O-piccolo e algebra degli o-piccolo

L'o-piccolo è un simbolo matematico, solitamente indicato con o(·), che rientra nella famiglia dei cosiddetti simboli di Landau e che viene usato per individuare l'ordine di infinitesimo di una funzione rispetto ad una funzione campione, al tendere di x ad un determinato valore o all'infinito.

 

In questa lezione vedremo cos'è l'o-piccolo, ne elencheremo le proprietà generali ed elencheremo le regole dell'algebra degli o-piccolo. Infine daremo un significato ad un particolare simbolo che ricorre spessissimo in Analisi Matematica: l'o-piccolo di 1, denotato come o(1).

 

Nota bene: il simbolo di o-piccolo e più in generale i simboli di Landau sono oggetto di studio solamente nei corsi di Analisi all'università. Gli studenti delle scuole superiori possono astenersi dalla lettura. ;)

 

Definizione di o-piccolo

 

Partiamo dalla definizione di o-piccolo, nuda e cruda. Non spaventatevi: per quanto possa sembrare impegnativa verrà ridimensionata parecchio dai successivi esempi. 

 

Siano f(x),g(x) due funzioni definite su un insieme A, e sia x_0 un punto di accumulazione per A, eventualmente infinito. Se il limite per x che tende a x_0 del rapporto tra le funzioni f(x),g(x) è uguale a zero, allora diremo che f(x) è un o-piccolo di g(x) per x che tende a x0.

 

In simboli:

 

\mbox{ se }\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\ \implies\ f(x)=o_{x_0}(g(x))

 

La notazione o_{x_0}(g(x)) può essere alleggerita scrivendo f(x)=o(g(x)), a patto di specificare in altro modo che la relazione di o-piccolo vale per x\to x_0.

 

Pur avendo dato una definizione di o-piccolo, non è ancora chiaro che cosa si intenda con questo simbolo. Dal punto di vista formale l'o-piccolo individua una classe di funzioni.

 

Più precisamente, la classe o(g(x))\mbox{ per }x\to x_0 contiene tutte le funzioni definite in un intorno bucato di x_0,\ B(x_0,\delta)-\{x_0\}, il cui limite del rapporto con