O-piccolo e algebra degli o-piccolo

L'o-piccolo è un simbolo matematico, solitamente indicato con o(·), che rientra nella famiglia dei cosiddetti simboli di Landau e che viene usato per individuare l'ordine di infinitesimo di una funzione rispetto ad una funzione campione, al tendere di x ad un determinato valore o all'infinito.

In questa lezione vedremo cos'è l'o-piccolo, ne elencheremo le proprietà generali ed elencheremo le regole dell'algebra degli o-piccolo. Infine daremo un significato ad un particolare simbolo che ricorre spessissimo in Analisi Matematica: l'o-piccolo di 1, denotato come o(1).

Nota bene: il simbolo di o-piccolo e più in generale i simboli di Landau sono oggetto di studio solamente nei corsi di Analisi all'università. Gli studenti delle scuole superiori possono astenersi dalla lettura. ;)

Definizione di o-piccolo

Partiamo dalla definizione di o-piccolo, nuda e cruda. Non spaventatevi: per quanto possa sembrare impegnativa verrà ridimensionata parecchio dai successivi esempi. 

Siano f(x),g(x) due funzioni definite su un insieme A, e sia x_0 un punto di accumulazione per A, eventualmente infinito. Se il limite per x che tende a x_0 del rapporto tra le funzioni f(x),g(x) è uguale a zero, allora diremo che f(x) è un o-piccolo di g(x) per x che tende a x0.

In simboli:

se lim_(x → x_0)(f(x))/(g(x)) = 0 ⇒ f(x) = o_(x_0)(g(x))

La notazione o_(x_0)(g(x)) può essere alleggerita scrivendo f(x) = o(g(x)), a patto di specificare in altro modo che la relazione di o-piccolo vale per x → x_0.

Pur avendo dato una definizione di o-piccolo, non è ancora chiaro che cosa si intenda con questo simbolo. Dal punto di vista formale l'o-piccolo individua una classe di funzioni.

Più precisamente, la classe o(g(x)) per x → x_0 contiene tutte le funzioni definite in un intorno bucato di x_0, B(x_0,δ)-x_0, il cui limite del rapporto con g(x) per x → x_0 vale zero.

In formule:

o_(x_0)(g) = f:B(x_0, δ) setminusx_0 → R : lim_(x → x_0)(f(x))/(g(x)) = 0

Osservazione (notazione imprecisa, ma è tutto ok!)

Qualcuno potrebbe obiettare che la scrittura f(x) = o_(x_0)(g(x)) non sia corretta, ed in effetti è così. In termini rigorosi dovremmo utilizzare la notazione insiemistica di appartenenza, ossia f(x)∈ o_(x_0)(g(x)), ma per questioni storiche essa non ha preso piede negli ambienti accademici.

Esempi sugli o-piccolo

Prima di elencare le proprietà degli o-piccolo, proponiamo qualche esempio introduttivo.

a) x^2 = o(x) per x → 0

Infatti è immediato verificare che

lim_(x → 0)(x^2)/(x) = lim_(x → 0)x = 0

b) sin(x) = o(x) per x → +∞

Infatti, in accordo con la definizione, risulta che

lim_(x → +∞)(sin(x))/(x) = 0

c) sin(x^2) = o(ln(1+x)) per x → 0

Anche in questo caso la notazione di o-piccolo si giustifica immediatamente: per verificarla basta tenere a mente la definizione

lim_(x → 0)(sin(x^2))/(ln(1+x)) =

e usare i limiti notevoli

= lim_(x → 0)(x^2)/(x) = lim_(x → 0)x = 0

d) Dall'esempio a) sappiamo che x^2 = o(x) per x → 0, ma d'altra parte x^2 non è un o-piccolo di x per x → +∞. Infatti

lim_(x → +∞)(x^2)/(x) = +∞ ne 0

Quest'ultimo esempio mette in chiaro un aspetto davvero fondamentale: nella notazione di o-piccolo è necessario specificare a cosa tende la variabile indipendente x. L'omissione di questa informazione potrebbe invalidare la correttezza di un esercizio.

Significato della definizione di o-piccolo e trucco per ricordarla

Agli esordi è naturale fare confusione con la definizione, soprattutto quando si affrontano i primi esercizi. Ecco dunque un trucchetto per evitare di fare disastri e per ricordare quale funzione va a numeratore e quale a denominatore: leggere

f(x) = o(g(x)) per x → x_0

come f(x) viene mandato a zero da g(x) per x → x_0. Quel che viene mandato a zero sta sopra, quel che lo manda a zero sta sotto. Se inoltre f(x) e g(x) sono funzioni infinitesime per x → x_0 in perfetto accordo con quanto sappiamo dal confronto tra infinitesimi:

 

lim_(x → x_0)(f(x))/(g(x)) = 0

In termini più rigorosi il trucchetto non è nient'altro che una riproposizione spannometrica del significato del simbolo di o-piccolo. Scrivere f(x) = o(g(x)) per x → x_0 (dove x_0 può essere anche infinito) vuol dire semplicemente che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x) per x che tende ad x_0.

Utilità del simbolo di o-piccolo

La lezione è ancora lunga, quindi facciamo una pausina. Vi anticipiamo sin da subito che il simbolo di o-piccolo riveste un'importanza monumentale nell'Analisi Matematica e che è una delle "parole" più ricorrenti nel matematichese. Esso permette di calcolare quasi tutti i limiti con una notazione rapida ed efficace. Dopo aver imparato a padroneggiarlo ne apprezzerete la comodità, fidatevi... ;)

Non possiamo elencare tutte le applicazioni (sono illimitate) ma vogliamo rovinarvi la sorpresa e anticiparvi che il primo argomento in cui gli o-piccolo sono necessari è dato dagli sviluppi di Taylor.

Algebra degli o-piccolo

Si riparte: ora che abbiamo la definizione passiamo ad enunciare l'insieme di proprietà che caratterizzano gli o-piccolo e che va sotto il nome di Algebra degli o-piccolo. Tali regole riguardano le principali operazioni algebriche tra o-piccoli e permettono all'atto pratico di effettuare i calcoli con gli o-piccoli: addizione, sottrazione, prodotto e potenza.

Proprietà fondamentale degli o-piccolo

lim_(x → x_0)(o(f(x)))/(f(x)) = 0

Niente di difficile: tutte le funzioni che appartengono alla classe di o-piccolo di f(x) vengono mandati a zero da f(x) per x → x_0. Nient'altro che una riscrittura della definizione.

Cerchiamo di memorizzare bene questa relazione perché interviene nella risoluzione dei limiti con Taylor. Avremo modo di approfondire la questione a suo tempo, per ora continuiamo con l'elenco delle proprietà.

Moltiplicazione per una costante

o(c·g(x)) = o(g(x)) per x → x_0 ; c·o(g(x)) = o(g(x)) per x → x_0

Dunque le costanti moltiplicative possono essere tranquillamente trascurate se accompagnate dall'o-piccolo.

Potenza di una funzione

Se f(x) = o(g(x)) per x → x_0 ; allora [f(x)]^a = o([g(x)]^a) per a > 0

Questa proprietà dice sostanzialemente che l'o-piccolo è stabile quando applichiamo le potenze.

Somma tra o-piccolo

o(f(x))+o(f(x)) = o(f(x)) per x → x_0

Prodotto tra una funzione e un o-piccolo

f(x)o(g(x)) = o(f(x) g(x)) per x → x_0

Prodotto tra o-piccolo

o(f(x))o(g(x)) = o(f(x)g(x)) per x → x_0

O-piccolo di o-piccolo

o(o(f(x))) = o(f(x)) per x → x_0

O-piccolo ed equivalenze asintotiche - 1

Se per x che tende a x_0 risulta che f(x) è asintoticamente equivalente a f_1(x), allora l'o-piccolo di f(x) coincide con l'o-piccolo di f_1(x).

Se f(x) ~ _(x_0)f_1(x) allora o(f(x)) = o(f_1(x)) per x → x_0

O-piccolo ed equivalenze asintotiche - 2

Se per x che tende a x_0 risulta che f(x) è asintoticamente equivalente a f_1(x), se g(x) è asintoticamente equivalente a g_1(x) e se inoltre f(x) è un o-piccolo di g(x), allora f_1(x) è un o-piccolo di g_1(x).

f(x) ~ _(x_0)f_1(x) ; g(x) ~ _(x_0)g_1(x) ; f(x) = o(g(x)) per x → x_0 ⇒ f_1(x) = o(g_1(x)) per x → x_0

In parole povere le equivalenze asintotiche conservano gli o-piccolo.

Proprietà degli o-piccolo di potenze di x con esponente positivo

Le regole dell'algebra degli o-piccolo appena esposte valgono nei casi più generali; le proprietà che seguono continuano a far parte dell'algebra degli o-piccolo, ma riguardano il caso in cui l'argomento dell'o-piccolo è una potenza di x con esponente positivo e x → x_0 = 0.

Siano n,m > 0, x_0 = 0

c·o(x^n) = o(c·x^n) = o(x^n) ; o(x^(n))±o(x^(m)) = o(x^(p)) dove p = min(n, m) ; o(x^m)o(x^n) = o(x^(m+n)) ; x^(m) o(x^n) = o(x^(m+n)) ; x^(m) = o(x^n) con n < m

Esempi sull'algebra degli o-piccolo

Lo sappiamo, vi abbiamo subissato di proprietà e regole. Ora passiamo agli esempi, ma ribadiamo il nostro invito: abbiate fiducia. Tutte le regole viste in precedenza sono semplici da imparare, bastano pochi esercizi. ;)

Esempio 1

Calcoliamo il prodotto

o(x^4)[1+sin(x)] = 1·o(x^4)+o(x^4)sin(x) per x → 0

Per la proprietà sul prodotto tra una costante e l'o-piccolo, vale l'uguaglianza 1·o(x^4) = o(x^4), mentre la proprietà d) sul prodotto tra una funzione e un o-piccolo avremo che o(x^4)sin(x) = o(x^4sin(x)).

Il limite notevole del seno ci assicura la validità della stima asintotica sin(x) ~ x e per le relazioni che legano l'o-piccolo con le stime asintotiche abbiamo che

o(x^4sin(x)) = o(x^4 x) = o(x^5)

pertanto

1·o(x^4)+o(x^4)sin(x) = o(x^4)+o(x^5)

Per la proprietà sulla somma degli o-piccolo di potenze di x si ha che

o(x^4)+o(x^5) = o(x^4)

possiamo concludere quindi che l'espressione di partenza coincide con o(x^4).

Esempio 2

Determiniamo il prodotto

[1+o(x^4)][1+x+x^2+o(x^2)] per x → 0

Eseguiamo la moltiplicazione, così da ottenere

1+x+x^2+o(x^2)+o(x^4)+x o (x^4)+x^2 o(x^4)+o(x^4)o(x^2)

Per la proprietà sul prodotto tra una funzione e l'o-piccolo si ha che

1+x+x^2+o(x^2)+o(x^4)+o(x^5)+o(x^6)+o(x^6) per x → 0

Siamo di fronte ad un esempio in cui compare la somma di o-piccolo con potenze di x ad esponente positivo, e per la proprietà sulla somma degli o-piccolo si ha che 

o(x^2)+o(x^4)+o(x^5)+o(x^6)+o(x^6) = o(x^2)

In definitiva per x che tende a zero

[1+o(x^4)][1+x+x^2+o(x^2)] = 1+x+x^2+o(x^2)

Esempio 3

Valutiamo il seguente prodotto

[1+x+o(x^2)][1+x+o(x)] per x → 0

Eseguiamo la moltiplicazione ottenendo

1+x+o(x)+x+x^2+x o(x)+o(x^2)+x o(x^2)+o(x)o(x^2) =

Le proprietà degli o-piccolo del prodotto ci permettono di giungere all'espressione

  

= 1+x+o(x)+x+x^2+o(x^2)+o(x^2)+o(x^3)+o(x^3) = ; 1+x+x+x^2+o(x)+o(x^2)+o(x^2)+o(x^3)+o(x^3) =

Per la proprietà sulla somma tra o-piccolo di una potenza di x si ha che

= 1+x+x+x^2+o(x) = 1+2x+x^2+o(x) =

e dunque, inglobando l'infinitesimo di ordine superiore (x^2) rispetto a x

= 1+2x+o(x)

o-piccolo di 1

Prima di portare a termine questa lezione, prendiamoci qualche minuto per comprendere cosa indica il simbolo o(1). Per definizione di o-piccolo, f(x) è un o-piccolo di 1 per x → x_0 se e solo se il limite per x → x_0 del rapporto tra f(x) ed 1 è zero.

lim_(x → x_0)(f(x))/(1) = 0

Ora, sappiamo sin dalle scuole medie che l'uno al denominatore può essere sottointeso, dunque il precedente limite non è altro che:

lim_(x → x_0)f(x) = 0

pertanto o(1) è la classe di funzioni infinitesime per x che tende a un certo x0 fissato, nulla di più.

o_(x_0)(1) = f:B(x_0, δ) setminusx_0 → R: lim_(x → x_0)f(x) = 0

Per questa lezione è tutto. Nel caso foste in cerca di esercizi svolti vi rimandiamo alla scheda di esercizi svolti sugli o-piccolo, e in caso di necessità alla barra di ricerca interna. ;)

Auf wiedersehen, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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