiedere che $\alpha \in (0, +\infty)$ . L'unicità della soluzione è assicurata, invece, dalla monotonia della funzione .

Possiamo concludere che l'equazione ammette soluzioni se e solo se $\alpha\in (0, +\infty)$ .

A proposito: chi volesse approfondire la questione sollevata dall'esercizio 2) può dare un'occhiata alla scheda di esercizi sul numero di soluzioni delle equazioni.

La lezione termina qui. Prima dei saluti, alcune informazioni utili. Se aveste bisogno di ulteriori spunti sul teorema ed eventualmente di esercizi svolti, potete far uso della barra di ricerca interna: ci sono moltissime discussioni sull'argomento, oltre a esercizi interamente risolti in cui interviene il teorema dei valori intermedi. :)

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

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