Simboli di Landau

I simboli di Landau sono delle notazioni matematiche introdotte dal matematico tedesco Edmund Landau con lo scopo di semplificare gli enunciati di numerosi teoremi, e che consentono di esprimere il confronto locale tra funzioni con una simbologia comoda e compatta.

Questa lezione ha lo scopo di presentare in un sol colpo i simboli di Landau più utilizzati nei corsi di Analisi Matematica. Inizieremo a dare le definizioni fondamentali dei quattro simboli di Landau: O-grande, equigrandezza, equivalenza asintotica e o-piccolo.

Nota: i simboli di Landau vengono presentati e studiati solamente a livello universitario. Qui si apre un mini-ciclo di lezioni dedicate ad argomenti che sono oggetto di studio esclusivamente all'università, e che si conclude con la lezione sui limiti con Taylor. Gli studenti delle scuole superiori possono astenersi dalla lettura e passare direttamente alla pagina dedicata alla nozione di funzione continua. ;)

Quali sono i simboli di Landau

I simboli di Landau che analizzeremo sono i seguenti: O-grande, o-piccolo, equigrandezza ed equivalenza asintotica

$o(\cdot)\ \ \ O(\cdot)\ \ \ \asymp\ \ \ \sim$

Essi sono oggetto di studio prevalentemente nei corsi di Analisi Matematica per Matematica, Fisica ed Ingegneria; in particolare, i simboli di o-piccolo ed equivalenza asintotica sono richiesti agli studenti di qualsiasi facoltà. Qui non tratteremo i simboli Omega-grande, omega-piccolo e Theta-grande

$\Omega(\cdot)\ \ \ \omega(\cdot)\ \ \ \Theta(\cdot)$

che riguardano il caso specifico delle successioni e interessano prevalentemente gli studenti dei corsi di laurea in Informatica.

Solitamente, in un corso standard di Analisi Matematica di base, o-piccolo e equivalenza asintotica sono i simboli di Landau che ricoprono il ruolo di maggiore importanza, mentre O-grande ed il simbolo di equigrandezza hanno meno rilevanza. Nella maggior parte dei casi l'equigrandezza non viene nemmeno introdotta.

Iniziamo la lezione fornendo le definizioni matematiche formali di ciascun simbolo di Landau, ma prima abbiamo bisogno di un'impalcatura teorica: ci servirà per evitare inutili ripetizioni.

Sia $x_0\in \mathbb{R}\cup\{\pm \infty\}$ e siano due funzioni definite in un intorno , eventualmente bucato e non necessariamente circolare, di . Supponiamo inoltre che la funzione non si annulli nell'intorno $I:\ g(x)\ne 0\ \forall x\in I$ .

Per predisporvi nel modo migliore alla lettura, vi anticipiamo inoltre che tutte le seguenti definizioni ruoteranno intorno al medesimo personaggio: il limite

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$

Simbolo di Landau: O-grande

Il primo simbolo di Landau che viene introdotto è il simbolo di O-grande, poiché è il simbolo più generale dalla cui definizione discendono gli altri come casi particolari.

Diremo che è un O-grande di per $x\to x_0$ se e solo se il limite del rapporto di fratto per $x\to x_0$ esiste ed è finito.

$f(x)=O(g(x))\mbox{ per }x\to x_0\ \iff\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\in\mathbb{R}$

Nonostante l'O-grande ricopra un ruolo marginale rispetto alla definizione di o-piccolo e di equivalenza asintotica, abbiamo deciso di parlarne nel dettaglio e di dedicare un'intera lezione alle sue proprietà: O-grande.

Simbolo di Landau: equigrandezza (stesso ordine di grandezza)

Come abbiamo anticipato in precedenza l'equigrandezza tra funzioni spesso e volentieri non viene nemmeno proposta agli studenti. Vediamone comunque la definizione e, in aggiunta, nel seguito della lezione evidenzieremo la stretta relazione che la lega alla notazione di equivalenza asintotica.

Diremo che è equigrande a per $x\to x_0$ se e solo se il limite del rapporto di su per $x\to x_0$ esiste finito e diverso da zero.

$f(x)\asymp g(x)\mbox{ per }x\to x_0\ \iff\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\ne 0$

In tal caso diremo anche che ha lo stesso ordine di grandezza di per $x\to x_0$ .

Simbolo di Landau: equivalenza asintotica

Veniamo quindi al simbolo di Landau più diffuso ed usato sia a livello teorico che negli esercizi: il simbolo di equivalenza asintotica.

Diremo che è asintoticamente equivalente a per $x\to x_0$ se e solo se il limite del rapporto tra è uguale ad 1.

$f(x)\sim g(x)\mbox{ per }x\to x_0\ \iff\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$

Data la sua importanza, vedremo in dettaglio la notazione di equivalenza asintotica e le sue proprietà in una lezione a parte; in particolare avremo modo di capire formalmente qual è il metodo che permette di esprimere i limiti notevoli mediante l'uso del simbolo di equivalenza asintotica (argomento che abbiamo già trattato, rigorosamente ma in modo non formale, nella lezione come usare i limiti notevoli).

Simbolo di Landau: o-piccolo

Da ultimo vediamo la definizione di o-piccolo.

Diremo che è un o-piccolo di $g(x)\mbox{ per }x\to x_0$ se e solo se il limite per $x\to x_0$ del rapporto tra $f(x)\mbox{ e }g(x)$ è zero.

$f(x)=o(g(x))\mbox{ per }x\to x_0\ \iff\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$

Approfondiremo la nozione di o-piccolo in una lezione a parte, in cui vedremo in dettaglio tutte le proprietà che lo caratterizzano. Inoltre nelle lezioni sulle derivate apprezzeremo l'utilità di tale simbolo, che viene usato per indicare il resto nella forma di Peano dello sviluppi di Taylor.

Osservazioni sui simboli di Landau

Vi raccomandiamo di non perdervi le lezioni successive, in cui potrete consultare tutte le proprietà dei rispettivi simboli di Landau e numerosi esempi. Qui limitiamoci ad analizzare da un punto di vista didattico le caratteristiche comuni ai vari simboli.

1) A cosa servono i simboli di Landau

Come sempre quando vengono introdotte nuove notazioni c'è la tendenza a domandarsi preventivamente quale sia il loro scopo. Il problema è che, nel momento in cui ce lo domandiamo, non disponiamo ancora degli strumenti per comprendere appieno la risposta alla domanda. Oltre a questo bisogna tenere conto che l'elenco delle applicazioni può essere veramente lungo... ;)

Come avrete modo di vedere nel seguito, i simboli di Landau hanno un duplice scopo:

- esprimere un concetto lungo in modo sintetico. In breve, comodità.

- introdurre un sistema di notazioni che permette di studiare il comportamento locale delle funzioni, con il valore aggiunto per cui i simboli introdotti soddisfano determinate regole algebriche che ne semplificano di molto l'utilizzo.

2) Specificare sempre l'intorno di riferimento

Chi è alle prime armi con lo studio dei simboli di Landau tende a concentrarsi troppo sul valore del limite presente nelle definizioni trascurando le ipotesi. A prescindere che si tratti di teoria od esercizi, non dimenticate mai di specificare che le condizioni espresse dai simboli di Landau che userete vigono per quel $x\to x_0\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ che starete considerando.

Ad esempio, scrivere

$\sin(x)\sim x$

non ha alcun significato, mentre è corretto scrivere

$\sin(x)\sim x\ \mbox{per }x\to x_0$

o eventualmente, in notazione equivalente: $\sin(x)\sim_{0} x$ .

3) Equigrandezza, equivalenza asintotica ed o-piccolo sono casi particolari dell'O-grande. Si noti infatti che per $x\to x_0$

$\overbrace{\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\in\mathbb{R}}^{f(x)=O(g(x))}\ \begin{cases}\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\ne 0\ \ \ f(x)\asymp g(x)\\ \\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1\ \ \ f(x)\sim g(x)\\ \\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\ \ \ f(x)=o(g(x))\end{cases}$

4) Equigrandezza vs equivalenza asintotica

Diamo una giustificazione del motivo per cui l'equigrandezza ha un ruolo così marginale tra i simboli di Landau in un corso di Analisi Matematica di base. Ogniqualvolta che due funzioni sono equigrandi per $x\to x_0$ , è possibile individuare un'equivalenza asintotica associata a tale relazione di equigrandezza.

Chiamiamo $\ell\ne 0$ il limite del rapporto tra le funzioni

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell$

Dalle definizioni si intuisce immediatamente che è equigrande a per $x\to x_0$ se e solo se la funzione è asintoticamente equivalente alla funzione $\ell g(x)\mbox{ per }x\to x_0$

$f(x)\equiv g(x)\mbox{ per }x\to x_0\ \iff\ f(x)\sim \ell g(x)\mbox{ per }x\to x_0$

Il legame tra equigrandezza e equivalenza asintotica è così forte che lo studio e l'approfondimento di uno dei due simboli (quello di equivalenza asintotica) permette di conoscere altrettanto bene l'altro.

Perché allora, didatticamente parlando, tra i simboli di Landau viene prediletto il simbolo di equivalenza asintotica? Perché esso presenta una peculiarità: la comodità nelle applicazioni pratiche. Ciò rappresenta un buon incentivo per approfondirne lo studio a discapito di quello dell'equigrandezza.

Tabella completa dei simboli di Landau

Per concludere la carrellata di definizioni che abbiamo proposto vi proponiamo un riepilogo generale. Ecco la tabella completa dei simboli di Landau.

Nome	Simbolo di Landau	Definizione
O-grande		$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\in\mathbb{R}$
Equigrandezza (stesso ordine di grandezza)	$f(x)\asymp g(x)$	$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\neq 0$
Equivalenza asintotica	$f(x)\sim g(x)$	$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$
o-piccolo		$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$

$(\mbox{per }x\to x_0)$

Per questa lezione è tutto; nel caso foste in cerca di esercizi svolti sui simboli di Landau vi consigliamo di fare buon uso della barra di ricerca interna. ;)

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

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