O-piccolo e algebra degli o-piccolo
L'o-piccolo è un simbolo matematico, solitamente indicato con o(·), che rientra nella famiglia dei cosiddetti simboli di Landau e che viene usato per individuare l'ordine di infinitesimo di una funzione rispetto ad una funzione campione, al tendere di x ad un determinato valore o all'infinito.
In questa lezione vedremo cos'è l'o-piccolo, ne elencheremo le proprietà generali ed elencheremo le regole dell'algebra degli o-piccolo. Infine daremo un significato ad un particolare simbolo che ricorre spessissimo in Analisi Matematica: l'o-piccolo di 1, denotato come o(1).
Nota bene: il simbolo di o-piccolo e più in generale i simboli di Landau sono oggetto di studio solamente nei corsi di Analisi all'università. Gli studenti delle scuole superiori possono astenersi dalla lettura. ;)
Definizione di o-piccolo
Partiamo dalla definizione di o-piccolo, nuda e cruda. Non spaventatevi: per quanto possa sembrare impegnativa verrà ridimensionata parecchio dai successivi esempi.
Siano due funzioni definite su un insieme
, e sia
un punto di accumulazione per
, eventualmente infinito. Se il limite per
che tende a
del rapporto tra le funzioni
è uguale a zero, allora diremo che f(x) è un o-piccolo di g(x) per x che tende a x0.
In simboli:
La notazione può essere alleggerita scrivendo
, a patto di specificare in altro modo che la relazione di o-piccolo vale per
.
Pur avendo dato una definizione di o-piccolo, non è ancora chiaro che cosa si intenda con questo simbolo. Dal punto di vista formale l'o-piccolo individua una classe di funzioni.
Più precisamente, la classe contiene tutte le funzioni definite in un intorno bucato di
, il cui limite del rapporto con
per
vale zero.
In formule:
Osservazione (notazione imprecisa, ma è tutto ok!)
Qualcuno potrebbe obiettare che la scrittura non sia corretta, ed in effetti è così. In termini rigorosi dovremmo utilizzare la notazione insiemistica di appartenenza, ossia
, ma per questioni storiche essa non ha preso piede negli ambienti accademici.
Esempi sugli o-piccolo
Prima di elencare le proprietà degli o-piccolo, proponiamo qualche esempio introduttivo.
Infatti è immediato verificare che
Infatti, in accordo con la definizione, risulta che
Anche in questo caso la notazione di o-piccolo si giustifica immediatamente: per verificarla basta tenere a mente la definizione
e usare i limiti notevoli
d) Dall'esempio a) sappiamo che , ma d'altra parte
non è un o-piccolo di
per
. Infatti
Quest'ultimo esempio mette in chiaro un aspetto davvero fondamentale: nella notazione di o-piccolo è necessario specificare a cosa tende la variabile indipendente x. L'omissione di questa informazione potrebbe invalidare la correttezza di un esercizio.
Significato della definizione di o-piccolo e trucco per ricordarla
Agli esordi è naturale fare confusione con la definizione, soprattutto quando si affrontano i primi esercizi. Ecco dunque un trucchetto per evitare di fare disastri e per ricordare quale funzione va a numeratore e quale a denominatore: leggere
come viene mandato a zero da
per
. Quel che viene mandato a zero sta sopra, quel che lo manda a zero sta sotto. Se inoltre
sono funzioni infinitesime per
in perfetto accordo con quanto sappiamo dal confronto tra infinitesimi:
In termini più rigorosi il trucchetto non è nient'altro che una riproposizione spannometrica del significato del simbolo di o-piccolo. Scrivere (dove
può essere anche infinito) vuol dire semplicemente che
è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a
per
che tende ad
.
Utilità del simbolo di o-piccolo
La lezione è ancora lunga, quindi facciamo una pausina. Vi anticipiamo sin da subito che il simbolo di o-piccolo riveste un'importanza monumentale nell'Analisi Matematica e che è una delle "parole" più ricorrenti nel matematichese. Esso permette di calcolare quasi tutti i limiti con una notazione rapida ed efficace. Dopo aver imparato a padroneggiarlo ne apprezzerete la comodità, fidatevi... ;)
Non possiamo elencare tutte le applicazioni (sono illimitate) ma vogliamo rovinarvi la sorpresa e anticiparvi che il primo argomento in cui gli o-piccolo sono necessari è dato dagli sviluppi di Taylor.
Algebra degli o-piccolo
Si riparte: ora che abbiamo la definizione passiamo ad enunciare l'insieme di proprietà che caratterizzano gli o-piccolo e che va sotto il nome di Algebra degli o-piccolo. Tali regole riguardano le principali operazioni algebriche tra o-piccoli e permettono all'atto pratico di effettuare i calcoli con gli o-piccoli: addizione, sottrazione, prodotto e potenza.
Proprietà fondamentale degli o-piccolo
Niente di difficile: tutte le funzioni che appartengono alla classe di o-piccolo di vengono mandati a zero da
. Nient'altro che una riscrittura della definizione.
Cerchiamo di memorizzare bene questa relazione perché interviene nella risoluzione dei limiti con Taylor. Avremo modo di approfondire la questione a suo tempo, per ora continuiamo con l'elenco delle proprietà.
Moltiplicazione per una costante
Dunque le costanti moltiplicative possono essere tranquillamente trascurate se accompagnate dall'o-piccolo.
Potenza di una funzione
Questa proprietà dice sostanzialemente che l'o-piccolo è stabile quando applichiamo le potenze.
Somma tra o-piccolo
Prodotto tra una funzione e un o-piccolo
Prodotto tra o-piccolo
O-piccolo di o-piccolo
O-piccolo ed equivalenze asintotiche - 1
Se per che tende a
risulta che
è asintoticamente equivalente a
, allora l'o-piccolo di
coincide con l'o-piccolo di
.
O-piccolo ed equivalenze asintotiche - 2
Se per che tende a
risulta che
è asintoticamente equivalente a
, se
è asintoticamente equivalente a
e se inoltre
è un o-piccolo di
, allora
è un o-piccolo di
.
In parole povere le equivalenze asintotiche conservano gli o-piccolo.
Proprietà degli o-piccolo di potenze di x con esponente positivo
Le regole dell'algebra degli o-piccolo appena esposte valgono nei casi più generali; le proprietà che seguono continuano a far parte dell'algebra degli o-piccolo, ma riguardano il caso in cui l'argomento dell'o-piccolo è una potenza di con esponente positivo e
.
Siano
Esempi sull'algebra degli o-piccolo
Lo sappiamo, vi abbiamo subissato di proprietà e regole. Ora passiamo agli esempi, ma ribadiamo il nostro invito: abbiate fiducia. Tutte le regole viste in precedenza sono semplici da imparare, bastano pochi esercizi. ;)
Esempio 1
Calcoliamo il prodotto
Per la proprietà sul prodotto tra una costante e l'o-piccolo, vale l'uguaglianza , mentre la proprietà d) sul prodotto tra una funzione e un o-piccolo avremo che
.
Il limite notevole del seno ci assicura la validità della stima asintotica e per le relazioni che legano l'o-piccolo con le stime asintotiche abbiamo che
pertanto
Per la proprietà sulla somma degli o-piccolo di potenze di x si ha che
possiamo concludere quindi che l'espressione di partenza coincide con .
Esempio 2
Determiniamo il prodotto
Eseguiamo la moltiplicazione, così da ottenere
Per la proprietà sul prodotto tra una funzione e l'o-piccolo si ha che
Siamo di fronte ad un esempio in cui compare la somma di o-piccolo con potenze di x ad esponente positivo, e per la proprietà sulla somma degli o-piccolo si ha che
In definitiva per x che tende a zero
Esempio 3
Valutiamo il seguente prodotto
Eseguiamo la moltiplicazione ottenendo
Le proprietà degli o-piccolo del prodotto ci permettono di giungere all'espressione
Per la proprietà sulla somma tra o-piccolo di una potenza di x si ha che
e dunque, inglobando l'infinitesimo di ordine superiore rispetto a
o-piccolo di 1
Prima di portare a termine questa lezione, prendiamoci qualche minuto per comprendere cosa indica il simbolo o(1). Per definizione di o-piccolo, è un o-piccolo di 1 per
se e solo se il limite per
del rapporto tra
ed 1 è zero.
Ora, sappiamo sin dalle scuole medie che l'uno al denominatore può essere sottointeso, dunque il precedente limite non è altro che:
pertanto o(1) è la classe di funzioni infinitesime per x che tende a un certo x0 fissato, nulla di più.
Per questa lezione è tutto. Nel caso foste in cerca di esercizi svolti vi rimandiamo alla scheda di esercizi svolti sugli o-piccolo, e in caso di necessità alla barra di ricerca interna. ;)
Auf wiedersehen, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
Tags: definizione di o piccolo - algebra degli o piccolo - proprietà degli o piccolo - significato dell'o piccolo di 1.
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